4.1整式 （课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

4.1 整式 第四章 整式的加减 知识点 代数式 知1－讲 1 1. 单项式 由数或字母的积组成的式子叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. •••••• 感悟新知 知1－讲 2. 单项式的系数与次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 特别提醒：①单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关； ②当单项式的系数为1 或－1 时，通常省略不写； ③“π”是数而不是字母，含有“π”的单项式中，系数包括“π”. •••• • ••••••• 感悟新知 知1－讲 (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. ••••••••• •• 感悟新知 知1－讲 特别提醒：① 单项式的次数仅与字母的指数有关，与系数的指数无关； ②若单项式的某个字母没写指数，实际上这个字母的指数为1，计算时不要遗漏； ③对于一个非零的数，规定它的次数为0 . 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 数或字母的积包含：数与数的积、数与字母的积、字母与字母的积. 2. 当字母出现在分母或作除数时，不是积的形式，所以不是单项式；但是数字出现在分母中时，看作分数因数，不影响单项式的判定. 感悟新知 知1－练 例 1 找出下列各式中的单项式，并写出单项式的系数和次数. (1)－m；(2) －；(3)；(4)(a＋b)h；(5)23xy3；(6)πr2 . 解题秘方：利用单项式的定义及单项式中系数和次数的定义解决问题. 感悟新知 解：单项式：(1)(2)(5)(6). 这些单项式的系数分别是－1，－，8，π.这些单项式的次数分别是1，2，4，2 . 感悟新知 知1－练 1-1.下列说法正确的是( ) A.2πx2 的次数是3 B. 的系数是3 C. x 的系数是0 D. 8 是单项式 D 感悟新知 知1－练 1-2. 新视角 结论开放题请写出一个系数是－2 024，并且含字母x，y 的三次单项式：_____________________ . －2 024x2y(或－2 024xy2)　 感悟新知 知1－练 已知2kx2yn 是关于x，y 的一个单项式，且系数是7，次数是5, 那么k=______，n=______ . 例 2 解题秘方：根据单项式的次数和系数的确定方法求值. 解：由单项式的次数是5，可知x，y 的指数和为5，即2＋n= 5，所以n=3. 由单项式的系数是7，可知2 k =7，所以k =. 3 感悟新知 知1－练 2-1.已知(a－1)·x2ya＋1是关于x，y 的五次单项式，则这个单项式的系数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 A 感悟新知 知2－讲 知识点 多项式 2 1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式. 一个式子是多项式需具备两个条件： (1)式子中含有运算符号“＋”或“－”； (2)分母中不含有字母. ••••• ••• 感悟新知 知2－讲 2. 多项式的项：在多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式. 3. 多项式的次数：多项式里， 次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 4. 确定了多项式的次数和项数后，这个多项式常被称为“几次几项式”. ••••• ••••• •••••• ••• •••••• •••••• ••••• 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念. 2. 在识别多项式的项时，应包含前面的符号，尤其注意项的符号为负号的情况. 3. 单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二者不能混淆. 感悟新知 知2－练 多项式a3b3－4ab4－b－的最高次项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？它是几次几项式？ 例 3 解题秘方：利用多项式的项及次数的定义进行辨析. 解：这个多项式的最高次项是a3b3，一次项系数是－1，常数项是－，它是六次四项式. 感悟新知 知2－练 3-1.[期中·重庆九龙坡区] 关于多项式x2y2－2x2y－xy＋4，下列说法错误的是( ) A． 该多项式是四次四项式 B．二次项的系数为－1 C． 该多项式不含一次项 D．三次项为2x2y D 感悟新知 已知式子3xn－(m－1)x＋1 是关于x 的三次二项式，求m，n 的值． 例 4 解题秘方：直接利用多项式的次数与项数的确定方法分析得出答案． 解：因为3xn－(m－1)x＋1 是关于x 的三次二项式， 所以n=3，m－1= 0.所以m=1，n=3． 感悟新知 4-1. 若多项式(a－2)·x4－xb－x2＋3 是关于x 的三次多项式，则a＋b=_______． 5 感悟新知 知3－讲 知识点 整式 3 1. 定义：单项式与多项式统称整式. 2. 整式、单项式、多项式之间的关系 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 单项式是整式. 2.多项式是整式. 3. 如果一个式子既不是单项式又不是多项式，如：分母中含有字母的式子，那么它一定不是整式. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P93练习T1]下列代数式中那些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中： ，，－y，π(x2－y2)，a2，7x－1，9a2＋－2 . 例 5 解题秘方：紧扣单项式、多项式及整式的概念进行解题. 感悟新知 知3－练 单项式 多项式 整式 ， a2 －y，π(x2－y2)， 7x－1 ， a2， －y， π(x2－y2)， 7x－1 感悟新知 知3－练 5-1. 在代数式：－8，－，2a2＋3a－1，，，0 中，下列结论正确的是( ) A. 有3 个单项式，3 个多项式 B. 有5 个单项式，1 个多项式 C. 有4 个单项式，2 个多项式 D. 有5 个整式 D 感悟新知 整式 整式 单项式 次数 多项式 系数 项数 课堂小结 把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，，，9＋，5，－xy，a2－2ab＋1，. 题型 利用整式的概念进行分类 1 例 6 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 3a， 5，－xy， ， a2－2ab＋1 ， 9＋ 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 思路点拨 1. 寻找整式时，先排除分母中有字母的式子. 2. 整式中若含有“＋，－”运算符号，则是多项式，否则是单项式. 综合应用创新 用整式填空，并指出它们的次数，是多项式的指出各项，是单项式的指出系数. 题型 利用整式的概念进行辨析 2 解题秘方：根据数量关系式或几何公式建立整式，再判断是单项式还是多项式. 例 7 综合应用创新 (1)真实情境题 体育赛事2024 年4 月21 日，安阳马拉松赛燃情开跑，为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传，某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n 再加6，则利用公式加密后上传的数据为_________. 1626n＋6 次数为1，项分别是1626n，6 综合应用创新 (2)圆柱体的底面半径为a，高为h，体积为__________ . πa2h 次数为3，系数为π. (3)[新考向 数学文化]鸡兔同笼是我国古代的一道著名的数学问题，记载于《孙子算经》中，若笼中有m 只鸡与n 只兔，则共有________条腿． (2m＋4n) 次数为1，项分别是2m，4n． 综合应用创新 (4)“x 的3 倍与y 的立方的差”用代数式表示为_______． 3x－y3 次数为3，项分别是3x，－y3． 综合应用创新 特别提醒 1. 单项式的次数只与字母的指数有关，与数字的指数无关，这是判断多项式次数的基础. 2. 项以及系数的判断都要包含前面的符号. 综合应用创新 已知多项式－8x2ym＋2－xy3＋x 是关于x，y 的七次多项式，关于x，y 的单项式6x2nym＋2 与该多项式的次数相同，求(n－m)3的值. 题型 利用整式的概念求值 3 例 8 思路引导： 综合应用创新 解题通法 先由整式的次数条件判断出相关字母的值，然后再将字母的值代入相关整式计算即可. 综合应用创新 解：因为多项式－8x2ym＋2－xy3＋x 是关于x，y 的七次多项式， 所以2＋m＋2=7，易得m=3. 因为关于x，y 的单项式6x2nym＋2 与该多项式的次数相同， 所以2n＋m＋2=2n＋3＋2=7，易得n=1. 所以(n－m)3= (1－3)3=(－2)3=－8. 综合应用创新 [期中·无锡惠山区]如果(m＋3)x2y－(|m|－3)xy－是关于x，y 的三次二项式，则m ＝_______． 思路引导： 例 9 解：因为(m＋3)x2y－(|m|－3)xy－是关于x，y 的三次二项式，所以－(|m|－3)=0，m＋3 ≠ 0，所以m=3. 3 综合应用创新 方法点拨 使多项式不含某一项的方法是让该项的系数为0，多用于实际项数比表现项数少的情况. 综合应用创新 [新视角 创新探究题]如图4 .1-1，若一个表格的行数代表整式的次数，列数代表整式的项数 (规定单项式的项数为1)，那么每个整 式均会对应表格中的某个小方格．若 关于x 的整式A 是三次二项式，则A 对 应表格中标★的小方格. 题型 利用整式的概念解决探究性问题 4 例10 综合应用创新 已知B 是关于y 的整式，下列说法正确的有_______(写出所有正确的序号). ①若B 对应的小方格行数是4，则A＋B 对应的小方格行数一定是4； ②若A＋B 对应的小方格列数是5，则B 对应的小方格列数一定是3； ③若B 对应的小方格列数是3，且A＋B 对应的小方格列数是5，则B 对应的小方格行数不可能是3． ①③ 综合应用创新 解题秘方：A＋B 的次数由A 和B 中次数最高的项决定，项数最高为A 和B 的项数和. 综合应用创新 解：① A 在第3 行，表示A 中最高次数是3 次，B 在第4 行，表示B 中最高次数是4 次， 所以A＋B 中最高次数为4 次. 所以A＋B 必在第4 行，故①正确； 综合应用创新 ② A 在第2 列，表示整式A 有2 项， A＋B 对应的小方格列数是5，表示整式A＋B 有5 项， 故整式B 最少有3 项，而不确定就只有3 项，故② 错误； 特别解读 若整式A 和整式B中没有可以合并的项，则B 一定只有3 项，若含有可以合并的项，则B 的项数多于3. 综合应用创新 ③因为A＋B 对应的小方格列数是5，所以整式A＋B 有5 项. 因为A 在第2 列，B 对应的小方格列数是3，所以整式A，B 的次数不可能相同. 所以B 对应的小方格行数不可能是3．故③正确. 综合应用创新 方法点拨 1. 找规律的常见题型：数阵找规律和图形找规律. 2. 找规律的常用方法：看增幅法. 3. 找规律的常用技巧：标序列号和提公因数. 综合应用创新 易错点 确定单项式的系数与次数易出错 指出单项式 －的系数与次数. 例11 综合应用创新 错解：系数是－，次数是9. 正解：系数为－=－，次数为6. 综合应用创新 诊误区： 在确定单项式的系数时，易忽略数字因数的指数，在确定单项式的次数时，易将数字的指数当成字母的指数. 综合应用创新 考法 整式的有关概念 1 [中考·江西] 单项式－5ab 的系数为______． 试题评析：本题考查单项式的系数的识别，难度较小． －5 例12 中考风向标 考法 用代数式表示数量关系 2 [中考·西藏] 按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…，则按此规律排列的第n 个单项式为_________.(用含有n 的代数式表示) (3n＋2)an 例13 中考风向标 试题评析：本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键． 解：第n 个单项式的系数可表示为3n＋2，字母a 的指数可表示为n，所以第n 个单项式为(3n＋2)an． 中考风向标 1.[中考·海南]下列整式中，是二次单项式的是( ) A. x2＋1 B. xy C. x2y D.－3x B 综合素养训练 2. 单项式的系数是( ) A. B. π C. 2 D. D 综合素养训练 3. [新考法 概念辨析法]对于多项式－3x＋2xy2－1，下列说法正确的是( ) A．一次项系数是3 B．最高次项是2xy2 C．常数项是1 D．是四次三项式 B 综合素养训练 4. [期末·潍坊寿光市]某商店按原价出售“龙辰辰”玩偶，每天可售出15 0 个．每降价1 元可多售出6 个，若降价x 元，则每天可售出“龙辰辰”玩偶的个数是( ) A．6x B．150＋x C．150＋6x D．150＋x C 综合素养训练 5. 新考法 归纳法有一组按规律排列的多项式：a－b，a2＋b3，a3 －b5，a4＋b7， …，则第2024 个多项式是( ) A．a2024＋b4047 B．a2024－b4047 C．a2024＋b4049 D．a2024－b4049 A 综合素养训练 6. [新视角 结论开放题]一个关于字母m 的二次三项式，它的常数项是－1，请写出一个满足条件的多项式：_______________________. m2－2m－1(答案不唯一)　 综合素养训练 7. 如图，现有一个长为2 0 cm 的直尺，直尺上有5 个圆孔，每个孔的直径为a cm，则图中x=______(用含有a 的代数式表示)，这是一个______项式. (填“单”或“多”) 多 综合素养训练 8. 把下列式子填在相应的横线上：x－4，5x，3ab，5－，y，x＋，，x3＋2 x－2， ，8a3x，－1. 单项式： __________________________________； 多项式： __________________________________ ； 整式： __________________________________ . 5x，3ab，y，8a3x，－1 综合素养训练 9. 已知－x|m|y 是关于x，y 的单项式，且系数为－，次数为5，求3a＋m 的值. 综合素养训练 综合素养训练 10.[期中· 济南莱芜区] 多项式5xm＋ (k－1)x2 –(n＋4)x－3 是关于x 的三次三项式，并且二次项系数为1，求m－k＋n 的值. 解：因为多项式5xm＋(k－1)x2－(n＋4)x－3是关于x的三次三项式，并且二次项系数为1，所以m＝3，k－1＝1，－(n＋4)＝0，所以k＝2，n＝－4.所以m－k＋n＝3－2－4＝－3. 综合素养训练 11. 如图， 小圆的半径为r cm， 大圆的半径为R cm. 综合素养训练 (1)当r=5 cm，R= 9 cm 时，求图①中阴影部分的面积； 解：阴影部分的面积＝R2－r2＝92－52＝56(cm2)． 综合素养训练 (2)求图② 中阴影部分的面积，并判断其次数与项数. 综合素养训练 x－4，x＋，，x3＋2x－2 x－4，5x，3ab，y，x＋，，x3＋2x－2，8a3x，－1. 解：由题意可得－＝－，所以a＝. 易知|m|＝4，所以m＝±4. 当m＝4，a＝时，3a＋m＝3×＋×4＝5＋2＝7. 当m＝－4，a＝时，3a＋m＝3×＋×(－4)＝5－2＝3. 综上，3a＋m的值为7或3. 解：阴影部分的面积＝cm2.次数为2，项数为2. $$