5.1方程习题课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.1 方程 第五章 一元一次方程 知识点 方程 知1－讲 1 1. 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系， 列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 2. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 方程一定是等式，但等式不一定是方程. 2. 方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字母表示. 感悟新知 知1－练 例 1 有下列式子：① 8－7=1＋0；② x－y=x2；③x＋2；④－=3；⑤ x=5；⑥ x－2>1，其中是方程的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 思路引导： 感悟新知 解：列表分析如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 方程具备的条件 是等式 √ √ × √ √ × 含有未知数 × √ √ √ √ √ 是否为方程 否 是 否 是 是 否 答案：B 感悟新知 知1－练 1-1.下面几个式子中，是方程的有_____(填序号)． ① 3＋2=5； ② 6y＋1=0； ③ 3(a＋4)=5－a； ④ －3(x＋5)； ⑤ |π－3|=π－3； ⑥ 5 ≠ 0． ②③ 感悟新知 知2－讲 知识点 列方程 2 1. 列方程的一般步骤 感悟新知 知2－讲 2. 确定实际问题中相等关系的方法 (1)根据周长、面积、体积公式列方程； (2)根据题目中的不变量确定相等关系； (3)根据关键词确定相等关系. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少) ”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 设未知数时一般是求什么设什么，也可间接设与问题有关的量为未知数. 2. 根据实际问题列方程时，方程中各量的单位必须统一. 感悟新知 知2－练 [母题 教材P113 例1]根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某班有男生25 人，比女生人数的2 倍少15 人，这个班女生有多少人？ 解题秘方：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系，即得方程. 解：设这个班女生有x 人，那么男生有(2x－15)人. 根据“男生有2 5 人”，列得方程2x－15 =25 . 例 2 感悟新知 知2－练 (2)有一块长方形空地，长为20 m，宽为15 m. 在内部分割出一块小正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪. 已知草坪的面积为200 m2，求小正方形地的边长. 解题秘方：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系，即得方程. 解：设小正方形地的边长为x m，那么草坪的面积为( 20×15 －x2)m2 . 根据“草坪的面积为200 m2”，列得方程20×15 －x2=200 . 感悟新知 知2－练 2-1.为保护生态环境，某县将一部分耕地改为林地，改变后，林地和耕地面积共有180 km2，其中耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为x km2，则依题意可列方程____________． 感悟新知 知3－讲 知识点 解方程与方程的解 3 1. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 2. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 感悟新知 知3－讲 特别提醒 方程的解可能不止一个，也可能无解. 如x=1 和x=2 都是方程x2－3x＋2=0 的解，而方程|x|=－2 无解. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P114 例2]检验下列各未知数的值是不是方程5x－2=7＋2x 的解，并写出检验过程. 例 3 解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代入方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进行检验. 感悟新知 知3－练 (1)x=2； (2)x=3 . 解：将x=2 分别代入方程的左边和右边，得左边= 5×2－2 =8，右边=7＋2×2 =11 . 因为左边≠右边，所以x=2 不是方程5x－2 =7＋2x 的解. 将x=3 分别代入方程的左边和右边， 得左边=5×3 －2 =13 ，右边=7＋2×3 =13 . 因为左边= 右边，所以x=3 是方程5x－2 =7＋2x 的解. 感悟新知 方法点拨：检验一个数是不是方程的解的方法： 把这个数分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时， 这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解. 感悟新知 知3－练 3-1.下列方程中解为x=2 的是( ) A.2x=6 B.－x=1 C.2＋x=0 D.2x－1=3 3-2. [新视角 结论开放题]写出一个解为y=3 的方程： ____________________ . D 2y＋3＝9(答案不唯一) 感悟新知 知3－练 已知关于x 的方程2x＋a=9 的解是x=2，求a 的值. 解题秘方：将x =2 代入方程，可得到关于a 的等式，即可求解. 解：将x =2 代入2 x＋a=9，得2×2＋a=9，即4 ＋a=9. 所以a=9 －4 =5 . 例 4 感悟新知 知3－练 4-1.已知y=1 是方程my=y＋2 的解，求m2－3m＋1的值. 解：把y＝1代入方程my＝y＋2，得m＝3. 当m＝3时，m2－3m＋1＝9－3×3＋1＝1. 感悟新知 知4－讲 知识点 一元一次方程 4 1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. ① ② ③ 感悟新知 知4－讲 2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b=0 的形式. 其中x 是未知数，a，b 是已知数，且a ≠ 0 . 我们把ax＋b= 0 叫作一元一次方程的标准形式. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，其中特征①③是把方程化简后进行判断，特征②是通过化简前的方程进行判断，即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤： 感悟新知 知4－练 下列各式中，哪些是一元一次方程？ (1)x＋y=1－2y； (2)7x＋5=7(x－2)； (3)5x2－x－2=0；(4)=5； (5)x=； (6)2x2＋5=2(x2－x). 例 5 感悟新知 知4－练 思路引导： 感悟新知 知4－练 解：列表分析如下： 由表知，(5)(6)是一元一次方程. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 一元一次方程具备的条件 等号两边都是整式 √ √ √ × √ √ 化为最简后只有一个未知数 × × √ √ √ √ 未知数的次数都是1 √ × × √ √ √ 是否为一元一次方程 否 否 否 否 是 是 感悟新知 知4－练 5-1.在方程3x－y=2，x＋－2=0，x=，x2－2x－3=0 中，一元一次方程有( ) A.1个 B.2个 C.3 个 D.4 个 A 感悟新知 知4－练 若(m＋2)x|m|－1=4 是关于x 的一元一次方程，求m 的值. 例 6 解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为1，系数不为0，据此求待定字母的值. 解：根据题意，可得| m |－1 =1 ，且m＋2 ≠ 0 . 由| m |－ 1 =1，得| m |= 2，即m=±2 . 由m＋2 ≠ 0，得m ≠ －2，所以m=2 . 感悟新知 知4－练 6-1. 若(k2－1)x2－ (k－1)x＋8 ＝ 0 是关于x 的一元一次方程，求k的值． 解：根据题意，得k2－1＝0且k－1≠0， 解得k＝－1. 感悟新知 知5－讲 知识点 等式的性质 5 1. 两个基本事实 (1)对称性：若a=b，则b=a； (2)传递性：若a=b，b=c，则a=c. 感悟新知 知5－讲 2. 等式的性质 等式的性质 文字表示 用字母表示 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等 如果a=b， 那么ac=bc；如果a=b，c ≠ 0，那么= •••• •• •••• •••••••• 感悟新知 知5－讲 特别提醒 运用等式的性质时注意“两同”: 1. 同一种运算: 等式的两边必须都进行同一种运算; 2. 同一个数(或式子):等式两边加或减的必须是同一个数(或式子),乘的必须是同一个数, 除以的必须是同一个不为0 的数. 感悟新知 知5－练 [母题 教材P116 例3](1)若3x＋5 =8，则3x=8－_____， 根据____________，等式的两边同时______； 例 7 解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及乘除的用性质2 . 解：若3x＋5 =8，则3x=8－5，根据等式的性质1， 等式的两边同时减5； 5 等式的性质1 减5 感悟新知 知5－练 (2)若－4x=，则x=______，根据 ____________，等式的两边同时________ ； 解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及乘除的用性质2 . 解：若－4x= ， 则x=－， 根据等式的性质2， 等 式的两边同时除以－4； － 等式的性质2 除以－4 感悟新知 知5－练 (3)若2m－3n=7，则2m=7 ＋______，根据____________，等式的两边同时______ . 解题秘方：利用等式的性质求解，涉及加减的用性质1，涉及乘除的用性质2 . 解：若2m－3n=7，则2m=7＋3n，根据等式的性质1，等式的两边同时加3n. 3n 等式的性质1 加3n 感悟新知 知5－练 7-1.利用等式的性质，说明由a－1=b＋1如何变形得到a=b＋4． 感悟新知 知5－练 [母题 教材P116 例4]利用等式的性质解下列方程： (1)x－5 =－2；(2)－2x=0 .4；(3)1－x=4 . 例 8 解题秘方：注意等式的性质在解方程中的运用，即根据题目特点，运用等式的性质，将方程变形为x=m(常数)的形式. 感悟新知 知5－练 解：(1)方程两边加5，得x－5 ＋5 =－2 ＋5 . 于是x=3 . (2)方程两边除以－2，得－2x÷(－2)=0 .4÷(－2). 于是x=－0 .2 . (3)方程两边减1，得1－x－1 =4 －1 . 化简，得－ x=3 .方程两边除以－，得x=－9. 感悟新知 知5－练 8-1.下列方程的变形中，符合等式的性质的是( ) A. 由2 x－3 =7 得2 x =7－3 B. 由2x－3=x－1 得2x－x=－1－3 C.由－3x=5 得x=5＋3 D. 由－x=1得x=－4 D 感悟新知 知5－练 8-2.利用等式的性质解下列方程，并检验. (1)－ 2x＋4=2； 解：方程两边减4，得－2x＝－2. 方程两边除以－2，得x＝1. 把x＝1代入方程－2x＋4＝2左边，得－2×1＋4＝2. 方程左、右两边的值相等，故x＝1是方程－2x＋4＝2的解． 感悟新知 知5－练 (2)2=5＋0.2x． 解：方程两边减去5，得－3＝0.2x. 方程两边除以0.2，得－15＝x，即x＝－15. 把x＝－15代入方程2＝5＋0.2x右边， 得5＋0.2×(－15)＝2. 方程左、右两边的值相等，故x＝－15是方 程2＝5＋0.2x的解． 感悟新知 方程 方程 建模 实际问题 一元一 次方程 特例 方程的解 等式的性质 课堂小结 已知关于x 的方程2023 x－a=x＋2025 的解为x=3， 那么关于y 的方程2 023(y＋1)－a=(y＋1)＋2025的解为 _______. 题型 利用方程的解的定义确定解 1 例 9 y =2 综合应用创新 思路引导： 解：对比两个方程可知y＋1 =x， 因为x=3，所以y＋1 =3 . 所以y=2 . 所以关于y 的方程2 023(y＋1)－a=(y＋1)＋2025的解为y=2 . 综合应用创新 思路点拨 把第2 个方程中的y＋1 作为整体，看作一个未知数，与已知方程进行比对是解题关键 综合应用创新 [新考法 整体代入法]已知x=－1 是方程ax＋1 =bx－4 的解，求－3 a＋5 b－2(b－5)的值. 题型 利用方程的解的定义求值 2 例 10 思路引导： 综合应用创新 解：－3a＋5b－2(b－5)=－3a＋5b－2b＋10 =－3a＋3b＋10 . 因为x=－1 是方程ax＋1 =bx－4 的解， 所以－a＋1 =－b－4 . 所以a－b=5 , 两边同乘－3 , 得－3a＋3b=－15 ， 所以－3a＋3b＋1 0 =－15 ＋10 =－5， 即－3a＋5b－2(b－5)=－5 . 综合应用创新 整体代入法： 求式子的值时，往往不需要求出字母的值，而是将原式化简，再整体代入求解. 综合应用创新 [新视角 创新探究题]定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为“ 妙解方程”. 例如： 方程2 x＋4 =0 中,2 －4 =－2 , 方程的解为x=－2， 则方程2 x＋4 =0 为“ 妙解方程”. 请根据上述定义解答下列问题： 例 11 题型 利用新定义解决阅读理解题 3 解题秘方：明确“妙解方程”的定义与特征是解题的关键. 综合应用创新 (1)方程2 x＋3 =0 是“妙解方程”吗? 试说明理由. 解：方程2x＋3 =0 中，一次项系数与常数项的差为 2－3 =－1，方程的解为x=－1 .5 . 因为－1 ≠ －1 .5，所以方程2x＋3 =0 不是“妙解方程”. 综合应用创新 (2)已知关于x 的一元一次方程3 x＋m=0 是“妙解方程”，求m 的值. 解：因为3x＋m=0 是“ 妙解方程”， 所以它的解是 x=3 －m.所以3 ( 3 －m)＋m=0 , 解得m=4 .5 . 综合应用创新 (3)已知关于x 的一元一次方程2 x＋a－b=0 是“妙解方程”，并且它的解是x=b. 求代数式ab 的值. 解：因为2x＋a－b=0 是“ 妙解方程”， 所以它的解 是x=2 －(a－b). 所以2 －(a－b)=b, 解得a=2 . 将x=b， a=2 代入原方程得2b＋2 －b=0，解得b=－2 , 所以ab=－4 . 综合应用创新 解题通法 第一步：读懂给出的新定义，尤其是例子； 第二步：将“新定义”转化为我们熟悉的知识 综合应用创新 易错点 忽略等式的性质2 的使用条件而致错 根据等式的性质，下列各式变形正确的是( ) A. 若x=y，则= B. 若a=b，则a－3=3－b C. 若2πr1=2πr2，则r1=r2 D. 若=，则a=c 例12 综合应用创新 错解：A 正解：A. 当a－2 =0 时， 变形不成立；B. 变形中等号两边涉及的运算不同，故不成立；C. 等号两边同除以2π，变形正确；D. 等号两边运算涉及的数不同，故不成立. 答案：C 综合应用创新 诊误区： 1. 若在等式两边同时除以一个含有字母的式子，需保证该式子不等于0. 2. 若等式=，则有x=y，其中隐含a ≠ 0这一条件，切不可忽视. 综合应用创新 考法 利用方程的解的定义求值 1 [中考·永州]关于x 的一元一次方程2x＋m=5 的解为x=1， 则m 的值为(　　) A.3 B.－3 C.7 D.－7 试题评析：本题考查一元一次方程的解的定义， 把x=1 代入方程即可求出m 的值，题目比较简单. 解：把x=1 代入2x＋m=5， 得2×1 ＋m=5，解得m=3 . A 例13 中考风向标 考法 利用等式的性质进行变形 2 [中考·青海] 根据等式的性质，下列各式变形正确的是(　　) A. 若=，则a=b B. 若ac ＝ bc，则a=b C. 若a2 ＝ b2，则a ＝ b D. 若－x ＝ 6，则x ＝－2 例14 中考风向标 试题评析：本题考查对等式性质的掌握情况，根据等式的性质，逐一进行判断即可解答． 解：若=，则c ≠ 0，等式两边乘c，得a=b，故A 符合题 意；若ac=bc， 不能保证c ≠ 0， 故不能在等式两边除以c，得到a=b，故B不符合题意；若a2=b2， 则a 与b 相等或互为相反数，故C 不符合题意；若－x=6， 等式两边乘－3， 得x=－18，故D 不符合题意. 答案：A 中考风向标 考法 根据实际问题列方程 3 [新考向数学文化中考· 连云港 ]元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中， 记载了这样一道题： 良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日， 问良马几何日追及之？ 其大意是： 快马每天行2 40 里， 慢马每天行150 里，慢马先行12 天， 快马几天可追上慢马？ 例15 中考风向标 若设快马x 天可追上慢马， 由题意得(　　) A.= B. =－12 C.240(x－12)＝ 150x D.240x ＝ 150(x＋12) 中考风向标 试题评析：本题考查由实际问题抽象出一元一次方程， 读懂题意， 正确找出等量关系， 并用未知数表示出相关量是解题关键，题目难度中等. 解：由题意可知，快马追上慢马时，慢马行了(x＋12)天，并且二者所行路程相等，所以240x＝150(x＋12)． 答案：D 中考风向标 1. [期末·重庆渝中区]下列方程是一元一次方程的是(　　) A.3x＋5 ＝ y B. x2－4 ＝ 0 C. x ＝ 2 D. ＝ 2 C 综合素养训练 2. 下列变形中，正确的是( ) A. 若3x－1= 2 x＋1，则x= 0 B. 若ac=bc，则a=b C. 若a=b，则= D. 若=，则y= z D 综合素养训练 3. [新考向数学文化中考· 南充]《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”(尺、寸是长度单位，1 尺＝ 10 寸). 意思是，现有一根长木，不知道其长短. 用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1 尺． 综合素养训练 问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　　) A. (x＋4.5)=x－1 B. (x＋4.5)＝ x＋1 C. (x－4.5)＝ x＋1 D. (x－4.5)＝ x－1 A 综合素养训练 4. [中考·金华] 如图， 在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是(　　) A.3×2 x＋5= 2 x B.3×2 0 x＋5=10 x×2 C.3×2 0 ＋x＋5= 2 0 x D.3×(2 0 ＋x)＋5=10 x＋2 D 综合素养训练 5. [新考法 定义法]在① 2x－1； ② 2x＋1 =3x；③ |π－3 |=π－3；④ t＋1 =3 中，等式有________，方程有________ ．(填序号) ②③④ ②④ 综合素养训练 6. [母题 教材P117 练习T1]根据等式的性质填空： (1)如果a=b，那么a______=b－3； (2)如果5x＋3=－7，那么5x=－7＋______. －3 (－3) 综合素养训练 7. [中考·天津河东区]方程(a－3)x|a|－2＋2＝a＋3 是关于x 的一元一次方程，则a ＝______． －3 综合素养训练 8. [新考法 整体代入法]若a 是方程x2－2x－1 =0 的解， 则代数式a2－2a＋2024的值为______． 2 025 综合素养训练 9. [新视角 图文信息题]如图，根据图中的信息，可得正确的方程是____________________ . 综合素养训练 10. [母题 教材P115 练习T1]判断x=6 和x=4是不是方程2x－3 =5(x－3)的解. 解：当x＝6时，方程左边＝2×6－3＝9， 右边＝5×(6－3)＝15，方程左、右两边的值不相等，所以x＝6不是方程2x－3＝5(x－3)的解； 当x＝4时，方程左边＝2×4－3＝5， 右边＝5×(4－3)＝5，方程左、右两边的值相等，所以x＝4是方程2x－3＝5(x－3)的解． 综合素养训练 11. [母题 教材P117 练习T2]利用等式的性质解下列方程： (1)x－6 ＝ 12； (2)x ＝－12 ； 解：方程两边加6，得x＝18. 综合素养训练 (3)4x＋8 ＝－6； (4)3－x＝. 综合素养训练 12. 小强的爸爸乘飞机从杭州去北京，你能根据小强、小燕的对话求出小强爸爸的机票价格吗？ 小强：我爸爸携带了30 kg 行李，购买了165 元的 行李票． 小燕：按规定，旅客最多可免费携带20 kg 行李， 行李超重部分每千克按机票价格的1.5% 购买行李票． 综合素养训练 解：设机票价格为x元． 由题意得(30－20)×x×1.5%＝165， 解得x＝1 100. 答：机票价格为1 100元． 综合素养训练 13. [新考法 新定义运算法]符号“ ⊙ ” 代表一种新的运算． 已知2⊙3 ＝2＋3 ＋4 ， 7⊙2 ＝7＋8 ， 3⊙5 ＝3＋4＋5＋6＋7，…． (1)求1 ⊙ 3 的值. 解：1⊙3＝1＋2＋3＝6. 综合素养训练 (2)是否存在数n，使n⊙8＝60 ？若存在，试求出n的值；若不存在，请说明理由． 解：存在． 因为n⊙8＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋7)＝8n＋28，且n⊙8＝60，所以8n＋28＝60，解得n＝4. 综合素养训练 x＋＝180 解：a－1＝b＋1. 等式两边同时乘2，得a－2＝b＋2. 等式两边同时加2，得a－2＋2＝b＋2＋2， 即a＝b＋4. π×x＝π××(x＋5) 方程两边除以，得x＝－16. 解：方程两边减8，得4x＝－14. 方程两边除以4，得x＝－. 方程两边减3，得－x＝－. 方程两边乘－，得x＝. $$