6.不等式证明与导数 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(六) ---不等式证明与导数 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果． 题型： 一、单变量不等式的证明： （一）构造函数法证明不等式： （Ⅰ）作差法构造函数证明不等式： 1．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若时，证明：当时，恒成立。 2．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中. (1)求的值和的方程； (2)证明：当时，. 3.已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 思维升华:待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （Ⅱ）拆分法构造函数证明不等式： 1.设函数，曲线在点处切线的斜率为0. (1)求的值； (2)求证：当时，. 2．设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 思维升华:待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （二）最值法证明不等式： 1.已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 2. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明. 思维升华:若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。本例中同时含与，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． （三）放缩法证明不等式： 1.已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)证明：当时，. 点睛：对于函数中含有和与其他代数式结合的问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下： ①，当且仅当时取等号． ②，当且仅当时取等号． 2.已知函数 (1)求的最大值； (2)求证： 3．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 二、双变量不等式的证明： (一) 利用双变量的关系转化为单变量 1．已知函数． （1）若，求方程的解； （2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． 2．设函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，设极大值点为，为的零点，求证：． （二）构造函数法： 1．已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，且，当时，证明：． 2．已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 3．设函数. (1)求的单调区间； (2)若正数满足，证明：. 思维升华：证明双变量函数不等式的常见思路： (1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式． (2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式． （三）放缩法： 1. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，其中． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(六) ---不等式证明与导数 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果． 题型： 一、单变量不等式的证明： （一）构造函数法证明不等式： （Ⅰ）作差法构造函数证明不等式： 1．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若时，证明：当时，恒成立。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 解:（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中. (1)求的值和的方程； (2)证明：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程； （2），求导，根据单调性求出最值即可. 解:（1）由已知 因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得，又 所以切线方程为，即； （2）令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 整理得， 所以，即. 3.已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 【答案】（1）极大值为 ，没有极小值；（2）证明见详解. 【分析】（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （2）构造函数，证明函数在时恒成立. 解:（1），, 当时,；当时, 当变化时,的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值. （2）令函数, 由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减. 又 故在存在唯一零点. 设为,则 当时,；当时,, 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减 又，所以，当时,. 故. 思维升华:待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （Ⅱ）拆分法构造函数证明不等式： 1.设函数，曲线在点处切线的斜率为0. (1)求的值； (2)求证：当时，. 解:(1) ， 由题意，可得，所以. (2)证明：由(1)得， 要证当时，， 只需证当时，，即. 令，， 令，得， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故当时，. 因为，当时，， 所以在上单调递增， 故当时，， 即. 故当时，， 即当时，. 2．设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 解:（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 当 时，要证， ， ， 即证，化简得； 同理，当时，要证， ， ， 即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. 思维升华:待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． （二）最值法证明不等式： 1.已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立. 解:（1），，， 故曲线在点处的切线方程为. 即． （2）设， 则 ． 由（1）知，又， 所以，所以在上单调递增，故， 所以，，． 2. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明. 解: (1)函数的定义域为， ∵， ∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增； 当时， 由，得， 由，得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在上单调递减． (2)证明:证明，只需证明， 由(1)知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴. 令，则， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴， ∴当，时，. 思维升华:若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。本例中同时含与，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． （三）放缩法证明不等式： 1.已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)证明：当时，. (1)解：当时，， ，，又， ∴切点为． ∴切线方程为，即. (2)证明　∵，∴， ∴. 方法一：令， ∴， 令，∴， ∴在上单调递增，又， ∴当时，； 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴， ∴，即. 方法二.令，∴. 当时，； 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 故，当且仅当时取“”． 同理可证， 当且仅当时取“”． 由(当且仅当时取“”)， 由 (当且仅当时取“”)， ∴， 即， 即 (当且仅当时取“”)， 即. 思维升华：对于函数中含有和与其他代数式结合的问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下： ①，当且仅当时取等号． ②，当且仅当时取等号． 2.已知函数 (1)求的最大值； (2)求证： 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值； （2）由（1）可得，即可得到，再根据不等式的性质、等差数列求和公式以及对数的运算性质计算可得. 解:（1）因为定义域为，所以， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在时，取得最大值，即. （2）证明：当，时， 不等式左边， 不等式右边， 因此只需证明：， 由（1）知，在时，取得最大值， ∴在恒成立， ∴（当且仅当时取等号）， ∴，（当且仅当时取等号），又，， 所以，，，，， ∴以上各式相加得：， ∴得证. 3．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 解:（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 二、双变量不等式的证明： (一) 利用双变量的关系转化为单变量 1．已知函数． （1）若，求方程的解； （2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． 解:（1）当时， 由方程得， 设，则 由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故方程的解为. （2）令，得， 设，故在单调递增，在单调递减，，当时，当时， 若有两个零点，则， 故，， 令，得， 设，则，故在单调递增，在单调递减，，当时，当时， 若有两个极值点，则， 综上，. 不妨令，因为且， 由与图象得， 由为的两根得， 两式分别乘并整理得， 所以， 要证， 即证， 即证， 由于，所以 ，只需证， 即证，（）， 令，（），当时，， 所以在上单调递减， 所以，故，得证. 2．设函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，设极大值点为，为的零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导得，对分类讨论，求出和的解，得出函数单调区间； （2）分和两种情况讨论，时，易得零点为0，直接比较即可，时，，再由，可得，再结合基本不等式即可证明. 解:（1）， 当时，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 所以时，或， 时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时， ， 所以在上单调递增； 当时，令，解得或， 所以时， 或， 时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点， 由为的零点，则，则，故， 若，由（1）可知，则； 若，则，故,化简得 即，又，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故，当且仅当时取等号， 综上所述，恒成立． （二）构造函数法： 1．已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，且，当时，证明：． 解:（1）当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点． （2）由（1）中知，则是方程的两根，不妨令，则，令解得，所以在单调递减，在单调递增，大致图像如图所示，由图像可知当时，，，下先证（*） 由，两边取对数得，作差得， （*）等价于证明， 令，， 故在上单调递增，从而，即证得，所以， 再证明，令， 故在上单调递减，则， 所以，再令， ，则在上单调递增， 故，即证得． 2．已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【答案】(1) (2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 解:（1） [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握。 3．设函数. (1)求的单调区间； (2)若正数满足，证明：. 解:（1）的定义域是，. 令，解得；令，解得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增. （2）证明：因为，所以. 设，定义域为，则， 当时，.单调递增；当时，，单调递减. 因此，所以对任意的恒成立. 令，有 ，当且仅当时，等号成立. 因此，即，解得，即. 思维升华：证明双变量函数不等式的常见思路： (1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式． (2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式． （三）放缩法： 1.已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个零点，其中． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 解:（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）（ⅰ），，， 则除1外还有两个零点，， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，除1外还有两个零点，则不单调，所以存在两个零点， 所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，，所以． 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且，所以存在，， 使得，即有3个零点 ，，． 综上，实数的取值范围为． （ⅱ）证明：因为， 所以若，则，所以． 欲证， 代入可得， 只需证明：时，， 构造函数证明. 当时，先证明不等式恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立． 由，可得， 因为，所以，即， 两边同除以，得， 即， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$