22.1.2二次函数y＝a x²的图像和性质同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.2二次函数y＝a x2的图像和性质 考试时间：45分钟；总分：100分 姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1．下列图象中，可能是二次函数y＝﹣3x2的图象的是（　　） A．B．C．D． 2．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x＝0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 4．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣3，9），则该图象必经过点（　　） A．（3，9） B．（﹣3，﹣9） C．（﹣9，3） D．（9，﹣3） 5．已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 6．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C．﹣ D．0 7．如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　） A．﹣3 B． C． D． 8．如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，﹣1），（3，﹣1）（3，﹣3），（1，﹣3），若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣3≤a≤﹣ B．≤a≤3 C．≤a≤1 D．﹣1≤a≤﹣ 9．抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝﹣x2，y＝2x2的图象开口最大的是（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣3x2 C．y＝﹣x2 D．y＝2x2 二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分） 10．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　． 11．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是 　 　． 12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　． 三．解答题（共4小题，满分52分，每小题13分） 13．（13分）已知函数y＝（m+3）x是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？当m为何值时，该函数有最小值？ 14．（13分）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点． （1）请求出a，k，b的值； （2）当点P在直线AB上方时，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，设点P的横坐标为m，PC的长度为L，求出L关于m的解析式； （3）在（2）的基础上，设△PAB面积为S，求出S关于m的解析式，并求出当m取何值时，S取最大值，最大值是多少？ 15．（13分）如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为 （1，1）． （1）求直线l和抛物线的函数解析式． （2）在x轴上是否存在一点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S△AOD＝S△OBC，求D点坐标． 16．（13分）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象： （1）y＝x2； （2）y＝﹣x2． 列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … … y＝﹣x2 … … 在同一平面直角坐标系中描点、连线． 参考答案 一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1．解：∵二次函数y＝﹣3x2， ∴该函数图象开口向下，顶点为（0，0），形状为抛物线， 故选：D． 2．解：∵a＝2＞0， ∴抛物线开口向上，所以①正确； ∵y＝2（x﹣3）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，1），所以②③错误； 当x＜3时，y随x的增大而减小，则当x＜2，y随x的增大而减小，所以④正确； 当x＝3时，y有最小值1，所以⑤错误． 故选：B． 3．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 4．解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（﹣3，9），则该图象必经过点（3，9）． 故选：A． 5．解：∵抛物线y＝x2， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）． 又∵0＜1＜2， ∴y1＞y2＞0， 故选：C． 6．解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a＝﹣． 故选：C． 7．解：如图，过A作AD⊥x轴于D， 由题意可知∠AOD＝30°； 已知正方形的边长为2，则OD＝OA＝，AD＝＝1； 故A（，﹣1）， 代入抛物线的解析式中，得：3a＝﹣1， 解得a＝﹣； 故选：D． 8．解：抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，﹣3）时，a＝﹣3， 当抛物线经过（3，﹣1）时，a＝﹣， 观察图象可知﹣3≤a≤﹣， 故选：A． 9．解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大， 又∵， ∴抛物线y＝x2，y＝﹣3x2，y＝﹣x2，y＝2x2的图象开口最大的是y＝x2， 故选：A． 二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分） 10．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　8　． 解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 11．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是 　m＜﹣1　． 解：∵y＝（m+1）x2， ∴抛物线顶点坐标为（0，0）， 当m+1＜0时，抛物线有最高点， ∴m＜﹣1， 故答案为：m＜﹣1． 12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　a＞b＞d＞c　． 解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 三．解答题（共4小题，满分52分，每小题13分） 13．（13分）已知函数y＝（m+3）x是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？当m为何值时，该函数有最小值？ 解：（1）∵函数是关于x的二次函数， ∴m2﹣14＝2，且m+3≠0， 解得m＝±4， 即m的值为4或﹣4， （2）当m＝﹣4时，m+3＝﹣1＜0，函数图象开口向下， ∴当m为﹣4时，函数图象开口向下， 当m＝4时，m+3＝7＞0，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为4时，函数有最小值． 14．（13分）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点． （1）请求出a，k，b的值； （2）当点P在直线AB上方时，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，设点P的横坐标为m，PC的长度为L，求出L关于m的解析式； （3）在（2）的基础上，设△PAB面积为S，求出S关于m的解析式，并求出当m取何值时，S取最大值，最大值是多少？ 解：（1）由题意得，（﹣1）2a＝﹣1，∴a＝﹣1， ∵，解得：， 故k＝﹣1，b＝﹣2，a＝﹣1 （2）由（1）得，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，抛物线的解析式为y＝﹣x2． 由题意得：P（m，﹣m2），C（m，﹣m﹣2）， ∴L关于m的解析式：L＝﹣m2+m+2（﹣1＜m＜2）． （3）如图， ∵S△PAB＝S△PAC+S△PBC， ∴S＝+ ＝ ＝ 配方，得：S＝， 即当m＝时，S取最大值，最大值为． 15．（13分）如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）． （1）求直线l和抛物线的函数解析式． （2）在x轴上是否存在一点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S△AOD＝S△OBC，求D点坐标． 解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（2，0），B（1，1）代入得， 解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2； 把B（1，1）代入y＝ax2得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝x2； （2）∵B（1，1）， ∴， ①当时，或； ②当OP＝PB时，点P是线段OC的垂直平分线与x轴的交点． 设P（p，0）， ∴p2＝（p﹣1）2+12， 解得：p＝1， ∴P（1，0）． ③当时， ； 解得：p＝0（舍去）或p＝2， ∴P（2，0）； 综上所述，符合条件的点P的坐标为：或或P（1，0）或P（2，0）； （3）联立得， 解得：， ∴C（﹣2，4）， ∴， 设D（t，t2）（t＞0）， ∵S△AOD＝S△OBC， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 16．（13分）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象： （1）y＝x2； （2）y＝﹣x2． 列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … … y＝﹣x2 … … 在同一平面直角坐标系中描点、连线． 解：列表： 在坐标系中描点、连线，如图： 学科网（北京）股份有限公司 $$