精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末复习题

北师大版七年级数学下册期末复习测试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是 （ ） A. “明天下雨可能性是” 说明明天有的时间在下雨 B. 了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 C. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“点朝上”是随机事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A. 与都是变量，且是自变量，是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 C. 所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 6. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 8. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（ ） A 只有方法一可行 B. 只有方法二可行 C. 方法一、二都可行 D. 方法一、二都不可行 10. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是______． 12. 小明带100元去买单价为6元的笔记本，则他所剩余的钱（元）与他买这种笔记本的本数之间的关系式为______． 13. 矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则___． 14. 如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是________°． 15. 如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是___（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算： ①． ②． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，，分别交于点M，N，，平分交于点G，求的度数． 18. 2024年4月4号清明节，小明骑自行车从家里出发去枣庄市中区烈士陵园纪念先烈，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，最后抵达了烈士陵园，如图所示描述了小明出发去烈士陵园所用的时间与离家的距离之间的关系． （1）图中自变量是 ，因变量是 ； （2）小明从家到烈士陵园的路程共2千米，从家出发到烈士陵园，共用 分钟； （3）小明修车用了 分钟； （4）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 19. 如图，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线． （1）画出关于直线的对称图形； （2）仅用无刻度直尺在边上找到点，使得的面积等于面积的（保留作图痕迹）． 20. 在一个不透明盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 22. （1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式：______． （2）由（1）的结果进行应用：若对a的任何值都成立，求的值． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 23. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）连接，当线段经过点C时，求t的值． 24. 如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且 （1）求的度数； （2）求证： 平分 （3）若，且求的面积． 25. 【问题初探】 在数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，．求的度数． 同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．” 创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为：__________； （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了__________数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出的度数． 类比分析】 （4）李老师为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图5，平分，请探究与的数量关系（用含的式子表示）； 【学以致用】 （5）如图6，平分平分平分平分，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版七年级数学下册期末复习测试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴：掌握定义是解题关键． 2. 下列说法正确的是 （ ） A. “明天下雨的可能性是” 说明明天有的时间在下雨 B. 了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 C. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“点朝上”是随机事件 D. 从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，根据概率的意义，全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答.熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【详解】、“明天下雨的可能性是” 说明明天有下雨的可能性较大，原选项说法错误，不符合题意； 、了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，原选项说法错误，不符合题意； 、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， “点朝上”是随机事件，原选项说法正确，符合题意； 、从名学生中随机抽取名学生进行调查，样本容量是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，平方差公式的运用，根据相关运算法则计算进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直角的定义，可以求得，根据平行线的性质，可以知道，从而求得答案． 【详解】如图所示： 由题意可知，， 故选：C． 5. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A. 与都是变量，且是自变量，是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 C. 所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【解析】 【分析】根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意； C．物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意； D．根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原选项错误，因此该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 6. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当添加时，无法判断，故A选项符合题意； 当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意； 当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意； 当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 7. 已知，则的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由逐步代入可得答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，考查了用平方差公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键． 8. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有方法一可行 B. 只有方法二可行 C. 方法一、二都可行 D. 方法一、二都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键． 10. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为点B，点P是射线上一动点，点M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形得到，作点N关于直线的对称点G，过G作于M，交于P，则此时，的值最小，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 作点N关于直线的对称点G，则：， ∴当三点共线时，的值最小， 过G作于M，交于P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．掌握轴对称的性质和垂线段最短，添加辅助线，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 学校开展艺术节，小明从感兴趣的“剪纸”“书法”“摄影”3个项目中随机选择一项参加，每个项目被选中的可能性相等，小明恰好选中“书法”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有“剪纸”“书法”“摄影”3个项目， ∴小明恰好选中“书法”的概率为． 故答案为：． 12. 小明带100元去买单价为6元的笔记本，则他所剩余的钱（元）与他买这种笔记本的本数之间的关系式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列出函数解析式，根据剩余的钱数总钱数所花钱数，进行列式求解即可． 【详解】解：由题意得，小明所剩余的钱（元与他买这种笔记本的本数之间的关系式为，即， 故答案为：． 13. 矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则___． 【答案】7 【解析】 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 14. 如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是________°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；过点A作，且，连接，证明，推出，得出，可知当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，连接交于点，交于点F，推出，，得出，进而可求出答案． 【详解】解：如图：过点A作，且，连接， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接交于点，交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70． 15. 如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是___（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和、全等三角形的判定和性质、垂线的定义等知识点，解题的关键熟知相关的定理和定义． 由高线定义及对顶角相等可判断①正确；由角平分线定义、三角形内角和、高线可判断②错误；由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的判定和性质可推导④正确． 【详解】∵是高线，， ∴，又， ∴（同角的余角相等），故①正确； 由平分知，， 由是高线知，， ∴， 即，故②错误； ，故③正确； ∵， ∴ ∴， ∴ 故④正确． 因此正确的选项有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算： ①． ②． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）①0，②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算和求值的应用，能综合运用法则进行计算是解此题的关键． （1）先计算负指数幂，零指数幂和乘方，再算加减法； （2）利用幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方计算，再合并同类项； （3）先算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）①原式； ②原式． （2）原式 ； 当时， 原式． 17. 如图，，分别交于点M，N，，平分交于点G，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的求解，先求出的度数，再根据角平分线定义求出的度数，最后利用两直线平行内错角相等即可求出结果． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． 18. 2024年4月4号清明节，小明骑自行车从家里出发去枣庄市中区烈士陵园纪念先烈，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，最后抵达了烈士陵园，如图所示描述了小明出发去烈士陵园所用的时间与离家的距离之间的关系． （1）图中自变量是 ，因变量是 ； （2）小明从家到烈士陵园的路程共2千米，从家出发到烈士陵园，共用 分钟； （3）小明修车用了 分钟； （4）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】（1）小明出发去烈士陵园所用的时间；离家的距离 （2） （3） （4）修车前的平均速度，修车后的平均速度 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图像、行程问题等知识点，正确从函数图像上获取信息是解答本题的关键． （1）根据图像结合自变量和因变量定义即可解答； （2）根据图像即可得到小明从家到烈士陵园所用的时间； （3）根据图像确定路程不发生变化段所用的时间即可； （4）先确定路程和时间，然后根据路程、速度、时间的关系即可解答． 【小问1详解】 解：由函数图像可得：自变量是小明出发去烈士陵园所用的时间；因变量是离家的距离． 故答案为：小明出发去烈士陵园所用的时间；离家的距离； 【小问2详解】 由图像可得：小明从家出发到烈士陵园，小明共用了分钟． 故答案为：； 【小问3详解】 小明修车所用时间为：， 故答案为：； 【小问4详解】 小明修车前的速度为， 小明修车后的速度为， 答：小明修车前的速度为，小明修车后的速度为． 19. 如图，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线． （1）画出关于直线的对称图形； （2）仅用无刻度直尺在边上找到点，使得的面积等于面积的（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，以及相似三角形对应边成比例． （1）先画出点A、B、C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）连接交于点E，点E即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：连接交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于面积的． 20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，可以将盒子中的白球拿出3个． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球概率为：； 【小问2详解】 解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线性质可得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求出，再由两直线平行内错角相等即可求解． 【小问1详解】 证明， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 22. （1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式：______． （2）由（1）的结果进行应用：若对a的任何值都成立，求的值． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是多项式乘多项式与图形面积，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）先求得阴影部分矩形的长与宽可直接求得阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积正方形的面积个边长分别为a、x的矩形个边长分别为b、x的矩形个边长分别为a、b的矩形，从而得到恒等式； （2）依据（1）的结果可知，然后根据两个多项式的对应项相同求解即可； （3）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴． （2）由（1）可知：， 又∵， ∴，． 解得：，， ∴； （3）∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ∴． 23. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】（1）见解析 （2）t的值为或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由证明，得，即可得出结论； （2）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出t即可． 【小问1详解】 证明∶ 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶ 由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 24. 如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且 （1）求的度数； （2）求证： 平分 （3）若，且求的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 25. 【问题初探】 在数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，．求的度数． 同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．” 创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为：__________； （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了__________数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出的度数． 【类比分析】 （4）李老师为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图5，平分，请探究与的数量关系（用含的式子表示）； 【学以致用】 （5）如图6，平分平分平分平分，求的度数． 【答案】（1）过点作；（2）转化；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线作辅助线解决几何求角的问题． （1）根据平行线的性质画出辅助线解答即可； （2）根据转化的数学思想解答即可； （3）根据平行线的性质解答即可； （4）过点作，根据平行线的性质解答即可； （5）根据平行线的性质和角平分线的定义求出，根据平分，平分，得出，，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）勤奋小组的同学辅助线的做法为：过点作； 故答案为：过点作； （2）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想． 故答案为：转化； （3）如图3，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ，， ； 如图4，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ，， ∴， ； （4）设，， 过点作， ，， ∵， ∴， ， ， 由， ， ， 即． （5）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$