12.3角的平分线的性质同步练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． ( 典例分析 ) 1．（2023秋•大安市期末）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°． ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）如图，过D作DF⊥AC于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝3， 又∵AB＝10，AC＝8， ∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27． 2．（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 2．（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．（2024春•顺德区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 4．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023秋•安康期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 6．（2023秋•梨树县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝10，则点D到AB的距离是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 8．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 二．填空题（共6小题） 9．（2024•重庆模拟）在△ABC中，已知BC＝6，BC边上的高h＝4，△ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是 　 　． 10．（2023秋•高唐县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠EBF＝　 　． 11．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　 　． 12．（2024•渠县校级模拟）如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB＝20cm，AC＝8cm，DF＝　 　cm． 13．（2024春•泰兴市期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，AE＝AC，连结DE．若AC＝9，△ABC周长为33，则△BDE的周长是 　 　． 14．（2024春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2024春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 16．（2024春•汉中期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长． 17．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 18．（2023秋•谢家集区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 19．（2024春•潮阳区期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少． 12.3角的平分线的性质-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 2．（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF． 在△AOB和△CEF中， ， ∴△AOB≌△CEF（SSS）， 故选：D． 3．（2024春•顺德区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD＝×6×3＝9． 故选：C． 4．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H， ∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P， ∴PF＝PG＝3，PG＝PH， ∴PF＝PG＝PH＝3． 故选：C． 5．（2023秋•安康期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 【解答】解：∵AC＝15cm，AD＝9cm， ∴CD＝AC﹣AD＝6cm， ∵BD平分∠ABC，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm． 故选：C． 6．（2023秋•梨树县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝10，则点D到AB的距离是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H． ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD＝DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵CD＝10， ∴DH＝10，即点D到AB的距离是10． 故选：C． 7．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 8．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，CD＝3， ∴CD＝DE＝3， ∴ 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•重庆模拟）在△ABC中，已知BC＝6，BC边上的高h＝4，△ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是 　　． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F， ∵点O是△ABC两个内角的角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OD＝OE＝OF， ∴AB•OF+AC•OE+BC•OD＝AB•AH，即AB•OD+AC•OD+BC•OD＝×6×4， ∴OD＝， ∵AB+AC≥10， ∴OD的最大值是， 故答案为：． 10．（2023秋•高唐县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠EBF＝　24°　． 【解答】解：过点E作EM⊥AB、EN⊥BC、EO⊥AC，如图所示： ∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴EM＝EO，EN＝EO， ∴EM＝EN， ∵EM⊥AB、EN⊥BC， ∴BE平分∠ABC， ∴， 故答案为：24°． 11．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　3cm　． 【解答】解：过P作PN⊥OB于N， 由题意得：PM＝PN， ∵PM⊥OA， ∴PO平分∠AOB， ∴∠COP＝∠NOP， ∵PC∥OB， ∴∠CPO＝∠NOP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴OC＝PC， ∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴PC＝5﹣2＝3（cm）， ∴OC的长度是3cm． 故答案为：3cm． 12．（2024•渠县校级模拟）如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB＝20cm，AC＝8cm，DF＝　2　cm． 【解答】解：∵△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线 ∴DE＝DF ∵△ABC的面积是28cm， ∴AB•ED+12AC×DF＝28cm， 则（AC+AB）•FD＝28cm， ∴×（8+20）FD＝28cm， 解得FD＝2cm， 故答案为：2． 13．（2024春•泰兴市期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，AE＝AC，连结DE．若AC＝9，△ABC周长为33，则△BDE的周长是 　15　． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴DE＝CD， L△BDE＝BE+BD+ED ＝BE+BD+DC ＝BE+BC ＝L△ABC﹣AC﹣AE ＝L△ABC﹣2AC ＝33﹣2×9 ＝33﹣18 ＝15． 故答案为：15． 14．（2024春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15， 故答案为：15． 三．解答题（共5小题） 15．（2024春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形． ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD是△ABC的角平分线． 16．（2024春•汉中期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， ∵AB＝12，AC＝8， ∴DE＝6． 17．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 18．（2023秋•谢家集区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF； （2）解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABD＝AB•DE＝40， ∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 19．（2024春•潮阳区期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少． 【解答】解：（1）∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P， ∴∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP， ∴∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°， ∴AB∥CD． （2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又AB∥CD． ∴∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°， 由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ ＝∠MFP﹣∠MEP ＝（∠MFP﹣∠MEP） ＝， ∵∠P＝90°， ∴∠Q＝＝45°． （3）当FP2在EF右侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°， 根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°， ∴15t+60°+3t+30°＝180， 解得t＝5． 当FP2在EF左侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°， 根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°， ∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°， 解得t＝15，t＝30（不合题意舍去） 综上分析，t＝5或t＝15时，EP1∥FP2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$