精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末培优试卷

2023-2024学年人教版数学八年级下册期末培优 一、单选题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】：A选项，原式=，故该选项不符合题意； B选项，原式=|a|，故该选项不符合题意； C选项，原式=3，故该选项不符合题意； D选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2. 小红同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为80分，90分，85分，若这三项依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则她的成绩是（ ） A. 83分 B. 84分 C. 85分 D. 86分 【答案】B 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：由题意可知： 小红的成绩为：（分） 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的求法是解答本题的关键． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案. 【详解】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A. 【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形. 4. 如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【 】 A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可： 【详解】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数， ∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1）， ∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．故选B． 5. △ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长是（ ） A. 42 B. 32 C. 42 或 32 D. 42 或 37 【答案】C 【解析】 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出； （2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 【详解】此题应分两种情况说明： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中， BD=, 在Rt△ACD中， CD= ∴BC=5+9=14 ∴△ABC的周长为：15+13+14=42； （2）当△ABC为钝角三角形时， 在Rt△ABD中，BD=9， 在Rt△ACD中，CD=5， ∴BC=9-5=4． ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32． 综上所述，△ABC的周长是42或32． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度. 6. 如图，在平面直角坐标系，四边形为正方形，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】作轴于，作于，交轴于，如图，设C（m，n），则OD＝EF＝−m，CD＝n，证明△OCD≌△CBE得到CD＝BE，OD＝CE，即n＝1−m，−m＝3−n，然后解关于m、n的方程组即可得到C点坐标． 【详解】解：作轴于，作于，交轴于，如图， ， ，， 设，则，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中 ， ， ，， 即，， ，， 点坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质． 7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图象提供的信息，则下列结论错误的是（ ） A. 第时，容器内的水量为 B. 每进水量为 C. 每出水量为 D. 第时，容器内的水量为 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项依次求解，由图可知，第时，对应的容器内的水量为20，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，可确定两段函数的关系式，即可求出每进水量为，第时容器内的水量为，最后根据图像每分钟出水的量为3.75． 【详解】A项，由图可知，第时，对应的容器内的水量y为20，A不符合题意； B项，由题意可知，从某时刻开始的内只进水不出水，0～时的直线方程为：y=kx (k≠0)，通过图像过（4，20），解得k=5，所以每进水量为，B不符合题意； C项，由B项可知：每进水量为，每分钟出水量=[(12-4)×5-(30-20)]÷(12-4)=3.75，C符合题意； D项，由题意可知，从某时刻开始的内只进水不出水，0～时的直线方程为：y=kx+b(k≠0，k、b为常数)，通过图像过（4，20），（12，30），解得k=，b=15，所以第时，容器内的水量为，D不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用和识图能力，解题时首先应正确理解题意，然后根据图像的坐标，利用待定系数法确定函数解析式，接着利用函数的性质即可解决问题． 8. 小青乘飞机取旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格： 飞机距离地面高度h（千米） 0 1 2 3 …… 飞机舱外面的温度t（℃） 8 2 ﹣4 ﹣10 …… 此时飞机舱外部的温度显示为﹣22℃，地面此时温度为8℃，请你帮小青算算，他所乘坐的飞机此时距离地面（　　）千米． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】用待定系数法，根据表格得出函数解析式，进而将-22代入解答即可． 【详解】设函数解析式为：t=kh+b， 把（0，8），（1，2）代入解析式可得： 解得： 把-22代入解析式可得：-22=-6h+8，解得：h=5，故选D． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 9. 如图，甲、丙两地相距500km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线ABCD表示两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间为x(h)之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是(　　) A. 甲、乙两地之间的距离为200 km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5 h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有50 km 【答案】C 【解析】 【分析】根据两车同时出发，同向而行，所以点A即为甲、乙两地的距离；图中点B为y=0，即快慢两车的距离为0，所以B表示快慢两车相遇的时间；由图像可知慢车走300km，用了3小时，可求出慢车的速度，进而求出快车的速度；点C的横坐标表示快车走到丙地用的时间，根据快车与慢车的速度，可求出点C的坐标. 【详解】A、由图像分析得，点A即为甲、乙两地的距离，即甲、乙两地之间的距离为选项A是正确. BC、由图像可知慢车走300km，用了3小时，则慢车的速度为100km/h，因为1h快车比慢车多走100km，故快车速度为200km/h，所以快车从甲地到丙地的时间=500200=2.5h，故选项B是正确的，快车速度是慢车速度的两倍，故选项C是错误的. D、快车从甲地驶到丙地共用了2.5h，即点C的横坐标2.5，则慢车还剩0.5h才能到丙地，距离=0.5100=50km，故快车到达丙地时，慢车距丙地还有50km，选项D是正确的. 故正确答案为C. 【点睛】此题主要根据实际问题考查了一次函数的应用，解决此题的关键是根据函数图像，读懂题意，联系实际的变化，明确横轴和纵轴表示的意义. 10. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（　　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】用正方形的性质BC=CD，∠BCE=∠DCE=，结合CE共用，推出△CBE≌△CDE，得到∠CBE= ∠CDE=，判断①正确； 过D作DM⊥AC于M，根据AD＝CD＝，∠ADC=，得到∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=DM=AC，推出AC=AD=2，得到AM＝DM＝，∠EDM=∠CDM-∠CDE=，推出ME＝DM＝×＝1，得到AE＝+1，判定②正确； 结果CM=DM＝，EM＝1，推出CE＝CM﹣EM＝﹣1，得到S△DEC＝×（﹣1）×＝，判定③错误； 在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，根据BC＝CF，得到∠CBE＝∠F=∠CDE＝，根据∠CEG＝∠CBE+∠BCE=推出△CEG是等边三角形，得到∠CGE＝，CE＝GC，推出∠GCF＝∠CGE-∠F=，得到∠ECD＝GCF，根据CD=CE，推出△DEC≌△FGC，得到DE＝GF，根据EF＝EG+GF，推出EF＝CE+DE，判定④正确． 【详解】①∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝． 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE＝，故①正确； ②过D作DM⊥AC于M， ∵AD=CD， ∴∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=AC， ∵∠ADC=， ∴DM=AC， ∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=， ∵AD＝CD＝， ∴AC=AD=2， ∴AM＝DM＝， ∴ME＝DM＝×＝1， ∴AE＝+1，故②正确； ③∵CM=DM＝，EM＝1， ∴CE＝CM﹣EM＝﹣1， ∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误； ④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝． ∴∠CEG＝． ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE＝，CE＝GC， ∴∠GCF＝∠CGE-∠F=， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC和△FGC中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+DE，故④正确． 故正确的是①②④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． 二、填空题 11 计算： _________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算和平方差公式，掌握运算法则是解本题的关键． 直接根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：该菱形的面积为：． 故答案为：24． 13. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】在平均数相同的前提下，方差越小，成绩就越稳定，据此即可判断． 【详解】解：∵甲乙每人投了10次，平均成绩均为7.5米，，，， ∴成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差，熟知方差越小，成绩就越稳定是解题的关键． 14. 一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则x-y=______． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】由平均数和中位数都是7，即可列出关于x、y的二元一次方程组．解出x、y，再计算即可． 【详解】由题意可列方程组， 解得：， ∴． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查平均数、中位数的概念以及解二元一次方程组．掌握平均数、中位数的概念来列出方程组是解答本题的关键． 15. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，,如图所示由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD=x，由折叠的性质得到ED=BD=x，AE=AB=6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：， 设BD=x，由折叠可知：ED=BD=x，AE=AB=6，∠A=∠AED=90° 可得：CE=AC-AE=10-6=4，CD=BC-BD=8-x，∠DEC=90° 在Rt△CDE中， 根据勾股定理得：（8-x）2 =42+x2， 解得：x=3， 则BD=3． 故答案为:3． 【点睛】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键． 16. 点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x＋b图像上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性即可作出判断． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握使用正比例函数的系数来判断增减性是解题的关键． 17. 如图，正方形的边长是9，点是边上的一个动点，点是边上一点，，连接，把正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在线段上时，线段的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，由折叠性质可知D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出D E=D'E.求出DF=D'F=CD-CF=5， .得出BD'=BC-CD'=6，设AE=x，则BE=9-x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：当D落在线段BC上时，如图1:连接ED、E D'.、DD' 由折叠性质可知，D'和D关于EF对称，即EF垂直平分DD'. ∴ DE=D'E， ∵正方形ABCD的边长是9， ∴AB=BC=CD=AD=9. ∵CF=4， ∴DF=D'F=CD-CF=9-4=5 ∴ ∴BD'=BC-CD'=6 设AE=x，则BE=9-x， 在Rt△AED和Rt△BED'中.由勾股定理得： 92+x2=（9-x）2+62， 解得：x=2，即AE=2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；掌握折叠变换的性质和利用勾股定理列方程是解答本题的关键． 18. 如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为___________．    【答案】 【解析】 【分析】首先证明，求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点G为的中点，F为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴当的最小时，最小 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，为的长， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，三角形中位线定理，矩形性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，已知平行四边形中，垂直平分线段连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）先证明△DOE≌△BOF得到OE=OF，推出四边形BFDE是平行四边形，由EF⊥BD即可得到结论； （2）过点B作BM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质求出BM=AM=3，再由勾股定理即可求出AE的长. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE，∠EDB=∠FBD， ∵垂直平分线段BD， ∴OB=OD， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴四边形是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形是菱形； （2）如图，过点B作BM⊥AD于M， ∵， ∴∠BAM=45°， ∵∠AMB=90°，， ∴AM=BM=3， ∵四边形BEDF是菱形， ∴BE=DE， ∵, ∴, ∴AE=1. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理. 21. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求出，然后加上即可． （2）利用勾股定理求出，然后用即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， （米）， （米）； 【小问2详解】 如下图， 由勾股定理得， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 22. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第4个等式：___________，并通过计算验证结果是否正确； （2）第n个等式：________，并通过计算证明结果； （3）计算． 【答案】（1），验证见解析 （2）， 验证见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式，然后根据平方差公式将分母有理化，即可验证结果是否正确； （2）根据题目的式子可以写出第n个等式，然后根据平方差公式将分母有理化，即可验证结果是否正确； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可得 ， 故答案为：； 【小问3详解】 =-1+10 =9． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类规律，解答本题的关键是写出第n个等式． 23. 为提高学生的综合素质，某学校发起了“让生活更美好”的志愿者服务活动，要求学生根据自己情况积极参加．在2023年春季开学后，该校为了解七、八年级学生参加志愿活动的天数，从七、八年级各随机抽取20名学生进行调查，得到部分信息如下： a．七年级20名学生参加志愿活动的天数：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 b．七年级20名学生参加志愿活动天数的频数分布表： 天数 1 2 3 4 5 6 人数 1 m 4 n 5 2 c．七、八年级学生参加志愿活动天数的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七 a 4 八 5 5 （1）表中_______，______，______． （2）你认为哪个年级的学生参加志愿服务活动的积极性更高？请说明理由． （3）该校七年级共有600名学生，根据调查统计结果，请估计七年级学生参加志愿服务活动“至少5天”的人数． 【答案】（1）2，6，4 （2）八年级的学生参加志愿服务活动的积极性更高，理由见解析 （3）210人 【解析】 【分析】(1)根据数据数出来即可确定m，n的值；根据中位数是有序数据中间一个数据或中间两个数据的平均数计算即可． (2)比较两个年级天数的平均数，众数，中位数，作出判断即可． (3)利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 ∵整组数据中，2出现了2次，4出现了6次， ∴； ∵ 整组有20个数据， ∴第个，第个数据的平均数为中位数即， 故答案为：2，6，4． 【小问2详解】 八年级的学生参加志愿服务活动的积极性更高． 理由：七八年级学生参加志愿服务活动天数的平均数相同，但八年级学生的中位数和众数均较高， 所以八年级的学生参加志愿服务活动的积极性更高． 【小问3详解】 （人）． 【点睛】本题考查了频数分布，中位数的计算及其应用决策，样本估计总体，熟练掌握中位数的计算，样本估计总体的计算是解题的关键． 24. 研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因 争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）图中__________，______； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？ 【答案】（1）2.5，80 （2） （3）乙班出发后经过2.4h追上甲班，此时两班距离延安有66km 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，解题关键是掌握一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，及联立方程组求交点坐标的方法． （1）由“乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度”，结合图象，即可得，n＝80； （2）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）结合图象可得与与交点即为乙班追上甲班之时，先求出的函数解析式，再根据解析式和解析式，联立二元一次方程组，求解即可计算出答案． 【小问1详解】 解：乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度， ∴，n＝80， 故答案为：2.5，80． 【小问2详解】 解：设线段所在直线的函数表达式是， 根据题意得，， 将、坐标代入的函数表达式，得， 解得：， 线段CD所在直线的函数表达式为：． 【小问3详解】 解：设OA的解析式是：， 由题意得，代入得， 解得， OA的函数解析式为：， 根据题意得：， 解得， 乙班出发后追上甲班的时间为：， 此时两班距离延安有， 答：乙班出发后经过2.4h后追上甲班，此时两班距离延安有66km． 25. 如图，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点D作交的延长线于点F，连接交于点G． （1）求证：； （2）求的度数； （3）设的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值； ②当y为最大值时，连接，请判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①，当时，y有最大值；②四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形得到，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论； （3）①根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论； ②根据当时，y有最大值，得到，，，根据相似三角形的性质得到，于是得到，由于，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴当时，y有最大值． ②当y为最大值时，四边形是平行四边形， ∵当时，y有最大值， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，平行四边形的判定，列函数解析数，二次函数的最值，综合运用相关知识是解题的关键． 26. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动到点B停止，设点P的运动时间为秒． （1）______； （2）求斜边上的高线长； （3）①当点P在上时，t的取值范围是______； ②若点P在的平分线上，求t的值； （4）在整个运动过程中，直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 【答案】（1）12 （2）斜边上的高线长为 （3）①；② （4）t值为或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）过点作于点，利用面积法求解； （3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； （4）分和两种情况，列用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ， 即， ∴斜边上的高线长为； 【小问3详解】 解：①点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，， ，即 ， 故答案为：； ②点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 由（2）知， ∴， ∴， 在中，，即， 解方程得，， ∴点在的角平分线上时，； 【小问4详解】 解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当时，如图所示， 则， ； 当时，过点作于点，如图所示， 由（2）知， ， ，， ， ， ； 故是以为一腰的等腰三角形时t的值为或． 【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 27. 2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表： A（吨） B（吨） 合计（吨） C a b 240 D c x 260 总计（吨） 200 300 500 （1）　　，　　，　　（用含x的代数式表示）； （2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围． 【答案】（1），， （2），自变量x的取值范围为 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答． （1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整； （2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）根据题意，利用一次函数的性质结合分类讨论的数学思想可以解答本题． 【小问1详解】 ∵D市运往B市x吨， ∴D市运往A市吨，C市运往B市吨，C市运往A市吨， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 由题意得： ， ∵，，，， ∴， ∴w与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得， ， 当时，即， 时，w最小，此时， 解得， 当时，即， 时，w取得最小值，此时， 解得， ∵， ∴不符合题意， ∴m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学八年级下册期末培优 一、单选题 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 小红同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为80分，90分，85分，若这三项依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则她的成绩是（ ） A. 83分 B. 84分 C. 85分 D. 86分 3. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 4. 如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【 】 A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 5. △ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长是（ ） A. 42 B. 32 C. 42 或 32 D. 42 或 37 6. 如图，在平面直角坐标系，四边形为正方形，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. ， D. 7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图象提供的信息，则下列结论错误的是（ ） A. 第时，容器内的水量为 B. 每进水量为 C. 每出水量为 D. 第时，容器内的水量为 8. 小青乘飞机取旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格： 飞机距离地面高度h（千米） 0 1 2 3 …… 飞机舱外面的温度t（℃） 8 2 ﹣4 ﹣10 …… 此时飞机舱外部的温度显示为﹣22℃，地面此时温度为8℃，请你帮小青算算，他所乘坐的飞机此时距离地面（　　）千米． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9. 如图，甲、丙两地相距500km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线ABCD表示两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间为x(h)之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是(　　) A. 甲、乙两地之间距离为200 km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5 h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有50 km 10. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（　　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 计算： _________． 12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 13. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”）． 14. 一组从小到大排列数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则x-y=______． 15. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______． 16. 点A（x1，y1）（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x＋b图像上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是___． 17. 如图，正方形的边长是9，点是边上的一个动点，点是边上一点，，连接，把正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在线段上时，线段的长为__________． 18. 如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为___________．    三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，已知平行四边形中，垂直平分线段连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 21. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第4个等式：___________，并通过计算验证结果是否正确； （2）第n个等式：________，并通过计算证明结果； （3）计算． 23. 为提高学生的综合素质，某学校发起了“让生活更美好”的志愿者服务活动，要求学生根据自己情况积极参加．在2023年春季开学后，该校为了解七、八年级学生参加志愿活动的天数，从七、八年级各随机抽取20名学生进行调查，得到部分信息如下： a．七年级20名学生参加志愿活动的天数：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 b．七年级20名学生参加志愿活动天数的频数分布表： 天数 1 2 3 4 5 6 人数 1 m 4 n 5 2 c．七、八年级学生参加志愿活动天数的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七 a 4 八 5 5 （1）表中_______，______，______． （2）你认为哪个年级的学生参加志愿服务活动的积极性更高？请说明理由． （3）该校七年级共有600名学生，根据调查统计结果，请估计七年级学生参加志愿服务活动“至少5天”的人数． 24. 研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因 争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）图中__________，______； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？ 25. 如图，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点D作交的延长线于点F，连接交于点G． （1）求证：； （2）求的度数； （3）设的长为x，的面积为y． ①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值； ②当y为最大值时，连接，请判断此时四边形的形状，并说明理由． 26. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度速度沿折线运动到点B停止，设点P的运动时间为秒． （1）______； （2）求斜边上的高线长； （3）①当点P在上时，t的取值范围是______； ②若点P在的平分线上，求t的值； （4）在整个运动过程中，直接写出是以为腰等腰三角形时t的值． 27. 2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表： A（吨） B（吨） 合计（吨） C a b 240 D c x 260 总计（吨） 200 300 500 （1）　　，　　，　　（用含x的代数式表示）； （2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$