精品解析：苏科版2023-2024学年七年级数学下册期末模拟练习数学试题

2023-2024学年下学期苏科版七年级期末模拟练习数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） （23-24浙江杭州·期末） 1. 能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是（ ） A. B. C. 0 D. 2 （2024·四川成都·中考真题） 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （2022·上海·中考真题） 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 （2024·四川遂宁·中考真题） 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 5. 若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　） A. B. C. D. （2024·四川宜宾·中考真题） 6. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 （23-24七年级下·山东威海·期中） 7. 已知关于，的方程组有以下结论，其中错误的是（    ） ①当时，方程组的解是；②当，则； ③不论取什么实数，的值始终不变 ④方程组的解为 A. ① B. ② C. ③ D. ④ （2024·山东·中考真题） 8 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） （2022·江苏无锡·中考真题） 9. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． （2024·江苏连云港·中考真题） 10. 如图，直线，直线，，则__________． （23-24重庆沙坪坝·期末） 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． （2024·江苏盐城·中考真题） 12. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺． （23-24山东日照·期末） 13. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是_____． （23-24湖南怀化·期末） 14. 某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论，得到以下结论，其中，正确的结论是__________．（填序号） ①若，则不等式组的解集为； ②若，则不等式组无解； ③若不等式组无解，则的取值范围为； ④若不等式组只有两个整数解，则的值可以为5． （23-24重庆城口·期末） 15. 设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是______；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是______． （2024·四川达州·中考真题） 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度．  三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 计算： （1）； （2）． （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 18. 小米同学求解一元一次不等式的过程： 解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为. （1）该解题过程中从第_________步开始出现错误； （2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程. （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 19. （）解不等式组 （）解方程组 （23-24七年级上·安徽安庆·期末） 20. 对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． （1）求a，b值； （2）如果，求y的值． （23-24七年级下·陕西商洛·期末） 21. 某体育用品商场销售两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． （1）求和的值； （2）已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 22. 命题：直角三角形的两锐角互余． （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 23. 根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． （23-24七年级下·湖北荆州·质检） 24. 阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． （1）若方程组的解是，试求方程组的解； （2）仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． （22-23七年级下·湖南长沙·期末） 25. 我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． （2022·山东青岛·中考真题） 26. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期苏科版七年级期末模拟练习数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） （23-24浙江杭州·期末） 1. 能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题及有理数的乘方，根据有理数的乘方运算法则即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：当时，， 则能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是， 故选C． （2024·四川成都·中考真题） 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． （2022·上海·中考真题） 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． （2024·四川遂宁·中考真题） 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：． （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 5. 若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是找到两个方程组解之间的关系，先将所求方程组变形后仿照原方程组解得规律得出，求解即可． 【详解】整理，得， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得， 故选：D． （2024·四川宜宾·中考真题） 6. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设用个大箱，个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． （23-24七年级下·山东威海·期中） 7. 已知关于，的方程组有以下结论，其中错误的是（    ） ①当时，方程组的解是；②当，则； ③不论取什么实数，的值始终不变 ④方程组的解为 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，原方程组变为， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以方程组的解为， 因此①正确； ②当，即代入原方程组可得， ， 即， ②代入①得， ， 解得， 因此②正确； 关于，的方程组将①代入②得， ， 即， 所以， 即， 也就是说不论取什么实数，的值始终不变， 因此③正确， ④ ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 方程组的解为， 因此④错误， 故选：D （2024·山东·中考真题） 8. 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） （2022·江苏无锡·中考真题） 9. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． （2024·江苏连云港·中考真题） 10. 如图，直线，直线，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． （23-24重庆沙坪坝·期末） 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先求出 x，y，再得出关于k的方程，即可求解． 【详解】解：由．解得， ∵． ∴ ∴． 故答案为：1． （2024·江苏盐城·中考真题） 12. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 解得： 故答案为15． （23-24山东日照·期末） 13. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解及解不等式组，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组的整数解有个， ∴，解得， 故答案为：． （23-24湖南怀化·期末） 14. 某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论，得到以下结论，其中，正确的结论是__________．（填序号） ①若，则不等式组的解集为； ②若，则不等式组无解； ③若不等式组无解，则的取值范围为； ④若不等式组只有两个整数解，则的值可以为5． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，解决本题的关键是熟记解不等式组的口诀，注意临界值的取舍．根据解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，找到参数的取值范围解决问题． 【详解】解：①时，x比小的大，比大的小，取中间，即解集为，故①正确； ②时，x比小的小，比大的大，无处取解，即无解，故②正确； ③要使不等式组无解，则要求x比小的小，比大的大，即a要小于3，当时，仍然无解，故a的取值范围为，故③错误； ④要使不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，则a的值可以为5，故④正确． 故答案为：①②④． （23-24重庆城口·期末） 15. 设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是______；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，不定方程的应用，二元一次方程组的解；因为是“级收缩数”，那么千位与百位的数字之和等于，千位数字可选数字，则百位数字为；十位与个位数字的和为，十位可选最小的数字0，则个位数字为，那么可得最小的“级收缩数”；设“级收缩数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为以及这个数能被整除可得所求的数． 【详解】解：是“级收缩数”， ． 求最小的“级收缩数”， 千位数字可选数字， 百位数字为． 十位与个位数字的和为， 十位可选最小的数字， 个位数字为． ∴最小的“级收缩数”为：； 设“级收缩数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． ∵千位数字与十位数字之积为， ∴(不合题意，舍去)或或或． ∴“级收缩数”为或或． ∵这个数能被整除，上述个数只有是的整数倍， ∴“级收缩数”为：． 故答案为：，． （2024·四川达州·中考真题） 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：．  三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，乘法公式，正确进行运算是解题的关键； （1）根据多项式乘多项式的法则展开，最后合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 18. 小米同学求解一元一次不等式的过程： 解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为. （1）该解题过程中从第_________步开始出现错误； （2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程. 【答案】（1）一 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据去分母可进行求解； （2）根据一元一次不等式的解法可进行求解． 【小问1详解】 由题意可知解题过程中从第一步开始出现错误； 故答案为一； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式解集为． （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 19. （）解不等式组 （）解方程组 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解； （）利用加减消元法解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组的步骤和解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 解的，， 解得，， ∴不等式组的解集为； （）得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴方程组的解为． （23-24七年级上·安徽安庆·期末） 20. 对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． （1）求a，b的值； （2）如果，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． （23-24七年级下·陕西商洛·期末） 21. 某体育用品商场销售两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． （1）求和的值； （2）已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 【答案】（1）的值为80，的值为60； （2）每个款足球最多打7折． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）设每个款足球打折销售，根据总利润=每个的利润销售数量结合总盈利不少于640元，得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 所以的值为80，的值为60； 【小问2详解】 解：设每个款足球打折销售， 根据题意得， 解得， 答：每个款足球最多打7折． 22. 命题：直角三角形的两锐角互余． （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）该命题是真命题，详见解析 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【小问1详解】 解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 【小问2详解】 解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 23. 根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． 【答案】任务1：多项式的，多项式的；；任务2：，，7，5；任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）根据题意计算对应多项式中的值，再根据因式分解的方法对对应的多项式分解因式即可； （2）设，则，得到，根据完全平方公式得到，由是整数，得到是整数，则是整数，再由，可得或． （3）设，则，可得，由即可得到结论． 【详解】解：任务1：多项式的， 多项式的； 根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式， ； 任务2：设， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴s、t都为整数， ∵， ∴或或或， ∴所有整数p的值为，，7，5； 故答案为：，，7，5． 任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下： 设 ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c都是整数， ∴m、n都是整数， ∴是一个整数， ∴是一个完全平方数， ∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数． （23-24七年级下·湖北荆州·质检） 24. 阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． （1）若方程组的解是，试求方程组的解； （2）仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，，则原方程组可化为，解出m，n，代入得到，再解出关于x，y的方程组即可． 【小问1详解】 解：∵方程组的解是， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， ∴原方程组的解为． （22-23七年级下·湖南长沙·期末） 25. 我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）是不等式③的“梦想解” （2）m为14或15 （3）m的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组）， （1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 【小问1详解】 解方程得， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； 【小问2详解】 解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； 【小问3详解】 解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上取值范围是． （2022·山东青岛·中考真题） 26. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【小问1详解】 解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． 【小问2详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$