两类均值不等式的简单应用讲义-2025届高三数学一轮复习

两类均值不等式的简单应用 摘要：纵观近几年的高考试卷，极值点偏移问题成为出题的热点，而求解极值点偏移问题的一个重要工具就是指数和对数均值不等式.此外在一些高考试题中，指数和对数均值不等式也会被当作一个单独的考点来进行考察.因此为了让读者对指数和对数均值不等式有一个详细的了解，本文将借助几类典型的例题来详细地讲解指数和对数均值不等式，希望能对读者的数学学习提供帮助. 关键词：指数均值不等式 对数均值不等式 对数均值不等式 对任意的（），有. 证明：不妨设（时同理可得）（1）先证成立，原式等价于，即.令，此时要证，即证 .构造函数，则，由于 ，故在上单调递减，即，故在上也单调递减，即.（本文中的为的导函数） ，故. （2）再证成立，原式等价于，即 .令，此时要证，即证. 构造函数，则，由于，故 在上单调递增，即，故在上也单调递增，即. ，故. 分析：不等式的后半部分在导数问题中应用尤为突出，特别是遇到“”类型的问题是，常常将记作一个新的字母，然后再转化为对数均值不等式进行求解. 指数均值不等式 对任意的（）都有. 证明：在对数均值不等式中，令、，则、，从而得到指数均值不等式. 分析：等式的后半部分在导数问题中应用尤为突出，特别是遇到“”类型的问题是，常常将记作一个新的字母，然后再转化为指数均值不等式进行求解. （注：对数均值不等式与指数均值不等式在解答题中都不能直接应用，因此掌握这两类不等式的证明方法是非常重要的.） 一、“”与“”类型的应用 例1-1：已知函数，，若，为曲线上的两个不同点，满足，且，使得曲线在点处的切线与直线平行，求证：. 解析：由题知直线的斜率为，且，故 ，即，欲证证 由对数均值不等式知成立. 成立. 特别说明：文中的例题凡是转化为指数或对数均值不等式以后，都需要对其作出证明，如果在考试作答时没有给出证明过程，该问不得分.由于本文在开始时已经对这两个不等式进行了证明，因此在例题解析中省略了证明的这一步骤（下同）. 例1-2：已知函数，若斜率为的直线与曲线交于 ，两点，其中，求证：. 解析：由题知，故，要证明 成立，即证，即证.令，现只需证，由，知，故只需证. （1）构造函数，则当时，，故在上单调递增，即，故，则成立. （2）构造函数，则当时，，故在上单调递增，即，故，则成立. 由（1）（2）知成立，故成立. 二、“”类型的应用 例2-1：已知函数，若存在两个极值点，且，证明：. 解析：由题知，由于存在两个极值点，故方程在上有两个不同的根，即且，解得，且 ，. ，故要证成立，需证，由对数均值不等式知 成立. 成立. 例2-2：已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 解析：（1）由题知，令，则. ①当时，有，故，即. 故函数在上单调递减. ②当时，有，且，，故方程有两个正根，分别记作，.故当时， ；当时，. 在，上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知若存在两个极值点，则. 的两个极值点，为方程的根，故，不妨设，则. . 要证，需证①.由于，故需证，即证. 构造函数，由（1）知在上单调递减，故 . 成立，即成立. 易错说明：上例中的式①，很多同学会将其变形为②，从而构造新函数，然后利用新函数在定义域内为减函数来求解.最后会发现无法证明（2）中的不等式成立，该方法错误的原因在于函数在定义域内不是减函数. 如果在定义域内为减函数，则式②应该这样描述：且 ，则在为减函数.此处中的与具有任意性，而式②中，它们不具备任意性. 例2-3：已知函数，其中，，为自然对数的底数. （1）若，且当时，总成立，求实数的取值范围； （2）若，且存在两个极值点，求证：. 解析：（1）当时，，则，令. 当时，，故，即函数在上单调递增，故 . 当时，在上单调递减，在上单调递增. 故，不成立. 综上的取值范围为. （2）当时，，. 存在两个极值点、，故、为方程的两个根. 即，且，. 不妨设则. . 由（1）知当，时，在有，即.故当时有. . 又.构造新函数 ，且.故函数在上单调递增，即，故. 综上可得：. 三、（含参数）极值点偏移问题的应用 例3-1：已知函数（为常数）有两个不同的零点、，请证明： . 解析：借助作为媒介，构造对数均值不等式. 、为函数的两个零点， ， ③④得：，故欲证，即证，即证. 又③-④得：，故. 即证，由对数均值不等式知成立. 成立. 分析：在解含有参数的极值点偏移问题时，常常利用题目已给的式子进行“加”、“减”两步运算（例如本例中对③和④进行的加、减运算），然后构造出（指数）对数均值不等式. 例3-2：已知函数（为常数）有两个不同的零点、（为自然对数的底数）请证明：. 解析：借助作为媒介，构造指数均值不等式. 、为函数的两个零点， ， ⑤⑥得：，故欲证，即证. 又⑤-⑥得：，故. 即证，即证由指数均值不等式知 成立. 成立. 例3-3：已知函数与函数，的图象有两个交点，. （1）求实数的取值范围； （2）设，，判断与0的大小，并证明. 解析：（1）由题知方程在上有两个实根、，根据分离常数法方程可化为，设，则.故当时，当时.即函数在上单调递增，在上单调递减，故函数 .且当时，当时.又当时，,故当时，函数图象与直线有两个交点. 的取值范围为. （2）由题知，故，即，由（1）知当的值较小时，存在，故猜想，证明如下： 要证，只需证. 不妨设，由（1）知，且，. ，即. 又，即. ，此时令， ，由于，故要证，只需证， 即证.由于，故. 构造函数，故.由知，在上单调递减，在上单调递增，即的最小值为. 故函数在上单调递增，即. 成立，即成立，即成立，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$