精品解析：人教版2023-2024学年九年级数学下册期中综合测试卷

期中综合测试卷 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 反比例函数，下列说法不正确是（　　） A. 图象经过点(1，-3) B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于直线y=x对称 D. y随x的增大而增大 3. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 4. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　） A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC 5. 已知点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，锐角的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）． A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 2 : 3 D. 11 : 20 8. 如图，点F时平行四边形边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点M，N，已点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为﹣1，根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b的解为（ ） A. ﹣3，1 B. ﹣3，3 C. ﹣1，1 D. 3，﹣1 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程) 11. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为_____． 13. 如图，在中，、分别是、上点，，且，则的周长与的周长的比为________． 14. 如上图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为____． 15. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 过反比例函数图象上一点A，分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为B，C，如果的面积为3．则k的值为_________． 17. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则_________. 18. 双曲线、在第一象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________． 三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 20. 如图，平行四边形的对角线相交于点，EF经过，分别交于点，的延长线交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60ｍ2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为．设AD的长为，DC的长为． （1）求与之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26ｍ，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 22. 已知，延长到，使．取的中点，连接交于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与反比例函数y=(x<0)的图象交于A(-4,a)、B(-1，b)两点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D． （1）求a 、b及k的值； （2）连接OA，OB，求△AOB面积． 24. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合测试卷 (满分120分，时间120分钟) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列式子中：①；②；③；④ ；⑤，能表示y是x 的反比例函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键． 根据形如，y叫x的反比例函数，作出判断即可． 【详解】解：①是正比例函数，故①不能表示y是x 的反比例函数； ②是反比例函数，故②能表示y是x 的反比例函数； ③∵，∴，故③不能表示y是x 的反比例函数； ④ ∵，∴，故④能表示y是x 的反比例函数； ⑤是正比例函数，故⑤不能表示y是x 的反比例函数； ∴②④，共2个能表示y是x 的反比例函数． 故选：C． 2. 反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 图象经过点(1，-3) B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于直线y=x对称 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的； 由，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于对称是正确的，故C也是正确的， 由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的， 故选D． 【点睛】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键. 3. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　） A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB， ∴=3． 故选B． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号，在每一象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号，在每一象限内，y随x增大而减增大． 先判断出函数反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可． 详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴点在第二象限， ∴； ∴，在第四象限， ∴，， ∵在第四象限内y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，锐角的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟记三角形的判定方法是解本题的关键，本题结合三角形的高的含义，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵、是高， ∴， 又∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴和相似的三角形有3个． 故选C． 7. 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）． A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 2 : 3 D. 11 : 20 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥CB， ∴△AOD∽△COB， ∴DO：BO=AD：BC=3：9， ∴DO=BD，BO=BD， ∵G是BD的中点， ∴BG=GD=BD， ∴GO=DG-OD=BD-BD=BD， ∴GO：BG=1：2． 故选A． 考点：梯形的性质. 8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点M，N，已点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为﹣1，根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b的解为（ ） A. ﹣3，1 B. ﹣3，3 C. ﹣1，1 D. 3，﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】把M的坐标代入反比例函数的解析式求出m，把y＝﹣1代入求出x，即可得出N的坐标，根据M、N的横坐标即可求出方程的解． 【详解】∵点M的坐标为（1，3）， ∴代入y得：m＝3， 即y， 当y＝﹣1时，x＝﹣3， 即N（﹣3，﹣1）， ∵由图象可知：反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交点M，N，且M的坐标为（1，3），N的坐标是（﹣3，﹣1）， 把（﹣3，﹣1）和（1，3）代入y＝kx+b得：， 解得：k＝1，b＝2， 所以y＝kx﹣b＝x﹣2， 解方程组 得：， ∴关于x的方程kx﹣b的解为x＝3，x＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了图像与点的关系,待定系数法确定函数解析式,构造方程组确定交点坐标,熟练掌握待定系数法,灵活进行方程组的求解是解题的关键. 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程) 11. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心． 【详解】解：连接，，易得交点为． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解； 【详解】解：∵，，点． ∴，， 将向下平移个单位长度， ∴，， ∵两点同时落在反比例函数图象上， ∴， ∴； 故答案为； 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键． 13. 如图，在中，、分别是、上的点，，且，则的周长与的周长的比为________． 【答案】 【解析】 【分析】由于,易证得△ADE∽△ABC;已知了AD、AB的比例关系,即可得到两个三角形的相似比,根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解. 【详解】∵, ∴△ADE∽△ABC; ∴C△ADE∽C△ABC=AD:AB=1:3; 即△ADE的周长与△ABC的周长的比为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定与性质:相似三角形的一切对应线段(包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等)的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 14. 如上图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据第一象限内的图象经过点，先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标． 【详解】解：∵图象经过点， ∴ 解得， ∴函数解析式为， 当时，， ∴P点坐标为 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，是开放型题目，答案不唯一，掌握相关知识是解题关键． 15. 已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知， 解得， 即阴影梯形上底就是（）． 再根据相似的性质可知， 解得：， 所以梯形的下底就是， 所以阴影梯形的面积是． 故答案为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例． 16. 过反比例函数图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，C，如果的面积为3．则k的值为_________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．的面积与反比例函数比例系数的关系是解决问题的关键． 根据的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半可得k的值． 【详解】解：∵的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半， ∴， 解得， 故答案为：或． 17. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，且连结，并延长交于点，则_________. 【答案】1：8. 【解析】 【分析】先过点D作GD∥EC交AB于G，由平行线分线段成比例可得BG=GE，再根据GD∥EC，得出AE=，最后根据AE：EB=：2EG，即可得出答案． 【详解】过点D作GD∥EC交AB于G， ∵AD是BC边上中线， ∴，即BG=GE， 又∵GD∥EC， ∴， ∴AE=， ∴AE：EB=：2EG=1：8. 故答案为1：8. 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE、EB、EG之间的关系． 18. 双曲线、在第一象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式． 【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C， ∴S△AOC=×4=2， ∵S△AOB=1， ∴△CBO面积为3， ∴k=xy=6， ∴y2的解析式是：y2=． 故答案为：y2=． 三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】 （1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）分别把A点坐标代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出a与b的值，从而确定两函数解析式． （2）先画出y=2x和的图象，根据对称性得到两函数的另一个交点B与点A关于原点对称，则B点坐标为（﹣1，﹣2），然后观察图象得到当﹣1＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即正比例函数值大于反比例函数值． 【详解】（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2， ∴正比例函数解析式为y=2x． 把A（1，2）代入得b=1×2=2， ∴反比例函数解析式为． （2）如图，当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值． 20. 如图，平行四边形对角线相交于点，EF经过，分别交于点，的延长线交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作交于，根据相似三角形的性质分别求出、，证明∽，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴≌ ， ∴； （2）解：过点作交于， 则∽， ∵， ∴，， ∵， ∴∽， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60ｍ2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为．设AD的长为，DC的长为． （1）求与之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26ｍ，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】（1）；（2）满足条件的所有围建方案：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m． 【解析】 【分析】 【详解】解：（1）如图，AD的长为，DC的长为， 根据题意，得，即． ∴与之间的函数关系式为． （2）由，且都为正整数， ∴ｘ可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60． ∵ ∴符合条件的有：时，；时，；时，． 答：满足条件的所有围建方案：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m． 22. 已知，延长到，使．取的中点，连接交于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点，先证得为中位线，即可得到，根据对应边成比例即得结果； （2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，交于点， 为的中点， 为的中点，， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与反比例函数y=(x<0)的图象交于A(-4,a)、B(-1，b)两点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D． （1）求a 、b及k的值； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 【答案】（1）a=，b=2，k= -2 ；（2）S△AOB = 【解析】 【分析】（1）把A、B两点坐标代入直线解析式求出a，b的值，从而确定A、B两点坐标，再把A（或B）点坐标代入双曲线解析式求出k的值即可； （2）设直线AB分别交x轴、y轴于点E,F，根据S△AOB=S△EOF-S△AEO-S△BFO求解即可. 【详解】（1）将点A（-4，a）、B（-1，b）分别代入表达式中，得： ；， ∴A（-4，）、B（-1，2） 将B（-1,2）代入y=中，得k=-2 所以a=，b=2，k= -2 （2）设直线AB分别交x轴、y轴于点E,F，如图， 对于直线，分别令y=0，x=0，解得： X=-5，y=， ∴E（-5,0），F（0，） 由图可知： S△AEO=×OE×AC=，S△BFO=×OF×BD=， S△EOF=×OE×OF= ∴S△AOB= S△EOF- S△AEO -S△BFO= 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求函数解析式的方法．解答此类试题的依据是：①求一次函数解析式需要知道直线上两点的坐标；②根据三角形的面积及一边的长，可以求得该边上的高． 24. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由平行线性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长． 【详解】证明：（1）∵DB平分， ，且， ， ， ； （2）， ， ，且， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 且， ． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$