3.函数的极值、最值与导数 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(三) ---函数的极值、最值与导数 一、知识要点： （一）函数的极值： 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称为极值，称为极值点。 (二)极值与最值关系： 函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得，极值最值。 函数在区间上的最大值为极大值和 、中最大的一个；最小值为极小值和 、中最小的一个。 函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） ③极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 ④当时，函数有极值。但是不能得到当时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。 1.函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； 2.函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； 3.函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 （二）方法总结： （Ⅰ）求可导函数极值的一般步骤: 第一步：先确定函数的定义域； 第二步：求导数； 第三步：求方程的根； 第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． （Ⅱ）求可导函数在闭区间上的最值方法： 第一步：求在区间内的极值； 第二步：比较的极值与、的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 （三）易错提醒： 1.与为极值点的关系： ①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧的符号异号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点。另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 2.极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 二、题型： （Ⅰ）根据函数图象判断极值（极值点） 1．已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(多选题)已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 （Ⅱ）求函数的极值（极值点） （ⅰ）求不含参函数的极值（极值点） 1．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．(多选题)已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 （ⅱ）求含参函数的极值（极值点） 1.已知函数，为自然对数的底数，求函数的极值． （Ⅲ）已知极值(点)求参数 1．已知是函数的一个极值点，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 3．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知在处的极大值为5，则（ ） A． B．6 C．或6 D．或2 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 7.（多选题）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（     ） A．0 B．1 C． D．2 8．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_______。 9．已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 思维升华：根据函数的极值(点)求参数的两个要领： (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． （二）利用导数求解函数的最值问题： （Ⅰ）求函数的最值 （ⅰ）求不含参函数的最值 1．已知函数，，则下列说法正确的是(　　) A．函数的最小值为3 B．函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 2．(多选题)对于函数，下列说法正确的有（     ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 3．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求函数在上的最值. 4．已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . （ⅱ）求含参函数的最值 1.已知函数. （1）求f(x)在区间上的最值； （2）若过点可作曲线的3条切线，求实数a的取值范围. （Ⅱ）已知最值(点)求参数： 1.已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 2．若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知，若对任意都有，则实数t的取值范围是 ． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围． 5．已知，函数，． (1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标； (2)若与有相同的最小值，求实数a． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(三) ---函数的极值、最值与导数 一、知识要点： （一）函数的极值： 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称为极值，称为极值点。 (二)极值与最值关系： 函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得，极值最值。 函数在区间上的最大值为极大值和 、中最大的一个；最小值为极小值和 、中最小的一个。 函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） ③极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 ④当时，函数有极值。但是不能得到当时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。 1.函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； 2.函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； 3.函数的最值必在极值点或区间端点处取得。 （二）方法总结： （Ⅰ）求可导函数极值的一般步骤: 第一步：先确定函数的定义域； 第二步：求导数； 第三步：求方程的根； 第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． （Ⅱ）求可导函数在闭区间上的最值方法： 第一步：求在区间内的极值； 第二步：比较的极值与、的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 （三）易错提醒： 1.与为极值点的关系： ①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧的符号异号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点。另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 2.极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 二、题型： （Ⅰ）根据函数图象判断极值（极值点） 1.已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（  A  ） A．1 B．2 C．3 D．4 解:根据导函数的图象可知，有三个变号零点， 则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减， 所以函数的极小值点的个数为1个.故选：A 2．(多选题)已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（  BC  ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确； 且函数在处取得极大值，故C正确； 虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误； 故选：BC. （Ⅱ）求函数的极值（极值点） （ⅰ）求不含参函数的极值（极值点） 1．函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值. 【详解】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导函数零点，进而可知的单调性，然后可解. 2．(多选题)已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【详解】由， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 又，，，， ，所以函数在有且仅有一个零点， 同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点， 即函数共有3个零点，故B正确； 由前面得在上值域为，故C错误； 设，，， 所以函数是奇函数，图象关于对称， 又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. （ⅱ）求含参函数的极值（极值点） 1.已知函数，为自然对数的底数，求函数的极值． 解:因为，所以， 当时，，单调递增，函数无极值． 当时，令，得，解得； 易知若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值． （Ⅲ）已知极值(点)求参数 1．已知是函数的一个极值点，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据极值点的定义求解即可. 【详解】据题意，应是的一个变号零点， 由于，所以，解得， 当时，时，，当时，，符合题意. 故选：C. 2．已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 【详解】（1） ， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 若，则，若，则或. 即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点. 故． （2），， 当时，令，解得或，当，即时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以在上单调递减. 综上，当时，在上递减，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 3．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 故选：A. 4．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为或，再分类讨论，确定原函数的单调区间，结合极小值的定义，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为，则函数的定义域为， 则， 令，解得：或， 当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去； 当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去； 当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意. 故选：C. 5．已知在处的极大值为5，则（ ） A． B．6 C．或6 D．或2 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 7.（多选题）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（   BC ） A．0 B．1 C． D．2 【分析】利用函数极值的定义以及零点存在性定理得出结果. 【详解】由题意知，在上有变号零点， 又易知在上单调递减，故， 可得解得. 故选：BC. 8．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_______。 解：由题意得，函数的导数为在内有零点， 且，． 即且． ∴， 故答案为：． 9．已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】首先求函数的导数，利用参变分离得，再构造函数，利用导数分析函数的图象，转化函数的交点问题，即可求解. 【详解】，令，得， 设，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 当时，的最大值为， 并且时，，时，， 如图，画出函数的图象， 因为函数只有一个极值点，即与只有一个交点，且， 所以. 故选：A 10．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数在上有两个极值点， 所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得， 令，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数在上图象， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知， 当或时，，此时， 当时，，此时， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查极值点问题.根据题意函数在上有两个极值点，转化为在上有两个变号零点，即，即有两个不同的根，即直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可判断求解. 思维升华：根据函数的极值(点)求参数的两个要领： (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． （二）利用导数求解函数的最值问题： （Ⅰ）求函数的最值 （ⅰ）求不含参函数的最值 1．已知函数，，则下列说法正确的是(　　) A．函数的最小值为3 B．函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 答案：AD 解析：∵，， ∴， 令，解得；令，解得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值，为， 而，，则， 故的最大值为. 故选AD 2．(多选题)对于函数，下列说法正确的有（     ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 3．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果； （2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果. 【详解】（1）由函数，可得， 可得，且，所以切线的斜率为，切点为， 则所求切线方程为. （2）由（1），当时，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而，，， 故所求最大值为，最小值为. 4．已知函数，，若，则的最小值为（  C  ） A． B． C． D． 【分析】由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，则， 所以，令，则， 令，函数单调递减， 令，函数单调递增， 所以， 即的最小值为.故选：C 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意得，所以构造函数求导即可进一步求解. 【详解】已知正数满足，则， 令，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，也就是说的最小值为. 故选：B. 6．若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. （ⅱ）求含参函数的最值 1.已知函数. （1）求f(x)在区间上的最值； （2）若过点可作曲线的3条切线，求实数a的取值范围. 解析：（1）∵， ， 由解得或， 由解得， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， ∴的最大值是，最小值是； （2）设切点，则， 则切线为， ∴ 整理得， 由题意知此方程应有3个解， 令， 则， 由解得或，由解得， ∴ 函数在，上单调递增，在上单调递减， ∴ 当时，有极大值，且极大值为， 当时，有极小值，且极小值为； 要使得方程有3个根， 则，解得， ∴ 实数a的取值范围为． （Ⅱ）已知最值(点)求参数： 1.已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（  D  ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可. 【详解】由题意可知：， 所以当时，则在上单调递增， 所以. 故选：D. 2．若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（  B  ） A． B． C． D． 【分析】求出的单调性，结合即可求解. 【详解】，令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 而，所以函数在区间上的最小值为， 必有，即. 故选：B 3．已知，若对任意都有，则实数t的取值范围是 ． 【分析】对求导，求出的最值，由任意，,，都有，可得，再求出的范围即可． 【详解】由，得， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调减，在上单调增， 所以， 所以， 因为对任意，，都有， 所以只需， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围． 【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出导数，分三种情况讨论的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则，， 所以曲线在点处切线的方程为. （2）当时，，， 令，得或， 当即时，对，，即函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 当即时，，，即函数在上单调递减， 所以函数在上无最小值，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 5．已知，函数，． (1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标； (2)若与有相同的最小值，求实数a． 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标； （2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点． 【详解】（1）由题意，，由得，此时， 所以切点为； （2），时，，在上是增函数，无最小值，所以， ， 时，，递减，时，，递增， 所以有唯一的极小值也是最小值， ，， ，，递减，时，，递增， 所以有唯一的极小值也是最小值为， 由题意，， 设，则， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，是减函数， 又，因此是的唯一零点， 所以由得． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$