4.函数的零点、方程的根与导数 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(四) ---函数的零点与导数 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或求参数的范围。高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为压轴题出现。 题型： (一)数形结合研究函数的零点 1.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的零点个数． 2. 若函数在上存在两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 4．已知函数. (1)求的极值： (2)若有两个零点，求a的取值范围. 5．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数与的图象恰有一对点关于对称，求实数的取值范围. 思维升华：含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数． （二）利用函数性质研究函数零点 1．函数的零点个数为（　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知函数为常数,)是上的奇函数. （1）求的值; （2）讨论关于的方程的根的个数. 3．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)讨论的零点个数． 4．已知函数在上有零点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D. 5. 已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是_______ . 6．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值 (2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围. 思维升华： 1．涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围． 2．解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． (三)构造函数法研究函数的零点 1．若方程在上有实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 3. 已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 结论拓展：与和相关的常见同构模型： ①，构造函数或 ②，构造函数或 ③，构造函数或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(四) ---函数的零点与导数 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或求参数的范围。高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为压轴题出现。 题型： (一)数形结合研究函数的零点 1.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的零点个数． 解：(1) ，定义域为，且， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2)令，得， 当时，无解，∴无零点， 当时，， 令，，∴， 当时，,当时，; ∴在上单调递增，在上单调递减，且， 又时，， 时，， ∴的图象如图所示． 当，即时，无零点； 当，即时，有一个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点． 综上所述，当时，无零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． 2.若函数在上存在两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【分析】令，零点问题转化为在上存在两个交点，构造新函数，利用导数研究函数的图象，数形结合. 【详解】令，则在上存在两个交点， 令，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以，又， 与的图象如图所示： 所以， 故选：B. 3．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即， 令则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 4．已知函数. (1)求的极值： (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 令，解得， 当时，则，当时，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以当时，有极小值，无极大值. （2）因为函数有两个零点， 所以直线与函数有两个交点， ，令，解得， 当时，则，当时，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为，，当时，，当时， 当时，，当时，，， 所以函数的大致图象如图所示， 结合图象可知，当时，有两个零点，故a的取值范围为. 5．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数与的图象恰有一对点关于对称，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论单调性； （2）法一：分离参数，转化为与曲线恰有1个公共点，设新函数求导判单调性求最值即可求解. 法二：将问题转化为直线与曲线恰有1个公共点，根据图象找出a的范围. 【详解】（1）由已知得：， ①当时，在定义域上单调递增； ②当时，由，得， 当，则在上单调递减， 当，在上单调递增. （2）若函数与的图象恰有1对点关于点对称，则方程， 即，即恰有1个解， 法一：显然，所以恰有1个解. 令，则直线与曲线恰有1个公共点. 由，得： 当时，单调递减，且， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 极小值，且当且时， 故由直线与曲线恰有1个公共点，得实数的取值范围是. 法二：由恰有1个解，得直线与曲线恰有1个公共点. 易知直线过定点，作出直线与曲线， 由图象知，当直线斜率或直线与曲线相切时满足条件. 设直线与曲线相切于点， 由得 ，则，解得， 故实数的取值范围是. 【点睛】分离参数法和切线找临界值解决零点问题是本题关键，注意定义域. 思维升华：含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数． （二）利用函数性质研究函数零点 1．函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】， 令，则， 令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取最小值， 又，， 所以=0在上各有一解，所以有两个零点， 故选：B. 2. 已知函数为常数,)是上的奇函数. （1）求的值; （2）讨论关于的方程的根的个数. 解:(1)由是的奇函数,则， 从而可求得. (2) 由, 令,则, 当时, 在上为增函数; 当时, 在上为减函数; 当时, 而,结合函数图象可知: 当,即时,方程无解; 当,即时,方程有一个根; 当,即时,方程有两个根. 3．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减；极大值，无极小值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据的正负性，结合导数的性质、函数零点存在原理分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题设，，． 令，解得；令，解得． 所以，在单调递增，在单调递减． 当时，有极大值；无极小值． （2）． 当时，． 令，则． 因为，所以． 又因为，所以，在单调递减． ， ． 所以在上存在唯一零点． 当时，． 由（1）知，，当且仅当时，“”成立． 令，，则． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，即，当且仅当时，“”成立． 所以，当且仅当且时，“”成立． 所以，当时，存在唯一零点；当且时，不存在零点． 综上，当或时，存在唯一零点；当且时，不存在零点． 4．已知函数在上有零点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D. 答案:C 解析：由函数在上存在零点可知，有解， 设， 则， 当，，单调递减； 当时，，单调递增． 则时，取得最小值，且， 所以的取值范围是． 5. 已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是_______. 【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， 所以时有两解，即有两解， 所以有两解， 令，则， 所以当时，，函数单调递减; 当时，，函数单调递增， 所以在处取得极大值，， 且时，的值域为; 时，的值域为， 因此有两解时，实数的取值范围为. 故答案为: 6．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【详解】（1），则，又， 所以的切线方程为； （2）， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间和极值 (2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大 (2) 【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由得，且定义域为 ∵，令，即，解得， 令，解得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 在处的极小值为，无极大值. （2）当，恒成立，在上单调递增， 故在区间内至多只有一个零点； 当时，由（1）得在上最小值为， 若在区间内恰有两个零点，则需满足，整理得. 思维升华： 1．涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围． 2．解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． (三)构造函数法研究函数的零点 1．若方程在上有实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简得到，设，得到，求得，得到为增函数，转化为方程在上有实根，设，利用导数求得函数的单调性，结合，进而求得的范围. 解析：由，可得，即， 因为，可得，所以，其中， 设，则， 又因为，所以在上为增函数， 所以，即， 所以问题转化为方程在上有实根， 设（），则，所以在上是减函数， 所以，解得． 故选：C． 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分，，，四种情况讨论，分别求出对应单调性． （2）运用同构和换元，再通过分离参数求出实数的取值范围. 解：（1）由题意函数的定义域为． 当时，若，则单调递增； 若，则单调递减． 当时，令，得或． ①当时，，则在上单调递增． ②当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． ③当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由，得，即． 设，则， 所以为增函数，且的值域为． 令， 所以可化为，则． 令． 因为关于的方程有两个实数根， 所以直线与函数的图像有两个不同的交点． 因为， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． 所以，且当时，， 当时，， 所以， 即实数的取值范围为． 3. 已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）. 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）, 设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. 结论拓展：与和相关的常见同构模型： ①，构造函数或 ②，构造函数或 ③，构造函数或 2 学科网（北京）股份有限公司 $$