精品解析：四川省阆中中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

四川省阆中中学校2024年秋高2024级学科素养问卷调查 数学 （满分：150分 时间：9月8日19∶00—21∶00） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 2. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得. 【详解】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 3. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意结合并集的定义可得：. 本题选择B选项. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac>bc C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，则 < 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明． 【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错； 选项B中，若，则，B错； 选项C中，则得，，∴，C正确； 选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错． 故选：C． 5. 若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解. 【详解】由题意命题“”为真命题， 所以当且仅当， 解得，即m的取值范围是. 故选：C. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 7. 如图，在中，，，，平分，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过作，利用平行线的性质，结合已知列式计算即得. 【详解】在中，，，，则 过作交的延长线于点，则，即 由，得， 所以. 故选：C 8. 已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】配方得时，，分、和讨论即可. 【详解】二次函数， 该函数图象开口向下，当时，取得最大值7， 当自变量在的范围内时， 二次函数的最大值与最小值的差为4， 当时，时取得最小值，时取得最大值， 此时最大值与最小值的差为； 当时，和分别取得最小值和最大值， 此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意； 当时，和分别取得最大值和最小值， 此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意； 由上可得，的取值范围是， 故选：C. 9. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 10. 已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 11. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定点坐标求得的关系式，由此对个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，由于二次函数的顶点坐标为， 所以，整理得，， 所以①，①正确. ②，②错误. ③， 所以二次函数与轴交点的横坐标是和， 若方程有两个根和，且， 则，所以③正确. ④若方程有四个根，根据对称性可知， 这四个根的和为，所以④错误. 综上所述，正确的有个. 故选：B 12. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D. 【详解】原不等式等价于， 因为解集为,所以和分别是和的实数根， 故且，，故A错误； 因为，，所以点在第三象限，故B错误； ，由于开口向下，故最大值为，故C错误， 由得即解集为，故D正确． 故选：D． 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 14. 若是一元二次方程的两个实数根，的值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据韦达定理和方程的根可得以及，即可代入化简求解. 【详解】由韦达定理可得，将代入方程可得， 故， 故答案为：7 15. 已知，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据立方和公式，代入化简即可求解. 【详解】，， , 故答案为： 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义对个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，，所以①正确. ②，因为，所以②正确. ③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，故③错误； ④当时，， 所以，公共点有无数个，所以④错误. 故答案为：①② 【点睛】 思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17. （1）解不等式组：； （2）计算：. 【答案】（1）（2）19 【解析】 【分析】（1）通过解一元一次不等式组来求得正确答案. （2）根据指数运算求得正确答案. 【详解】（1），由，得，解得； 由得，解得不等式组的解集为. （2）原式 . 18. 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围. 【详解】由题意得，命题，命题， 是的必要不充分条件， 是的充分不必要条件， 即， 且， ， 故实数a的取值范围为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，以及根据必要不充分条件求参数的问题，解答时注意等价转化思想的运用. 19. 某校准备设置的五类劳动课程分别为：A.整理与收纳；B.烹饪与营养；C.传统工艺制作；D.新技术体验与应用；E.公益劳动与志愿服务.为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据上述信息，解答下列问题. （1）本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率. 【答案】（1）100，补全条形统计图见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合条形图及扇形图，列式计算得被调查的学生数，再求出B课程人数，补全条形图. （2）由E课程所占百分比求出圆心角度数. （3）画出树状图，求出概率. 【小问1详解】 依题意，本次被调查的学生人数为， 故答案为：100 喜欢B课程的人数为，补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是. 故答案为： 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被选中的结果有：甲乙，乙甲，共2种， 所以甲、乙两位同学同时被选中的概率为. 20. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与重合），连接并延长与交于点，连. （1）求的长. （2）若，直接写出的长. （3）①若点在之间（点不与点重合），求证：. ②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系. 【答案】（1）8 （2）5或8 （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质以及勾股定理来求得. （2）根据是否为进行分类讨论，从而求得的长. （3）①通过证明，结合圆的几何性质来证得. ②通过证明，结合圆的几何性质来证得. 【小问1详解】 如图1，连接， 是的直径，弦， ，由勾股定理得； 【小问2详解】 ，平分， 由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解： ①当是直径，则重合，； ②当是不为直径的弦，则重合，，的长为5或8； 【小问3详解】 ①证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ， ，，， ②解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ， 由圆内接四边形可得，，. 21. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 【解析】 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【小问1详解】 即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【小问1详解】 任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. 【小问2详解】 任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省阆中中学校2024年秋高2024级学科素养问卷调查 数学 （满分：150分 时间：9月8日19∶00—21∶00） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A. B. C. D. 2. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 3. 已知集合，，则 A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac>bc C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，则 < 5. 若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，平分，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 8. 已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 10. 已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A. B. C. D. 11. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知集合，则______. 14. 若是一元二次方程的两个实数根，的值为______. 15. 已知，则的值为______. 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是______. 三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17. （1）解不等式组：； （2）计算：. 18. 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19. 某校准备设置的五类劳动课程分别为：A.整理与收纳；B.烹饪与营养；C.传统工艺制作；D.新技术体验与应用；E.公益劳动与志愿服务.为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据上述信息，解答下列问题. （1）本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率. 20. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与重合），连接并延长与交于点，连. （1）求的长. （2）若，直接写出的长. （3）①若点在之间（点不与点重合），求证：. ②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系. 21. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $