2.函数的单调性与导数 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(二) ---导数与函数的单调性 一、知识要点： （一）函数的单调性与导函数之间的关系： 设函数在某个区间内可导，则有： 1.该区间内为增函数； 2.该区间内为减函数； 3.若，则在这个区间内是常数函数． (二)方法总结： （Ⅰ）求可导函数单调区间的一般步骤： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； 第三步：把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； 第四步：确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. （Ⅱ）利用导数比较大小或解不等式的常用技巧： 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． （Ⅲ）利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 第一步：由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； 第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； 第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． （三）易错提醒： 1. 函数的单调性与导函数的值间的关系： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 2. 确定的函数的单调性时，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开。 二、题型： （一）函数与导数函数间的关系 1．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（    ） A． B． C． D． （二）研究函数的单调性： （Ⅰ）不含参函数的单调性： 1.函数的单调递减区间为________． 2.已知函数,判断函数的单调性． 思维升华：确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：1.不能漏掉求函数的定义域。 2.函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开。 （Ⅱ）含参数的函数的单调性： 1．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； (3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围. 2．已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 思维升华： 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点。 （三）函数单调性的应用： （Ⅰ）比较大小 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．(多选)定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．(多选)（2024湖北二模）已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 方法点睛： 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小。 （Ⅱ）解不等式 1．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.设定义域为的函数满足（是的导函数），则不等式的解集为 （Ⅲ）根据函数的单调性求参数 1.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________． 4．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．若，且，都有，则的最大值为 . 思维升华：由函数的单调性求参数的取值范围的方法： （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上 (或)恒成立。 （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集。 6. 设函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(二) ---导数与函数的单调性 一、知识要点： （一）函数的单调性与导函数之间的关系： 设函数在某个区间内可导，则有： 1.该区间内为增函数； 2.该区间内为减函数； 3.若，则在这个区间内是常数函数． (二)方法总结： （Ⅰ）求可导函数单调区间的一般步骤： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； 第三步：把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； 第四步：确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. （Ⅱ）利用导数比较大小或解不等式的常用技巧： 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． （Ⅲ）利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 第一步：由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； 第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； 第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． （三）易错提醒： 1. 函数的单调性与导函数的值间的关系： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 2. 确定的函数的单调性时，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开。 二、题型： （一）函数与导数函数间的关系 1．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（    ） A． B． C． D． 解：由图象可得， 当时，由得，在上单调递增， 当时，由得，在上单调递减， 当时，由得，在上单调递减， 综上，函数 的增区间为. 故选：B. （二）研究函数的单调性： （Ⅰ）不含参函数的单调性： 1.函数的单调递减区间为________． 答案: 解：的定义域为, 当时，， 当时，， ∴的单调递减区间为. 2.已知函数,判断函数的单调性． 解：因为， 所以． 令，则, 可得在上单调递减， 所以. 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 思维升华：确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：1.不能漏掉求函数的定义域。 2.函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开。 （Ⅱ）含参数的函数的单调性： 1．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； (3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线； （2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间； （3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围. 解：（1）时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. （2），函数定义域为R， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. （3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值. 于是，所以 当且时， 由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0， 因此，此时，符合题意. 所以的取值范围为. 2．已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 解：（1） ， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 若，则，若，则或. 即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点. 故． （2），， 当时，令，解得或，当，即时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以在上单调递减. 综上，当时，在上递减，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 思维升华： 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点。 （三）函数单调性的应用： （Ⅰ）比较大小 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（  A  ） A． B． C． D． 【分析】构造函数，求导判断其单调性即可． 解：令， ，令得，， 当时，，单调递增， ，，， ，，，故选：A． 2．(多选)定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，然后由单调性比较大小，从而判断各选项． 解：令，则． ∵在上恒成立，∴， 故在单调递增． 由，得，即，故A正确； 由，得，即，故B错误； 由，得，即，故C正确； 由得，即，故D错误． 故选：AC． 3．(多选)已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较. 解：设，则，在单调递增， 所以，即，即，A正确； 令，，则，而，所以，B不正确； 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则在时取得最小值，即，C正确； 设，则，所以在上是增函数， 所以由得，即，D正确. 故选：ACD 方法点睛：利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小。 （Ⅱ）解不等式 1．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 解：不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 3．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 解：令，则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递增， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 4.设定义域为的函数满足（是的导函数），则不等式的解集为 解：构造函数,则 ，，即函数在定义域上单调递增 ， ，即 ，解得, 所以不等式的解集为 （Ⅲ）根据函数的单调性求参数 1.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【分析】求出函数的导数，由求出的范围即可. 解：函数，求导得， 由在上单调递增，得，当时，， 因此，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 于是，则，即， 所以实数的取值范围是. 故选：B 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 解：由题意， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立，即， 令，则， 又，所以，所以在为减函数， 所以， 所以，即实数a的最大值是. 故选：C 3.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________． 【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围． 解：，则， 函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 又，则， 所以在区间上有解， 所以，，令，， 则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是． 4．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可. 解： 所以时递减， 时，递增，是极值点， 因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数， 所以，即， 故选：B. 5．若，且，都有，则的最大值为 . 【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调性，即可得出实数的取值范围，即可得解. 解：由题意可知，均为正数， 因为，由，所以，， 令，，则， 由于， 可得时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，，则，即实数的最大值为1. 点睛：适当变形不等式，构造函数证明不等式恒成立时参数的范围. 思维升华：由函数的单调性求参数的取值范围的方法： （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上 (或)恒成立。 （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集。 6．设函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由导数与函数单调性的关系求解， （2）构造函数，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解， 解：（1），所以. 当时，，函数在函数上单调递减. 当时，若，若， 在上单调递增，在上单调递减. （2）由，即恒成立， 设， 由题意知时，， 故当时函数单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 记，得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，故， 又，则，的取值范围是． 结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$