精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合的取值范围，然后根据交集的概念即可求解. 【详解】因为，所以. 故选:B. 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除选项C，D；再利用特殊值排除选项B即可求解． 【详解】∵，定义域为， 又，可知函数为奇函数，故排除选项C，D； 又由时，，，有，，可得； 当时，，，有，，可得； 故当时，，故排除选项B； 而A选项满足上述条件，故A正确． 故选:A． 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 6. 已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解命题中涉及的不等式，根据题意可得相应集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 因为p是q的必要而不充分条件， 所以，则， 解得， 故选：C. 7. 在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：） A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 【答案】C 【解析】 【分析】依题意分别将各组温度数据代入表达式，得出方程组再利用对数运算法则即可求得结果. 【详解】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得 在直线下方，再借助导数探讨求解作答. 【详解】令，，显然直线恒过点， 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”， ，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，，当时，，而， 即当时，不存在整数使得点在直线下方， 当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：， 而切线过点，即有，整理得：，而，解得， 因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2， 即存在唯一整数2使得点在直线下方， 因此有，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线 方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对各选项中函数求导，根据导数可判断其单调性可得. 【详解】A中：，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故A满足； B中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，B满足； C中：令，得，易知时函数单调递减，时函数单调递增，C满足； D中：恒成立，故在R上单调递减. 故选：ABC 10. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足，对于选项A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若无零点，则 C. 若有两个零点，则 D. 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据零点定义可构造函数，利用函数与方程的思想可判断A正确，B错误，再根据对数平均不等式计算可判断CD正确. 【详解】由可得， 令，其中， 所以直线与曲线的图象有两个交点， 易知，令可得，所以在上单调递减， 令可得，所以在上单调递增； 因此可得在处取得极小值，也是最小值，即， 其图象如下图所示： 当时，函数与的图象有两个交点，选项A正确； 当时，函数与的图象有一个交点，选项B错误； 接下来证明对数平均不等式，其中，且均为正数； 先证明，不妨设， 即证， 令，则，即证， 设，则， 所以函数在上单调递增； 即当时，，所以； 再证明，不妨设， 即证明，令，则，即证； 令， 则， 因此函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上可得对数平均不等式成立； 由已知可得，两式作差可得， 所以，， 即可知，则，选项C正确； 所以，则，选项D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在根据零点个数求解参数取值范围问题时，要利用函数与方程的思想转化为函数图象与坐标轴交点个数，再通过构造函数求得单调性及其极值或最值，进而得出并证明不等式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是其导函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导，判断导函数的奇偶性求解即可. 【详解】因为， 所以，由的定义域为， 且， 故函数为奇函数， 所以. 故答案为：0. 13. 若，，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将式子进行拆分得，两次使用基本不等式，最后注意取等条件. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，，即时，即或等号成立． 故答案为：4. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，运用数形结合法求解本题. 【详解】设， 由图可知，，解得， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 即且， 所以 ， 因为在上单调递增， 所以， 故的取值范围是． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，结合韦达定理，列式求解； （2）比较对称轴与区间端点，即可列式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为，则 对应方程的两个根为和3， 则，得， 所以实数，； 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，则 ，得. 所以实数的取值范围. 16. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知函数（为实常数）． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的性质可求得，并代入检验； （2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值． 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为， 若函数为奇函数，则，解得， 此时， 则， 即，可知为奇函数，则符合题意， 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知， 由不等式，得， 原题意等价于， 因为，令， 则 又因为函数在单调递增，则， 可得，所以实数的最大值为1. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，且．证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 由题可得， 两式相减可得， 要证，即证， 即证，即证， 令，则，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，故原命题成立． 【解析】 【分析】（1）按a分类讨论，利用导数与原函数的关系即可求得函数的单调性； （2）利用分析法去证明，过程中构造函数，利用导数证得，从而证明原不等式成立. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上恒大于0，所以在上单调递增， 当时，由，可得 当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用函数的导数与单调性判断函数在区间上的单调性求出端点值及极值即可得出结果； （2）根据题意先求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与曲线方程联立得出关于的二次方程，由题意得出关于的方程，分离参数，构建新函数，利用函数导数及相关性质分析即可. 【小问1详解】 因为，所以， 令，可得， 令，可得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减， 由， 故函数在上的值域为. 【小问2详解】 由， 所以曲线在点处的切线斜率为：，此时， 所以曲线在点处的切线方程为：， 整理得： 联立方程消去整理得：， 由题意得： 整理得：， 令， 则， 令，可得或， 令，可得或， 所以函数的增区间为，减区间为， 由，可得， 有，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：） A. 8分钟 B. 9分钟 C. 10分钟 D. 11分钟 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若无零点，则 C. 若有两个零点，则 D. 若有两个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是其导函数，则__________. 13. 若，，则的最小值为______． 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 16. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数（为实常数）． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，且．证明：． 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $