第3章　勾股定理全章复习讲义　2024-2025学年苏科版数学八年级上册

勾股定理综合复习 一．基础知识点： 1：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　　要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 判断直角三角形其他方法：（1）有一个角为的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：勾股数 　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）（，为正整数） 题型一：直接考查勾股定理 例１.在中，． 　⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理 解：⑴⑵ 题型二：利用勾股定理测量长度 例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型， 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2 解之得x=2. 故水深为2米. 变式1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        ． 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？为什么？ 解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下： 解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理EF2=5a2, DF2=25a2 在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四:关于翻折与方程问题 例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 详细解题过程如下： 解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm， 则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102， ∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42 ∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 变式： 1.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为　4　． 考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 故答案为：4． 点评： 此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强 2.（2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ▲ ． 【答案】. 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠对称的性质，得， ∴. 在和中，∵， ∴≌.∴. ∴. 设，则，∴. 在中，根据勾股定理，得，即.解得. ∴AP的长为. 3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为【 】　 A. B. C. D. 【答案】B． 【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理． 【分析】根据折叠的性质可知， ∴. ∵，∴. ∴是等腰直角三角形. ∴.∴. ∴. ∵，∴. 在中，根据勾股定理，得AB=5，∴.∴. 在中，根据勾股定理，得，∴. ∴.在中，根据勾股定理，得. 题型六：勾股定理与面积问题 类型一　直角三角形中，利用面积求斜边上的高 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为(　　) A. B. C. D. 解答：C 2． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为________． ： 解答：2.4 3.在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB的垂直平分线交BC与点D，若AB=8，BD=5，则CD=　1.4　． 解法一： 连接AD，则AD=BD=5，求出ED=3；; ；;CD=1.4 解法二：考点： 线段垂直平分线的性质；勾股定理． 分析： 连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AD=BD=5，再设CD=x，由∠C=90°，根据勾股定理得出AC2=AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，依此列出方程52﹣x2=82﹣（5+x）2，求解即可． 解答： 解：连接AD， ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE=AB=4，AD=BD=5． 设CD=x． ∵∠C=90°， ∴AC2=AD2﹣CD2=AB2﹣BC2， 即52﹣x2=82﹣（5+x）2， ∴x=1.4， ∴CD=1.4． 故答案为1.4． 点评： 本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 类型二　结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝7cm，c＝5cm，则Rt△ABC的面积是(　　) A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．15cm2 解答．A　解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.∵a＋b＝7cm，∴(a＋b)2＝49，∴2ab＝49－(a2＋b2)＝49－c2＝24，∴ab＝6，故面积为6cm2. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B，C点外的任意一点，则代数式AP2＋PB·PC等于(提示：过点A作AD⊥BC)(　　) A．25 B．15 C．20 D．30 解答：A　解析：首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°.由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD.由勾股定理可得AP2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2.则AP2＋PB·PC＝AP2＋(BD＋PD)(BD－PD)＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25. 类型三　巧妙割补求面积 5． 如图所示是一块地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求这块地的面积． 解答：连接AC.∵AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，∴AC2＝CD2＋AD2，即AC＝10米．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S＝S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(平方米)． 6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 解答解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝169，∴AC＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2＝AC2－AE2，解得CE＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝AB·BC＋AD·CE＝×(12×5＋10×12)＝90. 类型四　“勾股树”及其拓展类型求面积 7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝(　　) A．25 B．31 C．32 D．40 解答：B　解析：由题意得AB2＝S1＋S2＝13，AC2＝S3＋S4＝18，∴BC2＝AB2＋AC2＝31，∴S＝BC2＝31. 8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是(　　) A．9 B．36 C．27 D．34 解答B　解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36. 9．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 解答12　解析：∵图中的八个直角三角形全等，∴设每个三角形的面积为S，则S1－S2＝4S，S2－S3＝4S，∴S1－S2＝S2－S3，∴S1＋S3＝2S2.由题意得S2＝22＝4，∴S1＋S3＝8，∴S1＋S2＋S3＝4＋8＝12. 10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________． 解答：1　解析：如图所示： 由正方形的性质得AC＝CE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∠1＝∠3，∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，∴△ABC≌△CDE(AAS)．∴AB＝CD.同理可得△FGH≌△HMN.∴FG2＝HM2＝NH2－MN2＝5－2＝3.∴DE2＝FG2＝3.∴CD2＝CE2－DE2＝4－3＝1.∴AB2＝1.∴S5＝AB2＝1. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例9、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 解：∵A到MN的距离为80m，而拖拉机的噪音范围为100m以内，80＜100，故拖拉机会影响学校 变式： 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型九：关于最短性问题 例10、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算） 圆柱侧面展开图： 变式1：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？ 3．课外小组的同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠绕4圈后，恰好上升至108cm的高度，则此时牵牛花藤的长度至少是________． 　　 解答180cm　解析：将水管展开，则最短藤如图所示，其中BC＝＝27(cm)，AC＝36cm，∴由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝272＋362＝2025，∴AB＝45cm.故藤的最短长度为45×4＝180(cm)． 　　　 4．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________． 解答125cm 课后作业 1、直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续偶数,则该三角形周长为（C ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 2、如图所示,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是__4_. 3、如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90∘,∠ABD=45∘,∠DCA=30∘,AB=,则AE=___(提示：可过点A作BD的垂线) 4、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，则AG的长是__________． 5、在Rt△ACB中,∠ABC=90∘，BC=6cm，AC=10cm. (1)求AB的长。 (2)若点P从点B出发，以2cm/s的速度在BC所在的直线l上运动，设运动时间为t，那么当t为何值时，△ACP为等腰三角形? 6、如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E. F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别沿AE、AF折叠,点B,D恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为( B ) A. 1.5 B. 2.5 C. 2.25 D. 3 7、如图,已知Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为______. 8、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE.G为BC上的一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，同时将△ABG沿AG对折至△AFG，连接CF. (1)求∠AEC+∠AGC的度数； (2)求证：BG=GC. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$