1.一元函数的导数的几何意义及应用 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用 一、知识要点： （一）一元函数的导数的几何意义: 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． （二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算： 函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过某点的切线方程的计算： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以，然后解出的值（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法： 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． （四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： 1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． 2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． 3.曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别： 曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线； 曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． （五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 1.注意曲线上横坐标的取值范围； 2.谨记切点既在切线上又在曲线上。 二、题型： （一）求与导数的几何意义相关量 1．已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（     ） A．0 B．1 C． D． 2．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 3．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （二）切线方程 (Ⅰ) 在某点处的切线方程 1．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． (Ⅱ) 过某点的切线方程 1．(多选)过点作曲线的切线，则切线方程可能是（     ） A． B． C． D． 2.过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为(　　) A． B．1 C. D. (三) 公切线 1．斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 2．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 3．(多选题)若直线是曲线与曲线的公切线，则（     ） A． B． C． D． 4．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． (四)求参数 1．曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 2.已知为非零实数，直线与曲线相切，则______. 3.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数的取值为（ ） (五) 求与切线有关最值或范围问题 1．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．动直线l分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D. (六)导数的几何意义综合 1．已知 ，，直线与曲线相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 3．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用 一、知识要点： （一）一元函数的导数的几何意义: 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． （二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算： 函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过某点的切线方程的计算： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以，然后解出的值（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法： 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． （四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： 1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． 2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． 3.曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别： 曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线； 曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． （五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 1.注意曲线上横坐标的取值范围； 2.谨记切点既在切线上又在曲线上。 二、题型： （一）求与导数的几何意义相关量 1．已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（  A  ） A．0 B．1 C． D． 【详解】由图可知：过，所以， 又过，所以，即． 而，所以 故选：A． 2．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 3．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导后根据题意可得在上有解. 令，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式，求解即可. 【详解】对求导得， 当时，曲线不存在与直线垂直的切线， 当时，若曲线存在与直线垂直的切线， 只需在上有解. 令，求导得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，且当时，， 所以，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D. 4．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解. 解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． （二）切线方程 (Ⅰ) 在某点处的切线方程 1．已知函数，则的图象在处的切线方程为（  A  ） A． B． C． D． 【详解】由题意知， 所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即. 故选：A. 2．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. (Ⅱ) 过某点的切线方程 1．(多选题)过点作曲线的切线，则切线方程可能是（  BC  ） A． B． C． D． 【详解】. 当点是切点时，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：； 当点是不切点时，设切点为，即， 此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，把点代入得： ， ，解得：，或舍去， 所以切线方程为：，故选：BC 2.过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为(　　) A． B．1 C. D. 答案:B 解析:设切点为，切线为, 由，得，所以， 所以曲线在点处的切线的方程为， 又过点,所以，解得， 所以切点为，纵坐标为1. 故选：B. (三) 公切线 1．斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出. 【详解】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 2．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 3．(多选题)若直线是曲线与曲线的公切线，则（  BD  ） A． B． C． D． 【详解】令，则， 令，有，则， 即有，即，故， 令，则， 令，有，则， 即有，即， 故有，即. 故选：BD. 4．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 解：设直线与相切与点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切与点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. (四)求参数 1．曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据导数几何意义，求出在处的导数即可得解. 【详解】的导数为， 可得曲线在点处切线的斜率为，解得. 故答案为：1. 2.已知为非零实数，直线与曲线相切，则______. 答案： 解析:设切点坐标为，对函数求导得， 所以，解得，. 3.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数的取值为（ ） A．   B．    C．或    D．或 解析：因为，，所以曲线在点处的切线方程为，切线与坐标轴的交点分别为，， ，或 (五) 求与切线有关最值或范围问题 1．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数，求导，根据单调性求值域即可. 【详解】因为，所以所求切线方程为， 令，则， 令，则. 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为. 故选：B. 2．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 3．动直线l分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D. 答案：A 解析：设点是直线上任意一点，点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小， 因为直线的斜率等于2， 曲线的导数，令， 可得或 (舍去)， 故此时点的坐标为，. (六)导数的几何意义综合 1．已知 ，，直线与曲线相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到。利用基本不等式即可求解. 【详解】由于直线 与曲线 相切， 设切点为，且，所以， 则切点横坐标 ，则，即 . 所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1. 故选：D 2．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 3．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（  B  ） A． B． C． D． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 4．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（  A  ） A． B． C． D． 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 5．在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设切点，求导，切线方程，求出,,得到,构造函数求解最值. 【详解】设切点，，求导得，则切线方程， 由切线与轴、轴分别交于两点， 则,, 得到, 构造函数,， 求导， 令，， 所以，单调递增，，单调递减， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$