22.1.2二次函数y＝ax²的图象和性质　同步练习2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质 考试时间：45分钟；总分：100分 姓名：______班级：______ 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分分） 1．已知二次函数y＝x2，则其图象经过下列点中的（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（4，2） 2．二次函数y＝2x2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是（　　） A．y有最大值 B．图象的对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象的顶点是原点 4．在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　） A． B． C． D． 5．已知点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 6．二次函数y＝x2，当1≤y≤9时，函数值x的取值范围是（　　） A．1≤x≤3 B．﹣3≤x≤3 C．﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3 D．﹣3≤x≤1或1≤x≤3 7．如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，﹣1），（3，﹣1）（3，﹣3），（1，﹣3），若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a B．a≤3 C．a≤1 D．﹣1≤a 8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 9．关于x的二次函数y＝（a﹣2）x2的图象开口向上，则a的取值范围是 　 　． 10．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　（按从小到大的顺序，用“＜”连接）． 11．如图，在抛物线y＝ax2上有点A（﹣2，4），过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，点C为抛物线上的动点（不与点A、B重合），连接CA，BC，取线段AC，BC的中点D，E，连接DE．当点C在抛物线上运动时，下列结论正确的为 　 　．（填写序号即可） ①AB＝4 ②DE＝2 ③S△CAB＝8 ④S△CDE＝2 ⑤△ACB的周长为4+4 12．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在AB位置时，水面宽为18米，这时水面离桥顶的高度h是 　 　米． 三．解答题（共4小题，每小题13分，共52分） 13．（13分）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　． （2）若点A的坐标为（2，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　 　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣1≤x＜3时，y的范围为 　 　． 14．（13分）如图，直线l过A（3，0）和B（0，3）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的表达式． 15．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是（2，﹣1），当水位线在AB位置时，A到B的水面宽为12m，求水面离桥顶的高度h． 16．（13分）如图，已知直线l过A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）将该抛物线怎样上下平移经过点A？ 22.1.2二次函数的图象和性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共24小题，满分88分） 1． 解：A、当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，故二次函数图象经过点（﹣2，4），符合题意； B、当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4≠﹣4，故二次函数图象不经过点（﹣2，﹣4），不符合题意； C、当x＝2时，y＝22＝4≠﹣4，故二次函数图象不经过点（2，﹣4），不符合题意； D、当x＝4时，y＝42＝16≠2，故二次函数图象不经过点（4，2），不符合题意； 故选：A． 2．解：y＝2x2的图象是一条过原点，开口向上的抛物线， 故选：A． 3．解：∵函数y＝36x2的顶点在原点， ∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故D、B正确； ∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故A错误，D正确． 故选：A． 4．解：∵a＜0， ∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下； 一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限； 故选：B． 5．解：当x＝﹣2时，y1＝﹣2x2＝﹣8；当x＝﹣1时，y2＝﹣2x2＝﹣2；当x＝3时，y3＝﹣2x2＝﹣18， 所以y2＞y1＞y3． 故选：D． 6．解：∵y＝x2， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝0，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小， ∵当y＝1时，x＝±1；当y＝9时，x＝±3， ∴当1≤y≤9时，函数值x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3， 故选：C． 7．解：抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，﹣3）时，a＝﹣3， 当抛物线经过（3，﹣1）时，a， 观察图象可知﹣3≤a， 故选：A． 8．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2， 当x≥0时，y随x增大而增大， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：B． 二．填空题（共9小题，满分32分） 9．关于x的二次函数y＝（a﹣2）x2的图象开口向上，则a的取值范围是 　a＞2　． 解：∵关于x的二次函数y＝（a﹣2）x2的图象开口向上， ∴a﹣2＞0， 即a＞2， 故答案为：a＞2． 10．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y3＜y1＜y2　（按从小到大的顺序，用“＜”连接）． 解：∵二次函数y＝﹣3x2， ∴图象开口向下，对称轴是y轴， ∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上， ∴点C到对称轴的距离最远，点B（﹣1，y2）到对称轴的距离最近， ∴y3＜y1＜y2， 故答案为：y3＜y1＜y2． 11．如图，在抛物线y＝ax2上有点A（﹣2，4），过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，点C为抛物线上的动点（不与点A、B重合），连接CA，BC，取线段AC，BC的中点D，E，连接DE．当点C在抛物线上运动时，下列结论正确的为 　①②　．（填写序号即可） ①AB＝4 ②DE＝2 ③S△CAB＝8 ④S△CDE＝2 ⑤△ACB的周长为4+4 解：∵y＝ax2， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵AB∥x轴， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点B坐标为（2，4）， ∴AB＝4， ∵D，E为AC，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEAB＝2， ∴①②正确． ∵点C在抛物线上运动， ∴S△CAB，S△CDE，△ACB的周长随点C的运动而变化， ∴③④⑤不正确． 故答案为：①②． 12．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在AB位置时，水面宽为18米，这时水面离桥顶的高度h是 　13.5　米． 解：由yx2，由题知， 当x＝±9时，y＝﹣13.5， 即水面离桥顶的高度h是13.5米， 故答案为：13.5． 三．解答题（共14小题，满分130分） 13．（13分）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　﹣3　；对称轴为 　y轴　． （2）若点A的坐标为（2，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　（﹣2，﹣4）　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣1≤x＜3时，y的范围为 　﹣9＜y≤0　． 解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2， 解得k1＝﹣3，k2＝2， ∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0， ∴k＝﹣3； ∴二次函数为y＝﹣x2， ∴对称轴为y轴． 故答案为：﹣3，y轴； （2）把A（2，m）代入y＝﹣x2得，m＝﹣4， ∴A（2，﹣4）， ∵对称轴为y轴， ∴该图象上点A的对称点的坐标为（﹣2，﹣4）； 故答案为：（﹣2，﹣4）； （3）如图所示： 当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2＝﹣1， 当x＝3时，y＝﹣32＝﹣9， ∴当﹣1≤x＜3时，﹣9＜y≤0， 故答案为：﹣9＜y≤0． 14．（13分）如图，直线l过A（3，0）和B（0，3）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的表达式． 解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，3）代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t+3）（0＜t＜3）， 因为△AOP的面积为3， 所以•3•（﹣t+3）＝3，解得t＝1， 所以P点坐标为（1，2）， 把P（1，2）代入y＝ax2得a＝2， 所以二次函数解析式为y＝2x2． 15．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是（2，﹣1），当水位线在AB位置时，A到B的水面宽为12m，求水面离桥顶的高度h． 解：设y＝ax2，把（2，﹣1）代入得： 4a＝﹣1， a ∴yx2， 把x＝6代入yx2， y62＝﹣9， ∴水面离桥顶的高度h为9m． 16．（13分）如图，已知直线l过A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）将该抛物线怎样上下平移经过点A？ 解：（1）如图，过点P作PC⊥x轴于C， 设点P的坐标为（m，n），直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）， ∴4k+b＝0，b＝4， 解得k＝﹣1，b＝4， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+4． ∵点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（m，n）， ∴OA＝4，PC＝n， ∴S△AOPOA×PC4×n＝2n， ∴n， ∴点P在直线l上，直线l的解析式为y＝﹣x+4， ∴﹣m+4， 解得m， ∴P点坐标为（，）． （2）∵P（，）在y＝ax2上， ∴a×（）2， 解得a， ∴yx2． （3）设平移后的抛物线为yx2+m，代入A（4，0），解得m， 故将该抛物线向下平移个单位长度经过点A． 学科网（北京）股份有限公司 $$