2.2.1直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 一 二 三 学习目标 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，并会用它们求直线的方程 会利用直线的点斜式和斜截式方程解决有关的问题 学习目标 复习回顾 1. 如何求直线的斜率？ k=tanα （x1≠x2） (α≠90°) 2. 如何判断直线的平行与垂直？ (1) 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 (2) 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为90°, 显然有l1 // l2. 当直线l1或l2的倾斜角为90°时, 若l1⊥l2, 则另一条直线的倾斜角为0°; 反之亦然. 新课导入 问题 如何确定一条直线？ 已知两点可以确定一条直线。 已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线。 在直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.也就是说这条直线上任意一点的坐标P(x, y)与P0的坐标(x0, y0)和斜率k 之间的关系是完全确定的. 这一关系如何表示呢？ 那么，接下来我们来探究点P0(x0,y0)和斜率 k（或倾斜角）之间的关系。 新知探究 问题1 如图,直线 l 经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P (x，y)是直线l上不同于点P0 的任意一点，试问 x 与 y 之间满足怎样的关系式？ x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 由斜率公式得 即 追问1 直线l上每一个点的坐标(x，y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？ 追问2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上？ ? 概念生成 我们把方程 称为过点P0(x0，y0),且斜率为k的直线l的方程。 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式． 方程 y－y0 = k(x－x0)由直线上一个定点P0(x0, y0)及该直线的斜率k确定, 我们把它叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式. x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0, y0)的一条直线． 追问 方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 等价吗？ 问题2.1 当直线的倾斜角为0°时，直线的方程是什么？为什么？ 问题2.2 当直线的倾斜角为90°时，直线的方程是什么？为什么？ 特别地 x轴的方程为y =0. 特别地 y轴的方程为x =0. 新知探究 当直线l的倾斜角为0°时, tan0°=0, 即k=0, 这时直线l与x轴平行或重合, 直线l的方程为 当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的斜率不存在，这时l与y轴平行或重合, 直线l的方程不能用点斜式表示, 此时直线l的方程为 直线的点斜式方程不能表示所有的直线， 不能表示垂直于x轴的直线（因为斜率不存在） 结论： 典例解析 例1 直线l经过点P0(－2, 3), 倾斜角α=45°,求这条直线的方程, 并画出直线l. x y O P0(-2,3) • l • P1(-1,4) 巩固练习 课本P62 1. 写出下列直线的点斜式方程: (1) 经过点A(3, －1), 斜率是 ; (2) 经过点B(－ , 2), 倾斜角是30°; (3) 经过点C(0, 3), 倾斜角是0° ; (4) 经过点D(－4,－2), 倾斜角是 2.填空题： (1) 已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是____ ; (2) 已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1). 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是___. 45° 60° 新知探究 问题3 下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点P0(0, b), 这时P0 是直线l与y轴的交点, 此时方程该如何表示？ x y O P0(0,b) • l 将点P0(0, b)代入直线的点斜式方程, 得 即 我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距. 方程 y=kx+b由直线的斜率与它在 y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. k的几何意义: b的几何意义: 直线的斜率 直线在y轴上的截距 截距不是距离，因为截距表示直线与坐标轴交点的对应坐标，分为纵截距和横截距, 它们可以是正,负或零, 是实数; 而距离指长度, 为非负数. 追问 截距是距离吗? 巩固练习 课本P62 3. 写出下列直线的斜截式方程: (1) 斜率是 ，在y轴上的截距是－2; (2) 斜率是－2，在y轴上的截距是4. 补充 (3) 在y轴上的截距是4,且与x轴平行; (4) 倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (5) 斜率为2，与x轴的交点为(5,0); (6) 斜率为2，与y轴的交点到原点的距离为5. 新知探究 问题4.1 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道，一次函数的图像是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b? 问题4.2 你能说出一次函数y=2x-1、y=3x及y=-x+3图像的特点吗? 分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，对于y=kx+b， 从函数的角度看，表示的是自变量x与因变量y之间的对应关系； 从直线方程的角度看，表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系. 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数). 例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，这个直线方程就不能称一次函数了. 一次函数y=2x-1、y=3x及y=-x+3图像所对应的三条直线， 斜率不同，分别为2，3，-1； 在y轴的截距也不同，分别为-1，0，3 典例解析 例2 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论: (1) l1//l2的条件是什么? (2) l1⊥l2的条件是什么? 结论：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2. 巩固练习 课本P62 4. 判断下列各对直线是否平行或垂直: (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 补充 能力提升 补充例题 已知直线l过点A(2，－3)． (1)若l与直线y＝－2x＋5平行，求其方程； (2)若l与直线y＝－2x＋5垂直，求其方程． 解： (1)已知直线方程为y＝－2x＋5，又l与其平行， 则可设l的方程为y＝－2x＋b. ∵l过点A(2，－3) ∴－3＝－2×2＋b，则b＝1. ∴直线l：y＝－2x＋1 (2)已知直线 y＝－2x＋5的斜率为－2，l与其垂直， 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k 注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解. 斜率k存在 斜率k存在 x轴所在直线的方程是: y=0 y轴所在直线的方程是: x=0 可设l方程为y＝eq \f(1,2)x＋c. 又∵l过点A(2，－3)，∴－3＝eq \f(1,2)×2＋c，则c＝－4. ∴直线l：y＝eq \f(1,2)x－4，即x－2y－8＝0. $$