2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 (第2课时) 1 一、等式性质 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. 对称性 传递性 可加性 可乘性 可除性 思考1 请观察上面性质的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 性质1，2反映了相等关系自身的特性. 性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 运算中的不变性就是性质. 0 0 二、不等式性质 思考2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质 性质内容 别名 注意 1 2 3 a>b⇔b<a 对称性 ⇔ a>b，b>c⇒a>c 传递性 不可逆 证明：因为a-c=(a-b)+(b-c)>0，所以a>c. a>b⇔a+c>b+c 可加性 ⇔ 自然语言：不等式两边都加上同一个实数，所等不等式与原不等式同向. 图形语言： a+b>c⇒ a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b a+b>c⇒a>c-b不等式中任何一项可改变符号后移动到不等式的另一边 0 0 二、不等式性质 思考3 观察不等式性质2，3你有什么发现吗？ 性质 性质内容 别名 注意 4 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc. 自然语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 可乘性 c的符号 性质 性质内容 别名 注意 5 a>b，c>d⇒_________ 证明：由a>b和性质3得a+c>b+c；由c>d和性质3得b+c>b+d. 根据性质2，即得a+c>b+d. 同向可加性 同向 a+c>b+d 0 0 二、不等式性质 思考4 观察不等式性质4，2你有什么发现吗？ 性质 性质内容 别名 注意 6 7 同向同正可乘性 同向 同正 a>b>0，c>d>0⇒_________ ac>bd>0 证明：由a>b>0和性质4得ac>bc>0；由c>d>0和性质4得bc>bd>0. 根据性质2，即得ac>bd>0. a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 性质6的一般情况 可乘 方性 同正 0 0 三、典例讲解 > < < < B 0 0 三、典例讲解 0 0 三、典例讲解 0 0 谢谢大家！ 9 判断下列命题是否正确? (1) 如果a=b，那么b=a； (2) 如果a=b，b=c，那么a=c； (3) 如果a=b，那么a±c=b±c； (4) 如果a=b，那么ac=bc； (5) 如果a=b，c≠0，那么=. 思考5 请判断命题“若a>b，则<”的真假. 若a>b>0，则0<<； 若a<b<0，则0>>. 例1(教材P42练习2) 用不等号“>”或“<”填空： (1) 如果a>b，c<d，那么a-c ___ b-d； (2) 如果a>b>0，c<d<0那么ac ___ bd； (3) 如果a>b>0，那么 ___ ； (4) 如果a>b>c>0，那么 ___ . 训练1(教材P43习题8) 下列命题为真命题的是( ). A 若a>b>0，则ac2>bc2 B 若a>b>0，则a2>b2 C 若a<b<0，则a2<ab<b2 D 若a<b<0，则< 由c<0，得>. 例2(教材P42例2) 已知a>b>0，c<0，求证<. 因为a>b>0，所以ab>0，>0. 所以a·>b·. 即>. ⇒<-<1， 所以-1<<-. 训练3 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则3a+2b的取值范围为__________. 设3a+2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b， 故2≤3a+2b≤11. 例3(教材P43习题5改编) 已知2<a<3，-2<b<-1，求2a+b，a-b，的范围. ⇒， ① ⇒2<2a+b<5. ② ⇒3<a-b<5. ③ 因为2<a<3，-2<b<-1，所以<<，1<-b<2. $$