6.1 幂函数9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.1 幂函数9题型分类 知识点1 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 注：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点2 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 注：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． （一） 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型1：幂函数的概念 1-1．（2024高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1-2．（2024高一下·江西赣州·期中）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． （二） 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型2：求幂函数解析式 2-1．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·浙江温州·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 2-3．（2024高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，则的值为 . 2-4．（2024高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． （三） 五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 题型3：幂函数定义域问题 3-1．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 3-2．（2024高一上·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为 . 3-4．（2024高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 3-5．（2024高一上·上海青浦·期中）若幂函数的定义域为，求实数的值. 题型4：幂函数值域问题 4-1．（2024·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 4-2．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 4-3．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为 . 4-4．（2024高一·广东深圳·课后作业）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4-5．（2024高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . （四） 1.先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 2.所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 题型5：幂函数的图象 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5-2．（2024高一上·山东青岛·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·全国·课后作业）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 5-4．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 题型6：幂函数定点问题 6-1．（2024高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 6-2．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 6-3．（2024高一上·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 6-4．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 6-5．（2024高一·全国·课后作业）幂函数的图像一定经过第 象限 （五） 1.运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 2.（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 3.以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 题型7：利用幂函数的单调性求解不等式问题 7-1．（2024高一·上海·专题练习）若＜，则实数m的取值范围 ． 7-2．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为 . 7-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 题型8：比较大小 8-1．（2024高一上·广东深圳·期中）设，则与的大小为 . 8-2．（2024高一上·全国·课后作业）判断大小： .(填“”或“”) 8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是 ． 8-4．（2024高一上·北京房山·期末）已知，，，则的大小关系为 ． 题型9：幂函数性质的综合运用 9-1．（2024高一·全国·课后作业）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 9-2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 9-3．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式及其值域； (2)若，求的取值范围. 一、单选题 1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 3．（2024高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·四川凉山·期末）若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·陕西西安·期末）函数在区间上（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值 9．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（    ）    A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 10．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数在区间上是减函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一·全国·专题练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 12．（2024高一下·甘肃白银·开学考试）若幂函数在上单调递增，则（    ） A．-3或3 B．3 C．4 D．-4或4 13．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   15．（2024高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 18．（2024高一下·辽宁·阶段练习）幂函数在第一象限内是减函数，则（    ） A．2 B． C． D． 19．（2024高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 20．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）幂函数在上单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·湖北鄂州·期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（    ） A． B．8 C．4 D． 23．（2024高三上·黑龙江·阶段练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 24．（2024高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（    ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 26．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 27．（2024高一上·内蒙古乌海·期中）已知，若为偶函数，则满足要求的a有（    ） A． B．1 C．4 D． 28．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 29．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2024高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 31．（2024高一上·福建泉州·期末）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 32．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知点在幂函数的图像上，则函数是（    ） A．奇函数 B．上的增函数 C．偶函数 D．上的减函数 33．（2024高一上·福建福州·期中）已知幂函数对任意且，都满足，若，则（     ） A． B．C．D． 34．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 35．（2024高二下·山东烟台·阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 36．（2024高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 三、填空题 37．（2024高一上·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 38．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 39．（2024高一·全国·课前预习）函数在区间[－4，－2]上的最小值是 ． 40．（2024高一·全国·课后作业）设，，，把它们按从小到大的顺序排列是 . 41．（2024高一上·湖南郴州·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 42．（2024高一上·北京·期末）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 43．（2024高一下·安徽·开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是 . 44．（2024高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过第三象限，则 ． 45．（2024高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 46．（2024高一·全国·课后作业）函数，比较两个函数值的大小： ． 47．（2024高一上·陕西宝鸡·期中） 比较下面两个数的大小 48．（2024高一上·江西九江·期末）已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为 ． 49．（2024高一·江苏·假期作业）函数的最小值为 ． 50．（2024高一上·河北石家庄·期中）函数的单调增区间为 51．（2024高一上·福建漳州·期中）写出同时满足以下三个条件的一个函数 ． ①； ② ③且． 52．（2024高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 53．（2024高一·全国·单元测试）已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 四、解答题 54．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数为幂函数，且为奇函数． (1)求m的值； (2)求函数在的值域． 55．（2024高一上·广东东莞·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 56．（2024高一上·吉林长春·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 57．（2024高一上·广东东莞·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 58．（2024·辽宁沈阳·一模）已知幂函数在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围. 59．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)求函数的值域． 60．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的解析式； (2)令，，求的值域. 61．（2024高一上·上海青浦·期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； (2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； (3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 62．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上是减函数. (1)求函数的解析式，并画出它的图象； (2)讨论函数（）的奇偶性. 63．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值； (2)求函数在上的最大值. 64．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知幂函数，且在区间上单调递减. (1)求的解析式及定义域； (2)设函数，求证：在上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.1 幂函数9题型分类 知识点1 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 注：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点2 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 注：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． （一） 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型1：幂函数的概念 1-1．（2024高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 1-2．（2024高一下·江西赣州·期中）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义即可求解． 【详解】∵幂函数y＝xa， ∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数， 不是幂函数，比幂函数的图象多一个点， ∴幂函数的个数为1． 故选：B. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可. 【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：C. （二） 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型2：求幂函数解析式 2-1．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解. 【详解】函数是幂函数， ，即点在幂函数的图象上， 2，即，故. 故选：D. 2-2．（2024高二下·浙江温州·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案. 【详解】解：因为函数是幂函数， 所以设， 代入，得，解得， 所以， 所以. 故选：C. 2-3．（2024高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后求函数值即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，所以. 故答案为： 2-4．（2024高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合幂函数的定义列式求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故选：B. （三） 五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 题型3：幂函数定义域问题 3-1．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域的知识确定正确答案. 【详解】解：由于， 所以，，解得 所以函数的定义域是. 故答案为： 3-2．（2024高一上·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合指数幂的运算性质化简表达式，即可求解 【详解】由可知其定义域为. 故答案为： 3-4．（2024高一上·上海青浦·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果. 【详解】，，解得：， 的定义域为. 故答案为：. 3-5．（2024高一上·上海青浦·期中）若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 题型4：幂函数值域问题 4-1．（2024·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据的解析式求得的值域. 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 4-2．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 4-3．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为 . 【答案】1 【解析】根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解. 【详解】由题意得：， 当或时，， 当时，， 综上：函数的最小值为1， 故答案为：1 4-4．（2024高一·广东深圳·课后作业）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 4-5．（2024高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： （四） 1.先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 2.所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 题型5：幂函数的图象 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确. 故选：D. 5-2．（2024高一上·山东青岛·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 故选：B. 5-3．（2024高一上·全国·课后作业）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可. 【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，. 故选：B 5-4．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 题型6：幂函数定点问题 6-1．（2024高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 6-2．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 6-3．（2024高一上·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点即可求解. 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 6-4．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 6-5．（2024高一·全国·课后作业）幂函数的图像一定经过第 象限 【答案】一、三 【分析】由函数的奇偶性及幂函数恒过定点可得. 【详解】因为为自然数，所以为偶数，所以为奇数， 所以是奇函数， 且函数的图像经过和点并且在单调递增， 所以幂函数的图像一定经过第一、三象限． 故答案为：一、三 （五） 1.运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 2.（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 3.以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 题型7：利用幂函数的单调性求解不等式问题 7-1．（2024高一·上海·专题练习）若＜，则实数m的取值范围 ． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增， 则原不等式等价于，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 7-2．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 7-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型8：比较大小 8-1．（2024高一上·广东深圳·期中）设，则与的大小为 . 【答案】 【分析】由幂函数的单调性判断， 【详解】幂函数在上单调递增，而，则， 故答案为： 8-2．（2024高一上·全国·课后作业）判断大小： .(填“”或“”) 【答案】 【分析】根据的单调性比较大小即可. 【详解】由在上递减，又， 所以. 故答案为： 8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性与奇偶性，即可判断与的大小，得到答案． 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象过点，可得，解得， 所以幂函数为， 此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数， 则，所以. 故答案为：. 8-4．（2024高一上·北京房山·期末）已知，，，则的大小关系为 ． 【答案】/a<c<b 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】解：函数在R上递增，，则，函数为偶函数且在单调递增，，则， 综上，. 故答案为：. 题型9：幂函数性质的综合运用 9-1．（2024高一·全国·课后作业）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值. 【详解】是幂函数，也是偶函数， 且在上为增函数， 且为偶数， 解得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或 9-2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：，解不等式结合即可求解； （2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数（）在是严格减函数， 所以，即 ，解得：， 因为，所以， 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 当时，，此时为偶函数，符合题意； 当时，，此时为奇函数，不符合题意； 所以， （2）， 令 当时，，，此时是奇函数， 当时，，此时是偶函数， 当且时，，， ，，此时是非奇非偶函数函数. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用幂函数的单调性求出可能性的取值，再利用奇偶性可确定的值，即可求解析式，第（2）问注意讨论的值. 9-3．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式及其值域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，函数值域为 (2) 【分析】（1）根据幂函数定义得到，再验证单调性得到答案. （2）变换得到，计算二次函数的最大值得到答案. 【详解】（1）幂函数在上单调递增，则， 解得或， 当时，，函数在上单调递减，不满足； 当时，，函数在上单调递增，满足； 综上所述：，函数值域为. （2），即，即， ，当时，，故，即. 一、单选题 1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 2．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 3．（2024高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 4．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件列方程求即可. 【详解】因为幂函数的图像经过点， 所以， 所以， 故选：B. 5．（2024高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【详解】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 6．（2024高一上·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案. 【详解】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数. 故选：B. 7．（2024高一上·四川凉山·期末）若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出函数的解析式，利用求出函数的图象所过的定点坐标，然后利用两函数图象的对称关系可求出函数所过定点的坐标. 【详解】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象所过定点坐标的计算，在解题时要熟悉指数、对数以及幂函数所过定点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 8．（2024高二上·陕西西安·期末）函数在区间上（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值 【答案】A 【分析】利用换元法将原函数转化为二次函数，结合二次函数的性质判定即可. 【详解】令， 由二次函数的性质可知，显然当时，即时，函数取得最大值，函数无最小值. 故选：A 9．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（    ）    A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 【答案】D 【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答. 【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数， 故选：D. 10．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数在区间上是减函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】因为幂函数，可得，解得或， 又因为函数在上为单调递减函数，可得，所以. 故选：B. 11．（2024高一·全国·专题练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论． 【详解】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为． 故选：D． 12．（2024高一下·甘肃白银·开学考试）若幂函数在上单调递增，则（    ） A．-3或3 B．3 C．4 D．-4或4 【答案】B 【分析】根据函数是幂函数得到，再根据其单调性，由求解. 【详解】解：由题意得， 解得得. 故选：B 13．（2024高一上·重庆万州·阶段练习）若， ，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小. 【详解】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则，又， 所以. 故选：D 14．（2024高一上·浙江·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案. 【详解】的定义域为R，又， 故为偶函数， 当时，，结合幂函数的图象可知，C正确. 故选：C 15．（2024高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数性质求值域. 【详解】因为， 所以当时，，当时，， . 故选：B 16．（2024高一上·河北衡水·期中）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 17．（2024高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】由幂函数定义可得，后结合图像过点可得答案. 【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故. 故选：C 18．（2024高一下·辽宁·阶段练习）幂函数在第一象限内是减函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数的单调性可知，所以． 故选:D． 19．（2024高一上·四川成都·期中）幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以. 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则， 故函数的解析式为（）. 故选：A. 20．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可. 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 21．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）幂函数在上单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义和性质求出，从而确定函数解析式，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递减，不满足题意； 当时，，在上单调递增，满足题意， 所以，且是偶函数， 由于，所以，解得或， 故选：D. 22．（2024高一上·湖北鄂州·期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及上下凸函数的性质求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或3. 因为，且，均有， 所以的图象在第一象限上凸，因此. 所以，所以. 故选：A. 23．（2024高三上·黑龙江·阶段练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义以及结合成立等价于函数为减函数可求出的值，利用函数的单调性与奇函数求解即可. 【详解】因为对任意，，且，满足，所以在上为减函数， 由已知是幂函数，可得， 解得或， 当时，，在上为增函数，故不成立. 当时，，在上为减函数，满足条件， 故，，故为奇函数， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 24．（2024高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 25．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（    ） A．―1或2 B．1或―2 C．1 D．―1 【答案】D 【分析】由幂函数的定义求m的值，然后验证函数的单调性即可得答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或2， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，，在上不单调，不满足题意； 故选：D. 26．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得，代入得出的解析式以及单调性，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得， 所以，，. 所以，在区间上单调递增， 所以，在处取得最小值. 故选：D. 二、多选题 27．（2024高一上·内蒙古乌海·期中）已知，若为偶函数，则满足要求的a有（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数的奇偶性判断即可. 【详解】当时定义域为，且， 所以为偶函数，故A正确； 当时定义域为，所以为非奇非偶函数，故D错误； 当时定义域为，且为奇函数，故B错误； 当时定义域为，且， 所以为偶函数，故C正确； 故选：AC 28．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 29．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D. 【详解】幂函数的定义域为， ，， ∵函数在单调递增，， ∴，即，故A正确； ，， ∵函数在单调递减，，即， ∴，即，故B错误； ∵幂函数在上单调递增，， ∴，，即，∴，故C正确； ， ∵， ∴，即，故D正确. 故选：ACD. 30．（2024高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用单调递增可判断D项. 【详解】设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，因为在上单调递增，所以，即，故D错误． 故选：AC. 31．（2024高一上·福建泉州·期末）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】ABC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确； 对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确； 对于D，若，当时，； 当时，； 当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 32．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知点在幂函数的图像上，则函数是（    ） A．奇函数 B．上的增函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BC 【分析】由幂函数定义可得，将代入解析式可得，后可判断奇偶性与单调性. 【详解】由题意得，因此，则点在幂函数的图像上，，则，故.则是偶函数，且在上是增函数. 故选：BC 33．（2024高一上·福建福州·期中）已知幂函数对任意且，都满足，若，则（     ） A． B．C．D． 【答案】BD 【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得或， 因为对任意且，都满足， 所以函数在上递增， 所以 当时，，不合题意， 当时，， 所以 因为， 所以为奇函数， 所以由，得， 因为在上为增函数， 所以，所以， 所以A错误，B正确， 对于CD，因为， 所以 ， 所以，所以C错误，D正确， 故选：BD 34．（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解； 选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域； 选项C，平方变形与A同理可求； 选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解， 关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可. 【详解】要使，都有意义，则有， 故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且 ， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减， 则的值域为， 即的值域为，故D正确. 故选：ABD. 35．（2024高二下·山东烟台·阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D. 【详解】由题意,为偶函数，选项A正确． 当时，为单调递减函数，选项B正确． 当时，为单调递减函数，则， 因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确． 故选：ABD． 36．（2024高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 【答案】AC 【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以设， 又的图像经过点，所以，所以，即， 所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误； 故选：AC. 三、填空题 37．（2024高一上·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 【答案】 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 38．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 39．（2024高一·全国·课前预习）函数在区间[－4，－2]上的最小值是 ． 【答案】/－0.125 【分析】根据幂函数的单调性即可求解. 【详解】解析：因为函数在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，． 故答案为：. 40．（2024高一·全国·课后作业）设，，，把它们按从小到大的顺序排列是 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性，即可得到答案； 【详解】因为，，所以. 故答案为： 41．（2024高一上·湖南郴州·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】函数为偶函数，且当时，单调递增， 则可得， 解得或 即的取值范围是 故答案为: 42．（2024高一上·北京·期末）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】设幂函数， 由题意得，解得，故，， 则，即为， 根据在上为单调增函数，则有， 解得，故解集为， 故答案为：． 43．（2024高一下·安徽·开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】设幂函数，， 因为幂函数的图象过点，所以，解得， 所以，的定义域为，且在上单调递减， 因为，所以，解得， 故答案为： 44．（2024高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过第三象限，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义及常见幂函数的图象求解即可. 【详解】由题意，得，解得或． 当时，的图象不经过第三象限，不符合题意． 当时，经过第三象限，符合题意． 故答案为：3. 45．（2024高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件求出，然后可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 故答案为： 46．（2024高一·全国·课后作业）函数，比较两个函数值的大小： ． 【答案】 【分析】先判断出为偶函数，得到，. 利用在上为增函数，即可判断. 【详解】因为幂函数定义域为R， ，所以为偶函数. 所以，. 因为，所以在上为增函数. 因为，所以，所以. 故答案为： 47．（2024高一上·陕西宝鸡·期中） 比较下面两个数的大小 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性比较即可. 【详解】解：因数幂函数在上单调递增， 又因为， 所以. 故答案为： 48．（2024高一上·江西九江·期末）已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由幂函数单调递减得，结合图像关于对称即为偶函数，即可求得，利用幂函数的单调性即可解不等式. 【详解】由在上单调递减得，，故，又，故或2，当时，，满足条件；当时，，图像不关于直线对称，故. 因为函数在为减函数，故由不等式得， 或或. 解得或，综上：. 故答案为： 49．（2024高一·江苏·假期作业）函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】(方法1：单调性法)：求得函数的单调性，从而可得最小值； (方法2：换元法)：令，结合二次函数的性质求出最小值． 【详解】(方法1：单调性法)：显然函数的定义域为， 因为函数与在定义域上均是增函数， 故在上是增函数， 所以当时， ，即函数的最小值为2． (方法2：换元法)：令，则， 所以原函数转化为， 易知在时，函数单调递增， 所以当时， ， 故函数的最小值为2． 故答案为：2． 50．（2024高一上·河北石家庄·期中）函数的单调增区间为 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案. 【详解】由得， 因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 51．（2024高一上·福建漳州·期中）写出同时满足以下三个条件的一个函数 ． ①； ② ③且． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数奇偶性、运算性质进行求解即可. 【详解】由①可以判断该函数是奇函数， 设； 因为， 所以满足②； 当且时， ， 所以函数满足③且， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断函数是奇函数，根据幂函数的性质进行选择函数. 52．（2024高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 53．（2024高一·全国·单元测试）已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______． 【答案】7或/或7 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】令，． 由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称． 又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2， 所以，当的图像关于原点对称时， 在区间上的最大值为7，最小值为4， 在区间上的最大值为，最小值为， 于是在区间上的最大值为，最小值为． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 同理可得，当的图像关于y轴对称时， 在区间上的最大值为5，最小值为2． 所以在区间上的最大值与最小值的和为； 因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或． 故答案为：7或． 四、解答题 54．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数为幂函数，且为奇函数． (1)求m的值； (2)求函数在的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数得到或，再验证奇偶性得到答案. （2）确定，函数在上单调递增，计算最值得到值域. 【详解】（1）函数为幂函数，则，解得或； 当时，为奇函数，满足条件； 当时，为偶函数，不满足条件，舍去. 综上所述：. （2），函数在上单调递增， 故，，故值域为 55．（2024高一上·广东东莞·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减， 则，解得，故. （2）解：由（1）可知，对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，因此，实数的取值范围是. 56．（2024高一上·吉林长春·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 【答案】(1) (2)图像见解析 (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解. （2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像. （3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数定义域是， 易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意； 当时，函数， 易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称； 综上：幂函数的解析式是. （2）因为函数，定义域为， 且， 所以是上的偶函数， 当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像， 作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，      （3）观察（2）中图像可得， 的解集为. 57．（2024高一上·广东东莞·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，解出值，再检验即可； （2）根据奇函数的性质求解解析式即可. 【详解】（1）∵为幂函数 ∴，得或 当时，是奇函数不是偶函数， 当时，是偶函数，∴. 故的解析式. （2）由（1）得，当时， 对于，则， 当时，， ∴， 又∵函数是定义在R上的奇函数， ∴即， ∴，， ∴函数的解析式 58．（2024·辽宁沈阳·一模）已知幂函数在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解. （2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解. 【详解】（1）依题意得：，或， 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去， 当时，在上单调递增， . （2）由（1）得，当时，，即， 当时，，即， ∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴， ∴的取值范围是． 59．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)求函数的值域． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答. （2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答. 【详解】（1）依题意，，即，解得或， 当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数， 所以的解析式是． （2）由（1）知，，， 设，则，，因此， 当时，，当或时，，于是， 所以函数的值域为. 60．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的解析式； (2)令，，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，求出的值，即可得出函数的解析式； （2）求出函数的解析式，在时，利用单调性求出函数的值域；当时，换元，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，综合可得结果. 【详解】（1）解：因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以，. （2）解：，. ①当时，在上单调递减， 所以，，此时； ②当时，， 设，，可得， ，此时， 综上，的值域为. 61．（2024高一上·上海青浦·期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； (2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； (3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决. 【详解】（1）由题知，函数，定义域为， 所以， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 所以是利普希兹条件函数 （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个， 均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为， 所以， 所以的最小值为． （3）由题意得在上恒成立， 即， 不妨设， 所以， 因为， 所以， 所以. 62．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上是减函数. (1)求函数的解析式，并画出它的图象； (2)讨论函数（）的奇偶性. 【答案】(1)，作图见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的奇偶性和单调性求解m，即可求出解析式，结合幂函数的图象与性质作图即可； （2）化简解析式，根据的取值结合奇偶性结论判断即可. 【详解】（1）由幂函数在区间上是减函数，得， 即.又，得. 因为函数的图象关于y轴对称，所以是偶函数，所以是偶数. 将分别代入检验，得，所以. 的图象如下图所示.    （2）把代入的解析式，得， 则. 所以当，时，为非奇非偶函数； 当，时，为奇函数； 当，时，为偶函数； 当，时，既为奇函数又为偶函数. 63．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)0 (2)3 【分析】（1）利用幂函数的定义及幂函数的性质即可求解； （2）根据（1）结论及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增． 所以，解得． 所以m的值为0. （2）由（1）知，， 所以函数， 由二次函数的性质，函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为． 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为． 64．（2024高一上·辽宁沈阳·期末）已知幂函数，且在区间上单调递减. (1)求的解析式及定义域； (2)设函数，求证：在上单调递减. 【答案】(1)，定义域为. (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义可得答案； （2）求出利用单调性定义证明即可. 【详解】（1）因为幂函数，在区间上单调递减， 所以，解得或， 所以，定义域为. （2）由（1）知函数， 设，则 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$