第三单元长方形和正方形（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学苏教版

长方形和正方形 板块一：考点精讲 1．长方形的特征及性质 【知识点归纳】 长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等． 长方形的性质： 1．长方形的4个内角都是直角； 2．长方形对边相等； 3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点． 4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质 长方形的判定： ①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形 矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab． 黄金长方形： 宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形． 黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等． 2．正方形的特征及性质 【知识点归纳】 1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．性质： （1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直 （2）内角：四个角都是90°； （3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角； （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）． （5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质． （6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． （7）正方形是特殊的长方形． 3．长方形的周长 【知识点归】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示． 计算方法： ①周长＝长+宽+长+宽 ②周长＝长×2+宽×2 ③周长＝（长+宽）×2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得． （2）周长概念和公式要理解牢记． 4．正方形的周长 【知识点归纳】 正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4． 用字母表示为c＝4a． 【解题思路点拔】 （1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得． 板块二：高频考点 一、选择题 1．把下图一个长方形和一个正方形拼成一个长方形，周长是（    ）厘米。 A．32 B．35 C．40 2．两个面积相等的长方形，它们的周长（     ）． A．相等 B．不相等 C．无法比较 3．下面的图形都是用6个边长1厘米的正方形拼成的。数一数、比一比，图形（    ）的周长最短。 A． B． C． 4．如图，将一张长方形纸沿虚线对折，可以验证这个长方形的（    ）。    A．两条长边相等 B．两条短边相等 C．相邻的边相等 5．一个长方形周长24分米，长8分米，宽是（     ）． A．3分米 B．4分米 C．8分米 6．小明从家到学校有两条路（如图），哪条路近一些？（    ） A．A B．B C．一样近 7．一个正方形的边长是2分米，那么它的周长是（　　）分米． A．4 B．8 C．80 8．把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形和原长方形的周长相比（    ）。 A．平行四边形的周长大 B．长方形的周长大 C．一样大 二、填空题 9．一个正方形苗圃和一个长方形苗圃的周长相等，长方形苗圃的长是13米，宽是9米，正方形苗圃的边长是( )米。 10．把一张长5分米、宽2分米的长方形纸，剪成两个完全一样的小长方形．一个小长方形的周长至少是（ ）． 11．把2个边长都是6厘米的正方形拼成一个长方形，则长方形的周长是( )厘米。 12．在一张长7厘米，宽5厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，正方形周长是( )厘米。 13．如下图，这是一个由五块小长方形拼成的图形，小长方形长为6厘米，宽为( )厘米。 14．长方形、平行四边形的（ ）边相等．长方形、正方形都有（ ）个角，它们的角都是（ ）角。 15．下面三个图形都是用相同的小棒拼成的。根据前三个图形的排列规律，第4个图形由( )根小棒拼成。 16．在长方形中（ ）的边互相平行，相邻的边互相垂直． 三、判断题 17．正方形不但对边相等，而且4条边都相等。( ) 18．一个长方形相邻两条边的和是15厘米，这个长方形的周长是30厘米。( ) 19．用三个周长都是64厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是128厘米。    ( ) 20．长方形、正方形都是由4条线段围成的图形．    ( ) 21．把长方形从中间剪开得到两个正方形，每个正方形的周长是原长方形周长的一半。( ) 22．丽丽用同样长的小棒摆一个长方形，至少需要6根小棒。( ) 23．长方形一条边的长是4米，那么它的周长至少是16米。( ) 24．边长相等的正方形周长也一定相等。( ) 四、解答题 25．一根铁丝可以围成直径是5厘米的圆，如果把它围成一个最大的正方形，正方形的边长是多少厘米？ 26．同学们打算用木条为上图宣传画做一个框架，展示在小区门口。量得宣传画的长是32分米，宽是20分米。需要多少分米的木条？（接头处忽略不计） 27．一个正方形被分成5个相同的长方形，每个长方形的周长都是48厘米，求正方形的周长是多少厘米？ 28．—个长方形的长是28厘米，宽是16厘米．如果把它剪成两个长方形，那么剪过的长方形的周长之和比原来增加了多少厘米？ 29．摆一个正方形至少需要多少根同样长的小棒？摆两个正方形，至少需要多少根同样长的小棒？ 30．方方练习跑步，他沿着长120米、宽50米的长方形操场跑了4圈，他一共跑了多少米？ 31．王阿姨连续一周每天向支付宝存入135元，然后在网上购物用去了276元。王阿姨的支付宝里还有多少元？ 32．一个长方形花圃，长是15米，宽是8米，在这花圃四周围上栅栏，栅栏长多少米？如果花圃一面靠墙，栅栏至少多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A B C B C 1．A 【分析】将给出的长方形和正方形拼成一个大的长方形，则长方形的宽边和正方形的一边相接。这个大的长方形的长为8＋4＝12厘米，宽为4厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2解答。 【详解】（8＋4＋4）×2 ＝16×2 ＝32（厘米） 则周长是32厘米。 故答案为：A。 【点睛】解决本题的关键是明确拼成的长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式解答。 2．C 3．C 【分析】根据周长的意义，围成图形的边长的总和叫作图形的周长．据此解答即可。 【详解】A．图A通过平移转化为长是4厘米、宽是2厘米的长方形，再加上2厘米，周长是：（4＋2）×2＝12（厘米）； B．图B通过平移转化为长是4厘米、宽是3厘米的长方形，再加上2厘米，周长是：（4＋3）×2＝14（厘米）； C．图C的周长是：（3＋2）×2＝10（厘米）； 故答案为：C。 【点睛】此题考查了长方形周长的应用，关键是明确周长公式即可。 4．A 【分析】沿图中虚线对折，对折后长方形的两条长边互相重合。 【详解】将一张长方形纸沿虚线对折，可以验证这个长方形的两条长边相等。 故答案为：A 【点睛】两条线段能完全重合，则说明两条线段相等。 5．B 6．C 【分析】利用平移的方法，把B路线转化成长方形的长和宽，据此分析即可。 【详解】如图所示： 那么两条路线的长度都是长方形的一条长边加一条宽边的长度和，所以A路线和B路线一样近。 故答案为：C 7．B 【详解】试题分析：正方形的周长=边长×4，边长已知，代入公式即可求解． 解：2×4=8（分米）； 答：它的周长是8分米． 故选B． 点评：此题主要考查正方形的周长的计算方法． 8．C 【分析】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，拉成的平行四边形的四条边和原来的长方形四条边的长度都没有发生变化，所以它们的周长相等。 【详解】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长与原长方形的周长相比一样长。 故答案为：C 【点睛】本题解题关键是理解把一个长方形框架拉成一个平行四边形，拉成的平行四边形和原来的长方形四条边的长度都没有发生变化，只是面积发生了变化。 9．11 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形苗圃的周长，也就是正方形苗圃的周长。再根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形苗圃的边长。 【详解】（13＋9）×2 ＝22×2 ＝44（米） 44÷4＝11（米） 正方形苗圃的边长是11米。 10．9分米 【详解】试题分析：把大长方形剪成两个完全一样的小长方形，有两种剪法，一种是长不变，在宽的中间剪开，即分成两个长不变，宽减半的小长方形；另一种是宽不变，在长的中间剪开，即分成两个宽不变，长减半的小长方形．再根据长方形的周长公式计算出这两种不同的小长方形的周长，比较出大小即可． 解：在宽的中间剪开：小长方形的长是5分米，宽是2÷2=1分米，周长是（5+1）×2=12（分米） 在长的中间剪开：小长方形的长是5÷2=2.5分米，宽是2分米，周长是（2.5+2）×2=9（分米） 9分米＜12分米 故一个小长方形的周长至少是9分米． 点评：本题主要考查长方形的周长，把大长方形剪成两个完全一样的小长方形，有两种剪法，分别求出这两种小长方形的周长，在比较大小，找出最小的周长即可． 11．36 【分析】长方形的长为：2×6＝12（厘米），宽为6厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据即可解答。 【详解】2×6＝12（厘米） （12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 【点睛】本题考查了长方形的周长，学生应熟练掌握并灵活运用。 12．20 【分析】最大的正方形边长是5厘米，根据正方形周长＝边长×4进行计算即可。 【详解】5×4＝20（厘米） 【点睛】此题考查正方形的周长，根据公式代入数据计算即可。 13．4 14． 四条 四 直 【详解】试题分析：因为长方形和正方形和平行四边形都是四边形，所以具备四边形的特征：都有4条直的边，4个角；其中长方形和正方形具备独有特征：4个角都是直角． 解：长方形、平行四边形的四条边相等．长方形、正方形都有四个角，它们的角都是直角． 故答案为四条，四，直． 【点评】解答此题用到的知识点：（1）四边形的特征；（2）长方形和正方形、平行四边形的特征． 15．13 【分析】根据题图可知，第一个图形由4根小棒拼成。第二个图形由7根小棒拼成，即4＋3根小棒。第三个图形由10根小棒拼成，即7＋3根小棒。则每增加一个正方形，需要增加3根小棒。则第四个图形中由10＋3＝13根小棒拼成。 【详解】10＋3＝13（根） 则第4个图形由13根小棒拼成。 【点睛】解决本题时应根据给出图形，求出拼成图形需要小棒数量之间的关系，再根据这个关系解答。 16．相对 【详解】试题分析：根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行． 解：由根据长方形的特征可知：长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行； 故答案为相对． 点评：此题主要考查长方形的特征． 17．√ 【分析】根据正方形的特征，正方形的4条边的长度都相等，4个角都是直角，据此判断。 【详解】由正方形的特征可知，正方形不仅对边相等，而且4条边都相等。这种说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是掌握正方形的特征及应用。 18．√ 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，因此用这个长方形相邻两条边的和乘2即可，依此判断。 【详解】15×2＝30（厘米） 一个长方形相邻两条边的和是15厘米，这个长方形的周长是30厘米。 故答案为：√ 19．√ 【分析】想一想，拼成的长方形长是多少厘米，宽又是多少厘米？ 【详解】64÷4＝16（厘米） （16＋16＋16＋16）×2＝128（厘米） 故答案为：√ 20．√ 【分析】长方形和正方形都是四边形，四边形是由4条线段围成的图形，据此判断. 【详解】长方形、正方形都是由4条线段围成的图形，原题说法正确. 故答案为正确. 21．× 【分析】 如上图所示：假设长方形的长是4厘米，宽是2厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据求出它的周长；每个正方形的边长都是2厘米，正方形的周长＝边长×4，代入相关数据求出它的周长；再来判断每个正方形的周长是不是原长方形周长的一半。 【详解】长方形的周长：（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 正方形的周长：2×4＝8（厘米） 从12厘米、8厘米中可知：每个正方形的周长不是原长方形周长的一半。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握周长的定义是解答此题的关键。 22．√ 【分析】根据长方形的特征：长方形对边相等，且长大于宽。由此可知：用同样长的小棒，摆一个长方形，每条长需要2根小棒，每条宽需要1根小棒，据此判断即可。 【详解】2＋2＋1＋1 ＝4＋1＋1 ＝5＋1 ＝6（根） 丽丽用同样长的小棒摆一个长方形，至少需要6根小棒。所以原题说法正确。 故答案为：√ 23．× 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，假设一个长方形的长是4米，宽是1米，那么它的周长是（4＋1）×2＝10米，据此解答。 【详解】假设一个长方形的长是4米，宽是1米， 那么它的周长是（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（米） 因此，长方形一条边的长是4米，那么它的周长至少是16米，这种说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方形的周长公式及应用。 24．√ 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，两个正方形的边长相等，则它们的周长也相等。据此判断。 【详解】由分析得： 边长相等的正方形周长也一定相等。说法正确。 故答案为：√ 25．这个正方形的边长是4.71厘米 【详解】试题分析：先依据圆的周长公式求出铁丝的长度，也就等于知道了正方形的周长，进而利用正方形的周长公式即可求出其边长． 解：3.14×6÷4， =18.84÷4， =4.71（厘米）； 答：这个正方形的边长是4.71厘米． 点评：此题主要考查圆的周长和正方形的周长的计算方法的灵活应用． 26．104分米 【分析】根据题意可知，需要木条的长度等于长方形框架的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算。 【详解】（32＋20）×2 ＝52×2 ＝104（分米） 答：需要104分米的木条。 27．80厘米 【分析】如图，正方形被分成5个相同的长方形，小长方形的长是宽的5倍，宽是1份，长是5份，长加宽是6份，长方形的周长都是48厘米，长加宽是24厘米，1份是4厘米，5份是20厘米，即正方形的边长，乘4得到正方形的周长。 【详解】如图所示： （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 答：正方形的周长是80厘米。 【点睛】本题把和倍问题与基础的周长问题相结合，关键是熟练应用长方形、正方形的周长公式求解问题。 28．32厘米或56厘米 【详解】16×2＝32（厘米）或28×2＝56（厘米） 29．4根；7根 【分析】正方形有4条边，而且4条边同样长，摆一个正方形需要4根小棒，每增加一个正方形就需要增加3根小棒，摆两个正方形，至少需要7根同样长的小棒；据此解答。 【详解】 答：用同样长的小棒，摆一个正方形，最少需要4根，摆两个正方形，再增加3根同样长的小棒，最少需要7根。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方形的特征及应用。 30．1360米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出绕操场跑1圈的路程，再乘4，求出跑的总路程。 【详解】（120＋50）×2×4 ＝170×2×4 ＝340×4 ＝1360（米） 答：他一共跑了1360米。 【点睛】本题考查长方形周长公式的应用，关键是熟记公式。 31．669元 【分析】1周＝7天，用一周的天数×每天存入的钱数求出存入的总钱数，再减去购物用的钱数，即可解答。 【详解】135×7＝945（元） 945－276＝669（元） 答：王阿姨的支付宝里还有669元。 【点睛】本题主要考查乘法的实际应用，求几个相同加数的和，用乘法解答。 32．46米；31米 【分析】第1问，根据长方形的周长公式来计算栅栏的长度。要使得栅栏最短，即让较长的边靠墙，即15米靠墙，周长就是2个8米与1个15米的和。 【详解】（15＋8）×2 ＝23×2 ＝46（米） 答：在这花圃四周围上栅栏，栅栏长46米。 15＋8×2 ＝15＋16 ＝31（米） 答：栅栏至少31米。 【点睛】长方形的周长：（长＋宽）×2。这道题的重点是确定哪一条边靠墙。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$