5.不等式恒成立与导数 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(五) ---不等式恒(能)成立与导数 不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大． 一、知识要点： 1.单变量不等式恒成立问题的基本类型： ①任意，使得，只需. ②任意，使得，只需. ③任意，使得，只需. ④任意，使得，只需. ⑤任意，使得，只需. ⑥任意，使得，只需. 2.双变量不等式恒成立问题的基本类型： ①对于任意的，总存在，使得； ②对于任意的，总存在，使得； ③若存在，对于任意的，使得； ④若存在，对于任意的，使得； ⑤对于任意的，使得； ⑥对于任意的，使得； ⑦若存在，总存在，使得 ⑧若存在，总存在，使得 二、题型： （一）分离参数法求参数范围 1．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 2. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D．4 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数 C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是 点睛：如果分离参数后，函数最值点恰好是函数的“断点”，符合洛必达法则可处理，（主要是型）等，可以考虑使用洛必达法则求解。 4. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，都有，求的取值范围． 6.已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 思维升华：分离参数法解决恒(能)成立问题的策略： (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2) 恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. （二）等价转化求参数范围 1. 设，其中． （1）若有极值，求的取值范围； （2）若当，恒成立，求的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 思维升华：将不等式恒成立求参数范围问题转化为函数最值问题，然后利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围。如恒成立，则，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围。 （三）构造函数法求参数范围 1．设，函数，． (1)若，求的最小值与的最大值； (2)若在上恒成立，求． 2.已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）当时，证明：对恒成立. 思维升华：遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或“右减左”的函数，进而只需满足或，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． （四）最值定位法解决双参不等式恒成立问题 1．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．已知，若对任意都有，则实数t的取值范围是 ． 3.设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称． (1)若，求x的值． (2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围． 4.已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 思维升华：最值定位法解双参不等式恒成立问题的思路： ①通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． ②有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(五) ---不等式恒(能)成立与导数 不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大． 一、知识要点： 1.单变量不等式恒成立问题的基本类型： ①任意，使得，只需. ②任意，使得，只需. ③任意，使得，只需. ④任意，使得，只需. ⑤任意，使得，只需. ⑥任意，使得，只需. 2.双变量不等式恒成立问题的基本类型： ①对于任意的，总存在，使得； ②对于任意的，总存在，使得； ③若存在，对于任意的，使得； ④若存在，对于任意的，使得； ⑤对于任意的，使得； ⑥对于任意的，使得； ⑦若存在，总存在，使得 ⑧若存在，总存在，使得 二、题型： （一）分离参数法求参数范围 1．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可。 【详解】因为，， 所以，即， 设，， 令，，即在上单调递增， 令，，即在上单调递减， 则， 所以，解得. 故答案为：. 2. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D．4 略解：对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，令 故， 故在上单调递减，在上单调递增 ，所以的最大值为4 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数 C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是 【答案】BD 【分析】根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确. 【详解】的定义域为R，，是奇函数， 但是， 不是周期为的函数，故选项A错误； 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递增， 且在连续，故在单调递增，故选项B正确； 当时，，， 令得，， 当时，，， 令得，, 因此，在内有20个极值点，故选项C错误； 当时，，则， 当时，， 设，， 令， ，单调递增， ，，在单调递增， 又由洛必达法则知： 当时，， 故答案D正确. 故选：BD. 点睛：如果分离参数后，函数最值点恰好是函数的“断点”，符合洛必达法则可处理，（主要是型）等，可以考虑使用洛必达法则求解。 4. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用参变分离转化为在的恒成立问题，再利用导函数研究的最小值，结合函数同构法得到，结合函数单调性，得到最小值，进而求出a的取值范围. 【详解】由题在上恒成立， 即在上恒成立； 设，则有； 令，得，即. 由于在上是增函数，则存在，使得， 即，此时. 由于当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数， 所以当时，， 则有，故， 故选：B. 5．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 因为， 所以，曲线在处的切线方程是，即． （2）因为，都有，所以． 设，则． 记，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以在上单调递减． 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，． 6.已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 解:(1)当时，，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值． 即的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值． (2)因为在上有解， 所以在上有解， 当时，不等式成立，此时， 当时，不等式等价于在上有解， 令， 则， 由(1)知当时，，即， 所以当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 思维升华：分离参数法解决恒(能)成立问题的策略： (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2) 恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. （二）等价转化求参数范围 1. 设，其中． （1）若有极值，求的取值范围； （2）若当，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】(1)本题首先可以根据函数解析式求出函数的导函数，然后根据题意即可得知函数的导函数所对应的方程有两个实数根，即，最后通过计算，即可得出结果； (2)本题可以对函数分别在区间、以及内进行讨论，并得出函数在每个区间下的单调性以及最小值，并通过最小值大于即可列出算式并得出结果． 【详解】（1）由题意可知：，且有极值， 则有两个不同的实数根，故， 解得：，即． （2）由于，恒成立，则，即， 由于，则 ①当时，在处取得极大值、在处取得极小值， 当时，为增函数，因为，所以恒大于， 当时，，解得：； ②当时，，即在上单调递增，且， 则恒成立； ③当时，在处取得极大值、在处取得极小值， 当时，为增函数，因为，所以恒大于， 当时，，解得， 综上所述，的取值范围是． 2．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 思维升华：将不等式恒成立求参数范围问题转化为函数最值问题，然后利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围。如恒成立，则，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围。 （三）构造函数法求参数范围 1．设，函数，． (1)若，求的最小值与的最大值； (2)若在上恒成立，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求导，再利用导数分别求出最值即可； （2）令，则在上恒成立，只要恒成立，分类讨论，利用导数求出的最小值即可得解. 【详解】（1）若，，， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， ，当时，，当时，， 所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以； （2）令，则在上恒成立， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，而， 所以当时，在上不恒成立， 当时，若，则， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 综上，只需，得， 综上所述，. 2.已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）当时，证明：对恒成立. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，先由求出的值，再由求出的值， （2）要证对恒成立，只需证对恒成立，所以构造函数（），然后利用导数求出其最大值小于零即可 【详解】（1）解：因为， 所以，解得， 则，解得. （2）证明：因为，所以要证对恒成立， 只需证对恒成立. 设函数（）， 则. 因为，所以，所以在上单调递减， 从而，则对恒成立， 故当时，对恒成立. 思维升华：遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或“右减左”的函数，进而只需满足或，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． （四）最值定位法解决双参不等式恒成立问题 1．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：由题意知， 因为，， 所以，即， 故选A. 2．已知，若对任意都有，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对求导，求出的最值，由任意，,，都有，可得，再求出的范围即可． 【详解】由，得， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调减，在上单调增， 所以， 所以， 因为对任意，，都有， 所以只需， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 3.设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称． (1)若，求x的值． (2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，从而列出方程，求出； （2）问题转化为在上的最小值大于等于在上的最大值，利用导函数求出的单调性和最小值，配方求出的最大值，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，则，即， 解得：或（舍去），所以； （2），，对任意，，都有恒成立， 则只需在上的最小值大于等于在上的最大值， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最小值，， ，， 当时，取得最大值，， 所以，故. 则实数的取值范围. 4.已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)答案见解析；(3). 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分与，求解函数的单调区间； （3）将问题转化为，配方求出，在第二问基础上，求出不合题意，当时，，列出不等式，求出a的取值范围. 解：（1）时，，， 故，， 故切线方程是：，整理得：. （2）的定义域为， 求导函数可得 当时，由于，故，，所以的单调递增区间为； 当时，由，得 在区间上，；在区间上，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知转化为 ，，， 由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意． 或者举出反例：存在，故不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以，所以，解得：， 所以a的取值范围为. 思维升华：最值定位法解双参不等式恒成立问题的思路： ①通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． ②有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范围． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$