第8单元：认识小数（讲义）-2024-2025学年三年级数学上册北师大版

认识小数 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【小数的读写、意义及分类】 1. 概念：小数由整数部分、小数部分和小数点组成．小数是十进制分数的一种特殊表现形式．分母是10、100、1000…的分数可以用小数表示．所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数．无理数为无限不循环小数．根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数． 2.小数的读法： 整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字． 3.小数的写法： 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，然后，顺次写出小数部分每一个数位上的数字． 4.小数的分类： （1）、按照整数部分的情况分类，可得“纯小数”和“带小数”两种小数． （2）、按照小数部分的情况分类，可得“有限小数”和“无限小数”两种，在无限小数中，又有“无限循环小数”和“无限不循环小数” 【小数大小的比较】 小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较．因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大． 【小数的进位加法】 1、小数进位加法的计算方法：先把小数点对齐（即相同数位对齐），然后按整数进位加法的计算方法计算，哪一位上相加满十要向前一位进1，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。 【小数的退位减法】 1、小数退位减法的计算方法：把小数点对齐（即相同数位对齐），从末位减起。如果被减数的小数部分位数不够，可以添“0”再减。哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位加10再减。 2、方法总结：计算小数减法要注意，如果哪一位上不够减，就从前一位退1，在本位上加上10继续减。 【小数的加法和减法】 1、小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算． 2、小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算． 3、小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐．由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了． 4、加法计算步骤： （1）、把各个加数的小数点上下对齐； （2）、按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一； （3）、和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐． 小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐． 5、减法计算步骤： （1）、把被减数和减数的小数点上下对齐； （2）、按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十； （3）、差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐． 【小数的不进位加法】 1、小数加减法的意义与整数加减法的意义相同。 2、小数加减法（不进位、不退位）的计算方法：先把各数的小数点对齐（即相同数位对齐），然后从末位算起，得数的小数点与竖式中的小数点对齐。 3、小数不进位加法和不退位减法的计算方法： （1）、利用小数的现实意义计算； （2）、借助小数的面积模型计算； （3）、利用竖式计算。 【小数的不退位减法】 1、小数加减法的意义与整数加减法的意义相同。 2、小数加减法（不进位、不退位）的计算方法：先把各数的小数点对齐（即相同数位对齐），然后从末位算起，得数的小数点与竖式中的小数点对齐。 3、方法总结：笔算不同位数的小数加减法（进位加、退位减）时，一定要将小数点对齐，还要根据小数的基本性质在小数末尾添0，使小数位数相同后再计算。 【典例1】在跳高比赛中，小红跳过了1.1米，小强比小红跳得高0.15米，小英比小强跳得低0.09米，小英跳过多少米？ 【答案】1.16米 【详解】1.1＋0.15－0.09 ＝1.25－0.09 ＝1.16（米） 答：小英跳了1.16米。 【典例2】三年级开展“勤工俭学”活动，第一周捡矿泉水瓶卖了9.6元，第二周比第一周多卖了1.5元，两周一共卖了多少元？ 【答案】20.7元 【详解】9.6＋1.5＋9.6＝20.7(元) 答：两周一共卖了20.7元． 【典例3】工地上有一堆煤共重5.6吨，第一次运走2.4吨，第二次运走2.7吨。 （1）两次一共运走了多少吨？ （2）还剩多少吨煤没有运完？ 【答案】（1）5.1吨；（2）0.5吨 【思路分析】（1）把两次运走煤的吨数相加即等于两次一共运走的吨数，据此即可解答。 （2）这堆煤总共的吨数减两次运走的吨数，即等于还剩下没有运完的吨数，据此即可解答。 【详解】（1）2.4＋2.7＝5.1（吨） 答：两次一共运走了5.1吨。 （2）5.6－5.1＝0.5（吨） 答：还剩0.5吨煤没有运完。 【典例4】小蚂蚁要从A点爬到D点，最近的路与最远的路相差多少分米？ 【答案】1.8分米 【思路分析】路线一：从A点直接到D点，要爬4.3分米； 路线二：从A点经过C点再到D点，用1.8加上3.1求出需要爬的路程； 路线三：从A点经过B点再到D点，用2.3加上3.8求出需要爬的路程； 最后三种路线的路程进行比较，用最远的路程减去最近的路程即可解答。 【详解】路线一：4.3分米 路线二：1.8＋3.1＝4.9（分米） 路线三：2.3＋3.8＝6.1（分米） 4.3＜4.9＜6.1 6.1－4.3＝1.8（分米） 答：最近的路与最远的路相差1.8分米。 【名师点评】解答此题的关键是先求出三种路线的路程，再进一步解答。 【典例5】欣欣商店卖的玻璃杯每个13.60元，陶瓷杯每个10.20元，塑料杯每个6.10元。 （1）买一个陶瓷杯比买一个玻璃杯少花多少元？ （2）20元买两个杯子，可以怎样买？请给出两种买法，并计算花了多少元？ （3）请你再提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）3.40元 （2）买一个玻璃杯和一个塑料杯，花费19.70元。或者买一个陶瓷杯和一个塑料杯，花费16.30元 （3）买一个陶瓷杯比买一个塑料杯多花多少钱？4.10元 【思路分析】（1）用一个玻璃杯的价格减去一个陶瓷杯的价格解答。 （2）用20元买两个杯子，只需要两个杯子的价格小于20元即可。可以购买一个玻璃杯和一个陶瓷杯、一个玻璃杯和一个塑料杯、一个陶瓷杯和一个塑料杯。分别求出三种购买方法中花费的钱数，看哪种方法花费的钱数小于20元。 （3）根据题目给出的条件，可以提出问题：买一个陶瓷杯比买一个塑料杯多花多少钱？用一个陶瓷杯的价格减去一个塑料杯的价格解答。 【详解】（1）13.60－10.20＝3.40（元） 答：买一个陶瓷杯比买一个玻璃杯少花3.40元。 （2）买一个玻璃杯和一个陶瓷杯： 13.60＋10.20＝23.80（元） 23.80＞20 则不可以买一个玻璃杯和一个陶瓷杯。 买一个玻璃杯和一个塑料杯： 13.60＋6.10＝19.70（元） 19.70＜20 则可以买一个玻璃杯和一个塑料杯。 买一个陶瓷杯和一个塑料杯 10.20＋6.10＝16.30（元） 16.30＜20 则可以买一个陶瓷杯和一个塑料杯。 答：可以买一个玻璃杯和一个塑料杯，花费19.70元。或者买一个陶瓷杯和一个塑料杯，花费16.30元。 （3）买一个陶瓷杯比买一个塑料杯多花多少钱？ 10.20－6.10＝4.10（元） 答：买一个陶瓷杯比买一个塑料杯多花4.10元。 【名师点评】小数加减法计算时，要先对齐小数点，再根据整数加减法的计算方法解答即可。 1．有甲、乙、丙三个数，已知甲、乙两个数的和是4.4，乙、丙两个数的和是5.5，甲、丙两个数的和是6.1，甲、乙、丙三个数分别是多少？ 2．用1、2、3、4四张卡片，同两张小数点卡片一起，组成两个小数，使这两个小数的和是5.5，你能写出几道这样的算式？ 3．竹竿有多长？ 4．肇庆宋城墙上有九种不同规格的砖，堪称“砖的博物馆”。北城墙长1028.6米，南城墙长992.3米，北城墙比南城墙长多少米？ 5．“双十一”快到了，林林要买一盒乐高积木，他集得2.3元“双十一”购物红包，并领取了一张店铺优惠券，优惠券的减免金额比红包多4.2元，他买这盒积木一共可以少支付多少元？ 6．爸爸妈妈的工资都存在余额宝。今天妈妈的余额宝收益为1.2元，爸爸的余额宝收益为1.8元。 （1）两人今天的余额宝收益共多少元？ （2）妈妈今天的余额宝收益比爸爸的少多少元？ 7．菜市场运回蔬菜8.5吨，上午卖出了1.7吨，下午又卖出了2.8吨，上午和下午共卖出了多少吨蔬菜？还剩下多少吨没卖完？ 8．小光在计算一道减法算式时，错把减数1.8的小数点漏掉了，得到的差为17.6。正确的计算结果应该是多少？ 9．一个笔筒6.50元，一个卷笔刀3.40元，一本日记本4.70元，淘气带了15元，买一个笔筒和一个卷笔刀需要多少元？他剩下的钱够不够买日记本？ 10．一支成人牙刷14.6元，比一支儿童牙刷贵2.8元。 （1）一支儿童牙刷多少元？ （2）东东和妈妈各买一支牙刷一共要花多少元？ 11．爸爸的身高是1.7m，妙妙站在0.9m高的桌子上与爸爸一样高。妙妙的身高是多少米？合多少分米？ 12．淘气买了一个7.8元的文具盒和一本6.5元的日记本，付给售货员20元，应找回多少元？ 13．小华练习本用去了14.8元后还剩5.7元，小华买练习本之前有多少钱？ 14．同学们进行跳远比赛，冬冬跳了3.16米，亮亮比冬冬多跳0.23米，亮亮跳了多少米？ 15．一根绳子长30米。第一次用去13.6米，第二次用去2.5米，第一次比第二次多用去多少米？ 16．妈妈买一瓶消毒液用了9.6元，买的口罩比消毒液便宜5.8元，妈妈买口罩用了多少钱？ 17．小红去书店买书，《小学生作文》每本9.8元，《口算题》每本5.7元，小红各买一本，共需多少元钱？ 18．有大小两个储钱罐，从大储钱罐中拿出2.3元放入小储钱罐后，两个储钱罐中的钱数相等，已知小储钱罐中原来有12.1元，大储钱罐中原来有多少元？ 19．奶糖每袋10.5元，水果糖每袋9.1元，妈妈带了20元，够买两种糖吗？如果不够，还差多少元钱？如果够，还剩多少元钱？ 20．奇思到文具店买了一个笔筒和一本日记本，买日记本用了5.2元，比笔筒少2.3元，奇思一共花了多少元？ 21．淘气有100元，想买下面三种玩具，够吗？ 22．超市里的牙膏一支5.8元，毛巾一条7元，小凡身上有13元，够买这两样东西吗？ 23．菠萝7.4元西瓜12.8元．奶奶到水果店买了1个菠萝和1个西瓜，共花了多少元？奶奶付给售货员50元，应找回多少元？ 24．欢欢去超市买了两本不同的笔记本，一本8.7元，另一本9.5元．欢欢共花了多少元？ 25．熊猫圆圆的身高1.3米．熊猫盼盼的身高1.1米．熊猫圆圆比熊猫盼盼高多少米？ 26． (1)买一袋酥糖比一袋奶糖多花多少元？ (2)30元买两袋糖，可以怎么买？需要多少元？(写出两种买法) 27．两个小数的和是26.3，其中一个小数减少5.8，另一个小数增加3.9，和与原来的和相比是变大了还是变小了，两个和相差多少？ 28．三年级学生开展“勤工俭学”活动，第一周捡矿泉水瓶卖了8.6元，第二周比第一周多卖1.5元，两周一共卖了多少元？ 29．一支钢笔4.3元，一个笔记本5.4元，小红买了一支钢笔和一个笔记本，给了售货员10元钱，应找回多少钱？ 30．工地上有20.9吨水泥，这两辆车各运1次后，还剩下多少吨? 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．2.5；1.9；3.6 【思路分析】因为甲＋乙＝4.4，乙＋丙＝5.5，甲＋丙＝6.1，那么把4.4、5.5、6.1三个数相加就是甲、乙、丙三个数和的2倍，把它们相加的和除以2，就是甲、乙、丙三个数的和。用甲、乙、丙三个数的和减去甲、乙两个数的和，就能求出丙；用甲、乙、丙三个数的和减去乙、丙两个数的和，就能求出甲；用甲、乙、丙三个数的和减去甲、丙两个数的和，就能求出乙。据此解答即可。 【详解】4.4＋5.5＋6.1＝16   16÷2＝8 甲：8－5.5＝2.5 乙：8－6.1＝1.9 丙：8－4.4＝3.6 答：甲是2.5，乙是1.9，丙是3.6。 2．1.2＋4.3＝5.5；1.3＋4.2＝5.5；2.1＋3.4＝5.5；3.1＋2.4＝5.5；能写出4道这样的算式。 【思路分析】根据题意，两个数相加结果是5.5，整数部分相加应该是5，所以整数部分组合有：1和4，2和3。若整数部分是1和4时，小数部分相加等于0.5，可以是0.2＋0.3和0.3＋0.2，即1.2＋4.3＝5.5，1.3＋4.2＝5.5。若整数部分是2和3时，小数部分相加等于0.5，可以是0.1＋0.4和0.4＋0.1，即2.1＋3.4＝5.5，3.1＋2.4＝5.5。 【详解】整数部分是1和4时：1.2＋4.3＝5.5，1.3＋4.2＝5.5 整数部分是2和3时：2.1＋3.4＝5.5，3.1＋2.4＝5.5 能写出1.2＋4.3＝5.5，1.3＋4.2＝5.5，2.1＋3.4＝5.5，3.1＋2.4＝5.5四道算式。 3．6.4米 【思路分析】用浸湿部分加上0.8米，可以计算出露出水面的部分，再加上浸湿部分计算出竹竿有多长；小数加法竖式计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数加法的计算方法进行计算，从低位算起，哪一位上的数相加满十要向前一位进一；据此解答。 【详解】2.8＋0.8＋2.8 ＝3.6＋2.8 ＝6.4（米） 答：竹竿有6.4米长。 4．36.3米 【思路分析】根据题意，用1028.6减去992.3，求出北城墙比南城墙长多少米。 【详解】1028.6－992.3＝36.3（米） 答：北城墙比南城墙长36.3米。 【名师点评】本题主要考查了学生对一位小数的减法计算方法的掌握与运用。 5．8.8元 【思路分析】根据题意，用2.3加上4.2，求出优惠券的减免金额；用优惠券的减免金额加上“双十一”购物红包，求出他买这盒积木一共可以少支付多少元。 【详解】2.3＋4.2＝6.5（元） 6.5＋2.3＝8.8（元） 答：他买这盒积木一共可以少支付8.8元。 【名师点评】解答此题的关键是明确买这盒积木时，可以用这张店铺优惠券和“双十一”购物红包抵消一些金额。 6．（1）3元 （2）0.6元 【思路分析】（1）根据题意，用1.2加上1.8，求出两人今天的余额宝收益共多少元； （2）根据题意，用1.8减去1.2，求出妈妈今天的余额宝收益比爸爸的少多少元。 【详解】（1）1.2＋1.8＝3（元） 答：两人今天的余额宝收益共3元。 （2）1.8－1.2＝0.6（元） 答：妈妈今天的余额宝收益比爸爸的少0.6元。 【名师点评】本题主要考查了学生对一位小数的加、减法的计算方法的掌握与运用。 7．4.5吨；4吨 【思路分析】根据题意，用1.7加上2.8，求出上午和下午共卖出了多少吨蔬菜，再用8.5减去上午和下午共卖出的蔬菜质量，求出还剩下多少吨没卖完。 【详解】1.7＋2.8＝4.5（吨） 8.5－4.5＝4（吨） 答：上午和下午共卖出了4.5吨蔬菜，还剩下4吨没卖完。 【名师点评】熟练掌握一位小数的加、减法计算方法是解答此题的关键。 8．33.8 【思路分析】把减数1.8的小数点漏掉了，那么减数变成了18，差是17.6，用18加17.6就是被减数，再用被减数减去1.8即可得出正确的计算结果。 【详解】18＋17.6＝35.6 35.6－1.8＝33.8 答：正确的计算结果应该是33.8。 【名师点评】解决本题也可以这样想：减数由1.8变成18增加了16.2，那么差就会减少16.2，所以用17.6加16.2就是正确的差。 9．9.9元；够 【思路分析】用6.5加上3.4即可求出买一个笔筒和一个卷笔刀需要多少元；再用15减去买一个笔筒和一个卷笔刀需要的金额求出剩下的金额，最后与4.7比较，若大于或等于4.7，则够，否则不够。 【详解】6.5＋3.4＝9.9（元） 15－9.9＝5.1（元） 5.1＞4.7 答：买一个笔筒和一个卷笔刀需要9.9元，他剩下的钱够买日记本。 【名师点评】熟练掌握一位小数的加、减法计算是解答此题的关键。 10．（1）11.8元 （2）26.4元 【思路分析】（1）用14.6减去2.8，求出一支儿童牙刷多少元； （2）用一支成人牙刷的价钱加上一支儿童牙刷的价钱，求出东东和妈妈各买一支牙刷一共要花多少元。 【详解】（1）14.6－2.8＝11.8（元） 答：一支儿童牙刷11.8元。 （2）14.6＋11.8＝26.4（元） 答：东东和妈妈各买一支牙刷一共要花26.4元。 【名师点评】计算小数的加、减法时，小数点一定要对齐，再相加、减。 11．0.8m；8 dm 【思路分析】根据题意可知，妙妙的身高加上桌子的高度，等于爸爸的身高，则用爸爸的身高减去桌子的高度，求出妙妙的身高。米和分米之间的进率是10，据此将妙妙的身高换算成分米。 【详解】1.7－0.9＝0.8（m） 0.8m＝8dm 答：妙妙的身高是0.8m，合8 dm。 【名师点评】解决本题时先明确妙妙身高、桌子高度与爸爸身高之间的关系，再根据小数减法计算方法解答。长度单位换算时，高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。 12．5.7元 【思路分析】用20减去7.8再减去6.5即可求出应找回多少元，据此解答。 【详解】20－7.8－6.5 ＝12.2－6.5 ＝5.7（元） 答：应找回5.7元。 【名师点评】本题考查了一位小数的减法计算及应用。 13．20.5元 【思路分析】用买练习本用去的钱数加上还剩下的钱数，求出买练习本之前有的钱数。 【详解】14.8＋5.7＝20.5（元） 答：小华买练习本之前有20.5元。 【名师点评】本题考查小数加法的实际应用，花的钱数＋还剩下的钱数＝带的钱数。 14．3.39米 【思路分析】根据题中条件亮亮比冬冬多跳0.23米，所以亮亮得米数＝冬冬＋多跳0.23米，进行代入即可。 【详解】3.16＋0.23＝3.39（米） 答：亮亮跳了3.39米。 【名师点评】此题主要考查小数的加法计算，需要注意小数点对齐，数位对齐。 15．11.1米 【思路分析】题目是要求的是第一次比第二次多用去多少米，用第一次用去的米数减去第二次用去的米数即可解答。 【详解】13.6－2.5＝11.1（米） 答：第一次比第二次多用去11.1米。 【名师点评】本题主要要分析清楚题目要求什么，这是解答本题的关键。 16．3.8元 【思路分析】根据题意，用一瓶消毒液的价格减去口罩比消毒液便宜的5.8元，即可求出妈妈买口罩用了多少钱。 【详解】9.6－5.8＝3.8（元） 答：妈妈买口罩用了3.8元。 【名师点评】此题考查了小数减法的计算方法，要熟练掌握。 17．15.5元 【思路分析】把两本书的价钱相加即可解答。 【详解】9.8＋5.7＝15.5（元） 答：共需15.5元钱。 【名师点评】本题主要考查学生对小数加减法知识的掌握和灵活运用。 18．16.7元 【思路分析】根据题意，大储钱罐的钱数－2.3元＝小储钱罐的钱数＋2.3元，由此大储钱罐中的钱数＝小储钱罐的钱数＋2.3元＋2.3元，由此解答。 【详解】12.1＋2.3＋2.3＝16.7（元） 答：大储钱罐中原来有16.7元。 【名师点评】解答本题的关键是理解题意，理清数量关系，根据数量关系列出算式。 19．够，0.4元 【思路分析】先计算出奶糖和水果糖每袋价格和，再与20元比较即可解答。 【详解】10.5＋9.1＝19.6（元） 20－19.6＝0.4（元） 答：妈妈带了20元，够买两种糖，还剩0.4元钱。 【名师点评】熟练掌握小数的加减法计算方法是解答本题的关键。 20．12.7元 【详解】5.2＋2.3＋5.2＝12.7（元） 答：奇思一共花了12.7元。 21．够 【详解】36.5＋26.5＋31.8＝94.8（元）    94.8元＜100元 答：够。 22．够 【详解】5.8＋7＝12.8（元）    13－12.8＝0.2（元） 答：够买这两样东西。 23．20.2元   29.8元 【详解】7.4+12.8=20.2（元） 50-20.2=29.8（元） 答：共花了20.2元，应找回29.8元． 24．18.2元 【详解】8.7+9.5=18.2（元） 答：欢欢共花了18.2元． 25．0.2米 【详解】1.3-1.1=0.2（米） 答：熊猫圆圆比熊猫盼盼高0.2米． 26．（1）3.7元 （2）一袋巧克力糖和一袋奶糖，需要29.3元； 也可以买一袋酥糖和一袋奶糖，需要20.7元。 【详解】（1）12.2－8.5＝3.7(元) 答：买一袋酥糖比一袋奶糖多花3.7元。 （2）20.8＋8.5＝29.3(元)   29.3元＜30元 12.2＋8.5＝20.7(元)   20.7元＜30元 答：可以买一袋巧克力糖和一袋奶糖，需要29.3元；也可以买一袋酥糖和一袋奶糖，需要20.7元。 27．变小了，相差1.9。 【详解】5.8＞3.9 5.8－3.9＝1.9 答：和比原来的和变小了，两个和相差1.9。 28．18.7元 【详解】8.6＋1.5＋8.6＝18.7(元) 答：两周一共卖了18.7元。 29．0.3元 【详解】10－4.3－5.4 ＝5.7－5.4 ＝0.3(元) 答：应找回0.3元钱。 30．5.9吨 【详解】6.5+8.5=15(吨) 20.9-15=5.9(吨) 答：还剩下5.9吨． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$