2024年重庆中考数学复习课件——《解直角三角形真题训练》

重庆中考 解直角三角形真题训练 1 1.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港． (参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45) 2 (1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位)； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明． 【解析】解：(1)过点B作BE⊥AC，垂足为E， ____ 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海里， 3 ∴AE=AB•cos45°=40× =20 (海里)， BE=AB•sin45°=40× =20 (海里)， 在Rt△BCE中，∠CBE=60°， ∴CE=BE•tan60°=20 × =20 (海里)， ∴AC=AE+CE=20 +20 ≈77.2(海里)， ∴A，C两港之间的距离约为77.2海里； (2)甲货轮先到达C港， 理由：如图： 4 ____ 由题意得：∠CDF=30°，DF∥AG， ∴∠GAD=∠ADF=60°， ∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°， 在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°， ∴CD= AC=(10 +10 )海里， 5 AD= CD=(10 +30 )海里， 在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=20 海里， ∴BC= = =40 (海里)， ∴甲货轮航行的路程=AB+BC=40+40 ≈96.4(海里)， 乙货轮航行的路程=AD+CD=10 +30 +10 +10 =20 +40 =105.4(海里)， ∵96.4海里＜105.4海里， ∴甲货轮先到达C港． 6 2.周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动．已知小红家B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB=5km.两人到达劳动基地C处后，发现小宇家A在劳动基地C的南偏西25°方向上，小红家B在劳动基地C的南偏西70°方向上．求小宇家A到劳动基地C的距离AC．(结果保留1位小数；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， ≈1.41) 【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D， 7 ___ 由题意得：∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45°， 在Rt△ABD中，AB=5km, ∴BD=AB•sin50°≈5×0.77=3.85(km)， AD=AB•cos50°≈5×0.64=3.2(km)， 在Rt△BDC中，CD= =3.85(km)， 8 ∴AC=AD+CD=3.2+3.85≈7.1(km)， ∴小宇家A到劳动基地C的距离AC约为7.1km. 9 3.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向． (1)求∠C的度数； (2)求B，C两地的距离．(如果运算结果有根号，请保留根号) 10 【解析】解：(1)如图： __ 由题意得：∠BAD=45°，∠DAC=15°，∠FBC=60°，EF∥DA， ∴∠ABE=∠BAD=45°， ∴∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=75°， 11 ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°， ∴∠C的度数为45°； (2)过点B作BG⊥AC，垂足为G， __ 12 在Rt△ABG中，AB=10千米，∠BAC=60°， ∴BG=AB•sin60°=10× =5 (千米)， 在Rt△BGC中，∠C=45°， ∴BC= = =5 (千米)， ∴B，C两地的距离为5 千米． 13 4.如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E-A-C；②E-D-C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．(参考数据： ， ) (1)求DE的长度．(结果精确到1千米) (2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【解析】解：(1)过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F， 14 ___ ∴∠EFA=90°， 由题意得：∠B=∠D=90°， ∴四边形EFBD是矩形， ∴EF=BD，BF=DE， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，AB=10千米， ∴BC= =10(千米)， 15 ∵CD=20千米， ∴EF=BD=BC+CD=30(千米)， 在Rt△AEF中，∠AEF=30°， ∴AF=EF•tan30°=30× =10 (千米)， ∴DE=BF=AF+AB=10 +10≈27(千米)， ∴DE的长度约为27千米； (2)他应该选择线路②， 理由：在Rt△AEF中，∠AEF=30°，AF=10 ， ∴AE=2AF=20 (千米)， 16 在Rt△ABC中，BC=10千米，∠ACB=45°， ∴AC= = =10 (千米)， ∴线路①的总路程=AE+AC=20 +10 ≈48.7(千米)， 线路②的总路程=ED+CD=10 +10+20≈47.3(千米)， ∵47.3千米＜48.7千米， ∴他应该选择线路②． 17 5.口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形ABCD是我市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正西方向，C入口在桂花园B的正北方向，玫瑰园D在C入口的北偏东60°方向400m处，玫瑰园D在A入口的北偏西45°方向1000m处．(参考数据 ) (1)求AB的长度；(结果精确到1米) (2)小乐从玫瑰园D处前往M处观赏喷泉， 18 点M在AB上，距离桂花园B的500m处．小乐可以选择山地步道①D→C→B→M，其中D→C是上坡步道，步行速度为40m/min,C→B→M是下坡步道，步行速度为70m/min；也可以选择平缓步道②D→A→M，步行速度为60m/min,请计算说明他选择哪一条步道时间更快？(结果精确到0.1min) 【解析】解：(1)过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥DE，垂足为F， 19 ____ 由题意得：CF=BE，∠DCF=90°-60°=30°，∠DAE=90°-45°=45°， 在Rt△DCF中，CD=400米，∠DCF=30°， ∴DF= CD=200(米)， CF= DF=200 (米)， 20 ∴CF=BE=200 米， 在Rt△ADE中，AD=1000米， ∴AE=AD•cos45°=1000× =500 (米)， ∴AB=AE+BE=500 +200 ≈1051(米)， ∴AB的长度约为1051米； (2)选择山地步道①时间更快， 理由：由题意得：BC=EF， ∵AB=1051米，BM=500米， ∴AM=AB-BM=551(米)， 在Rt△ADE中，AD=1000米， 21 ∴DE=AD•sin45°=1000× =500 (米)， ∵DF=200米， ∴BC=EF=DE-DF=500 -200≈505(米)， ∴选择山地步道①需要的时间= + = + ≈24.4(min)， 选择平缓步道②需要的时间= = ≈25.9(min)， ∵24.4min＜25.9min, ∴选择山地步道①时间更快． 22 6.校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条线路，如图：①A→E→D→M；②A→B→C→M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向 米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向；点C在点M的正东方向 米处，且在点B的北偏西37°方向． (Ⅰ)求EB的长度；(结果保留根号) 23 (Ⅱ)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短(参考数据： ， ，sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75)． 【解析】解：(1)过点A作AG⊥BE于点G， ____ 24 在Rt△AEG中， ∵∠EAG=45°，AE=120 米， ∴EG=AG=AE•sin45°=120(米)， 在Rt△ABG中， ∵∠BAG=30°，AG=120米， ∴BG=AG•tan30°= (米)， 则EB=BG+EG=( +120)米， 答：EB的长度为( +120)米； (2)过点B作BH⊥CD交DC的延长线于点H， 在Rt△ABG中， 25 AB= = (米)， 由题意，知四边形DEBH是矩形， ∴DH=EB=( +120)米， ∵CM= 米，DM=90米， ∴CH=DH-(CM+DM)=30米， 则Rt△BCH中， 有BC= =50米，BH= =40米， 线路①：AE+DE+DM=120 +40+90≈299.2(米)， 线路②：AB+BC+CM= +50+ ≈257.6(米)， 26 ∵299.2＞257.6， ∴线路②更短， 故应该选择线路②． 27 7.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向． (1)求点B到AC的距离． (2)求AC的长度． 【解析】解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D， 28 __ 在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=4千米， ∴BD=AB•sin60°=4× =2 (千米)， ∴点B到AC的距离为2 千米； (2)在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=4千米， ∴AD=AB•cos60°=4× =2(千米)， 29 在Rt△BCD中，∠CBD=90°-45°=45°，BD=2 千米， ∴CD=BD•tan45°=2 (千米)， ∴AC=AD+CD=(2+2 )千米， ∴AC的长度为(2+2 )千米． 30 8.“办学110周年庆祝活动”筹备小组为了更好的服务校友们，特绘制了校园地图．学校大门在点A处，格致楼B在学校大门的北偏西60°方向相距100米处，博雅楼C在格致楼B的正北方向，万象楼D在学校大门A的正北方向80米处，在操场E的西南方向，操场E在博雅楼C的正东方向，在学校大门A的北偏东30°方向． (参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45) (1)求DE的长度；(结果精确到1米) (2)筹备组初步拟定校庆活动方案， 31 校友们先在志愿者带领下参观校园，最后在操场汇合，参加庆典活动．筹备组初步设定了2条参观线路，线路一：沿A-B-C-E，速度预计为30米/分钟，线路二：沿A-D-E，速度预计为20米/分钟，若两条线路的校友同时出发，预计哪一条线路的校友先到操场？(结果精确到0.1分) 【解析】解：(1)延长AD交CE于点F， ___ 32 由题意得：AF⊥CE， 设EF=x米， 在Rt△DEF中，∠FED=45°， ∴DF=EF•tan45°=x(米)， 在Rt△AEF中，∠FAE=30°， ∴AF= = = x(米)， ∵AF-DF=AD， ∴ x-x=80， 解得：x=40 +40， 33 ∴EF=DF=(40 +40)米， ∴DE= = =40 +40 ≈154(米)， ∴DE的长度约为154米； (2)过点B作BG⊥AD，垂足为G， 34 ___ 由题意得：BG=CF，BC=GF， 在Rt△ABG中，∠BAG=60°，AB=100米， ∴AG=AB•cos60°=100× =50(米)， BG=AB•sin60°=100× =50 (米)， 35 ∴CF=BG=50 米， ∴BC=FG=AD+DF-AG=80+40 +40-50=(70+40 )米， ∴线路一需要的时间= = ≈14.5(分)， 线路二需要的时间= = ≈11.7(分)， ∵11.7分＜14.5分， ∴线路二的校友先到操场． 36 9.今年重庆年轻人跨年新方式，先在解放碑下听新年钟声再到洪崖洞吃夜宵火锅．小南从解放碑A去往洪崖洞F有两条路线，如图：①A-B-C-F；②A-D-E-F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，且在E的正北方向360米处，A在B的南偏西30°方向．D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向，BC=400米．(参考数据： ， ≈1.73) (1)求路线①的长度(结果精确到个位)； (2)由于路线②人流量更大， 37 平均步行速度为1.1m/s,路线①平均步行速度1.4m/s,请通过计算说明小南选择哪条路线才能尽快到达洪崖洞F？ 【解析】解：(1)如图： ____ 由题意得：BG⊥AF，CF⊥AF，BG=CF=450米， 38 在Rt△ABG中，∠ABG=30°， ∴AB= = =300 (米)， ∵BC=400米， ∴AB+BC+CF=300 +400+450≈1369(米)， ∴路线①的长度约为1369米； (2)小南选择路线①才能尽快到达洪崖洞F， 理由：如图： 39 ____ 由题意得：DF⊥AF，EF⊥AF，DH=EF=360米，BC=FG=400米，DE=FH， 在Rt△ADH中，∠DAH=45°， 40 ∴AD= = =360 (米)， AH= =360(米)， 在Rt△ABG中，∠ABG=30°，BG=450米， ∴AG=BG•tan30°=450× =150 (米)， ∴AF=AG+FG=(150 +400)米， ∴FH=DE=AF-AH=150 +400-360=(150 +40)米， ∴路线①需要的时间= = ≈977.9(秒)， 41 路线②需要的时间= = ≈1061(秒)， ∵1061秒＞977.9秒， ∴小南选择路线①才能尽快到达洪崖洞F． 42 10.春天是踏青的好季节．小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知A为公园入口，景点B位于A点东北方向400 米处，景点E位于A点南偏东30°方向，景点B在景点E的正北方向．景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向，又位于景点D的正南方向．DF=400米． (参考数据：sin37.5°≈ ，cos37.5°≈ ，tan37.5°≈ ， ≈1.41， 43 (1)求BE的长．(精确到个位) (2)小明选择了游览路线①：A-B-C-D，小明行驶的平均速度是1.2米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A-E-F-D，小华行驶的平均速度为1.6米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．(数值精确到1) 【解析】解：延长BC，FD交于点G，如图， 44 ____ 由题意，可得∠ABE=45°，∠AEB=30°，AB=400 米，BC=310米，∠CDG=37.5°，四边形BEFG为矩形，DF=400米， (1)过点A作AH⊥BE于点H， 在Rt△ABH中， BH=AB•cos45°=400(米)， AH=AB•sin45°=400(米)， 在Rt△AEH中， 45 EH= =400 (米)， ∴BE=BH+EH=400+400 ≈1092(米)， 答：BE的长约为1092米； (2)在Rt△AEH中， AE=2AH=800米， ∵四边形BEFG为矩形， ∴GF=BE=1092米， ∵DF=400米， ∴GD=GF-DF=692米， 在Rt△CDG中， 46 CG=GD•tan37.5°=692× ≈519(米)， CD= = ≈865(米)， ∴EF=BG=BC+CG=310+519=829(米)， ∴小明选择了路线①：A-B-C-D，行驶的时间为： +10×60+5×60= +900≈2349(秒)， 小华选择了路线②：A-E-F-D，行驶的时间为： +9×60+8×60= 47 +1020≈2288(秒)， ∵2349＞2288， ∴小华先到达景点D处． 48 11.如图科技比赛机器人竞技比赛场地图，其中已知A为起点，D为终点．B、C、E、F点为任务完成点，B位于A点东北方向40 米处，点E位于A点南偏东30°方向，点B在点E的正北方向．点C既位于点B正东方向31米处，又位于点D的北偏西37.5°方向．点F既位于点E的正东方向，又位于点D的正南方向．DF=40米．(参考数据：sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8，tan37.5°≈0.75， ≈1.73) (1)求BE的长．(结果保留根号) 49 (2)机器人甲选择了路线①：A-B-C-D，行驶的平均速度是1.2米/秒．在点B处完成任务花了9秒、在C处花8秒．机器人乙选择了路线②：A-E-F-D，行驶的平均速度为1.5米/秒．在点E完成任务花了15秒、在F处花10秒．请通过计算说明：哪个机器人用时最少？(数值精确到0.1) 【解析】解：延长BC，FD交于点G，如图， ____ 由题意，可得∠ABE=45°，∠AEB=30°，AB=40 米，BC=31米，∠ 50 CDG=37.5°，四边形BEFG为矩形，DF=40米， (1)过点A作AH⊥BE于点H， 在Rt△ABH中， BH=AB•cos45°=40(米)， AH=AB•sin45°=40(米)， 在Rt△AEH中， EH= =40 (米)， ∴BE=BH+EH=40+40 (米)， 答：BE的长为(40+40 )米； (2)在Rt△AEH中， 51 AE=2AH=80米， ∵四边形BEFG为矩形， ∴GF=BE=(40+40 )米， ∵DF=40米， ∴GD=GF-DF=40 米， 在Rt△CDG中， CG=GD•tan37.5°=40 ×0.75≈51.9(米)， CD= = ≈86.5(米)， ∴EF=BG=BC+CG=31+51.9=82.9(米)， 52 ∴机器人甲选择了路线①：A-B-C-D，行驶的时间为： +9+8= +17≈161.9(秒)， 机器人乙选择了路线②：A-E-F-D，行驶的时间为： +15+10= +25≈160.3(秒)， ∵161.9＞160.3， ∴机器人乙用时最少． 53 $$