专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）△ABC三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江西·阶段练习）在△ABC中，若，则是 三角形（按角分类）． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，三角形三边的长分别为，，，其中m、n都是正整数．以为边分别向外画正方形，面积分别为、、，试说明、、之间的数量关系． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ． 3、（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点，其中，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否为从花卉基地到东沟最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原来的路少多少米． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)_______； (2)求的度数． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形ABCD中，，，，，，四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．（2020·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（12-13八年级下·山东德州·期末）的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知三角形卡纸的三边长分别为，要将这张卡纸剪成两个三角形，且其中必须有一个三角形是等腰三角形，在用不同剪法剪得的这些等腰三角形中，腰长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，边上的中线，那么 ， ． 7．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 8．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 10．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在中，，于D．设，，，，求证： (1)； (2)以，h，为边的三角形是直角三角形． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 14．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）“海伦-秦九韶公式”如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 解决问题： (1)在中，已知，，，请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)勤于思考的小明同学认为（1）中的运算太繁，并想到了不同于（1）的解法，请你用小明的解法求（1）中的面积． 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 本讲义均可使用实数相关知识点进行计算； 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）△ABC三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】A、，即，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； B、，结合可得，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合要求； D、，不能构成直角三角形，故本选项符合要求． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江西·阶段练习）在△ABC中，若，则是 三角形（按角分类）． 【答案】直角 【分析】本题考查非负性和勾股定理逆定理，非负性求出的值，勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，三角形三边的长分别为，，，其中m、n都是正整数．以为边分别向外画正方形，面积分别为、、，试说明、、之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积． 首先利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，设的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示、、的值，由勾股定理即可得出、、之间的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 设的三边分别为a、b、c， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即． 故答案为． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 1．（七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形，是斜边， 又∵是边上的中线， ∴ 故选：D． 1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了在网格中判断三角形形状，根据勾股定理算出各边长，可得出，即可判断出三角形为直角三角形． 【详解】解：由网格可得：，， ， ， 以为边的三角形的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 3、（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1），， 故答案为： （2）的面积 故答案为：5 （3）∵ ∴是直角三角形． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 【详解】连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 1．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是证明是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）水利是农业的命脉，开远民间历来重视兴修水利，坝区明代即已筑堰修渠，开通东沟、西沟，引泸江、南洞水灌溉农田，经历代不断修拓完善，成为城郊灌溉干渠．这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血，历经岁月磨砺、时光雕琢，成为最美的风景，在开远东沟的一侧有一个花卉基地，基地到东沟原有两个取水点，其中，为方便花卉基地取水，决定在东沟新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否为从花卉基地到东沟最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原来的路少多少米． 【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，见解答 (2)新路比原来的路少米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，在中根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ， ， ∴为直角三角形， ， ∴是从花卉基地到东沟最近的路； （2）设，则． ， ， ∴，即， 解得：． ， ， ， 即新路比原来的路少米． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，为旋转角，可利用的三边关系解答． 【详解】解：如图，    设小方格的边长为1，得 ， ∵ ∴ 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． ∴ 即旋转的角度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的旋转，涉及勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键利用勾股定理的逆定理求得． 1．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形底角为的性质，本题中求证是直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理可知，简单计算即可发现． 【详解】解：连接， 由勾股定理可得， 则， 故， 则是一个直角等腰三角形， 则， 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理的相关知识．如果直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；此知识点可作为直角三角形的性质，也可以利用它的逆定理作为直角三角形的判定定理；在解答本题时还用到等腰直角三角形的性质；等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，且其两个底角都等于 【详解】解：标注出图形中的点，连接 每个小正方形的边长为 ， 同理可得，， ，是等腰三角形 ，，， 是直角三角形 是等腰直角三角形 ， 故答案为： 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，根据勾股定理进行列式，即可作答． （2）先延长交格点于P，连接，然后根据勾股定理进行列式计算得，，得证为等腰直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； 故答案为： （2）解：延长交格点于P，连接，如图， 则，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 1．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形ABCD中，，，，，，四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为 ． 【答案】/96平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ． 【答案】东南方向或西北方向 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则(海里)，(海里)，海里，由勾股定理的逆定理，判定出，再由表示东北方向，即可得出表示的方向． 【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B， 由题意，得 (海里)， (海里)，海里， ， ， ， 表示东北方向， 表示东南方向或西北方向．如图， 故答案为：东南方向或西北方向． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形即可解答． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边为里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解. 1．（2020·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5 ∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2． 又∵a2＝b2+c2﹣bc， ∴a2＝1+4﹣2＝3， ∴或（舍） ∵， ∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：，，故是直角三角形，故选项A不符合题意； 设， ，故是直角三角形，故选项B不符合题意； ， ，故是直角三角形，故选项C不符合题意； ，故不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 2．（12-13八年级下·山东德州·期末）的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个， 故选：C． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线，判断是直角三角形解答的关键．先利用勾股定理及其逆定理判断是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，，即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据勾股定理的逆定理可得，从而得到，由作法得：垂直平分，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知三角形卡纸的三边长分别为，要将这张卡纸剪成两个三角形，且其中必须有一个三角形是等腰三角形，在用不同剪法剪得的这些等腰三角形中，腰长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理逆定理及等腰三角形的定义，直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意进行分类讨论是解题关键 【详解】解：如图所示，当为等腰三角形时， 腰长；    当为等腰三角形时， 腰长；    ∵三角形卡纸的三边长分别为， ∴， ∴为直角三角形， 当与都是等腰三角形时， 腰长；    ∴腰长的最小值为， 故选：B 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，边上的中线，那么 ， ． 【答案】 /90度 25 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 通过勾股定理逆定理可证明为直角三角形，然后证明，得即可． 【详解】解：如图， ∵是边的中线， ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，25． 7．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理的逆定理即勾股定理的应用，连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 11．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在中，，于D．设，，，，求证： (1)； (2)以，h，为边的三角形是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理、完全平方公式和面积法的应用，掌握此类问题的解题思路和方法是解题的关键． （1）将不等式两边的部分分别平方，然后结合勾股定理和三角形的面积公式进行证明； （2）利用勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】（1）∵设，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）由（1）得：， ∴． ∴以，h，为边的三角形是直角三角形． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．求：四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，在中，利用勾股定理可求出的长；由勾股定理的逆定理可证出是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴四边形的面积． 14．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）“海伦-秦九韶公式”如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 解决问题： (1)在中，已知，，，请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)勤于思考的小明同学认为（1）中的运算太繁，并想到了不同于（1）的解法，请你用小明的解法求（1）中的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查“海伦-秦九韶公式”，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的公式进行计算； （2）根据勾股定理逆定理证明，结合三角形公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ，，， ， ， ． 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 学科网（北京）股份有限公司 $$