7.函数中的构造问题 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(七) ---函数中的构造问题 一、导数型构造函数 （一）利用与构造函数 1．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数在上满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. （二）利用与构造函数 1．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 2.设定义域为的函数满足（是的导函数），则不等式的解集为 （三）利用与，构造函数 1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为(　　) A. B. C. D. 思维升华:函数与，相结合构造可导函数的几种常见形式 ，； ，； ，； ，. 二、同构法构造函数 （一）单调性同构. 1．若，且，都有，则的最大值为 . 2.对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为 （二）结构同构 主要原理：若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换. 1. 若，则(　　) A． B． C． D． 2.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ） A． B． C． D． 3.已知，若在上存在使得不等式成立，则的最小值为______． 思维升华:指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将变成然后构造函数；另一种是将变成然后构造函数． 4． (多选)若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D．2 5.设函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 6.已知函数． （1）若,求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，，则． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(七) ---函数中的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数在解答题中时有出现。通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，可以解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型： 一、导数型构造函数 （一）利用与构造函数 1．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 2.已知函数在上满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为函数在上满足，所以函数是偶函数， 令，则是奇函数，， 由题意知，当时，成立，所以在上单调递减， 又是奇函数，所以在上单调递减， 因为,，， 所以， 又，，， 所以. 故选B． 3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察，可考虑构造函数，求得的奇偶性，再由时，的单调性确定整个增减性，由与的正负反推正负即可求解. 解：设，则，∵当时，， ∴当时，，即在上单调递减. 由于是奇函数，所以，是偶函数， 所以在上单调递增. 又， 当或时，； 当或时，， 所以当或时，. 即不等式的解集为. 故选：B. 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【分析】构造函数，求导判断其单调性即可． 【详解】令， ，令得，， 当时，，单调递增， ，，， ，，， 故选：A． 5. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数，所以． 故不等式的解集为. 故选：B. （二）利用与构造函数 1． 已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 2.设定义域为的函数满足（是的导函数），则不等式的解集为 略解：构造函数,则 ，，即函数在定义域上单调递增 ，，即 ，解得, 所以不等式的解集为 （三）利用与，构造函数 1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为(　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:因为偶函数的定义域为， 所以设，则， 即也是偶函数． 当时，根据题意， 则在上单调递减，且为偶函数， 则在上单调递增． 所以， 所以 解得. 思维升华:函数与，相结合构造可导函数的几种常见形式 ，； ，； ，； ，. 二、同构法构造函数 （一）单调性同构. 1．若，且，都有，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调性，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可知，、均为正数， 因为，由， 所以，， 令，，则， 由于， 可得时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，，则，即实数的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】思路点精：适当变形不等式，构造函数证明不等式恒成立时参数的范围. 2. 对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为 解：由两边同时除以得： ，即 设，则在上是增函数， 则在上恒成立，即在上恒成立 即在上恒成立， 设，而， （二）结构同构 主要原理：若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换. 1. 若，则(　　) A． B． C． D． 答案:B 解析:由指数和对数的运算性质可得. 令， 则在上单调递增， 又∵， ∴， 即，∴. 2.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ） A． B． C． D． 解析：由，可得，即， 设，可得，因为，可得， 又因为，所以，即，所以， 当时，，可得函数在为单调递增函数， 所以，即. 故选B. 3.已知，若在上存在使得不等式成立，则的最小值为______． 答案: 解析:∵，∴不等式即为， ∵且，∴，设，则， 故在上单调递增， ∴，即， 即存在，使，∴， 设，则，当时，； 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴. 故的最小值为. 思维升华:指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将变成然后构造函数；另一种是将变成然后构造函数． 4．若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可. 【详解】由得， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，当时，恒成立， 所以的图象如下： ， ，即，， 对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误； 对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确； 对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确； 对于D：当时，，又， 因为，且，即， 所以，即， 根据图象可得恒成立，D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题. 5.设函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由导数与函数单调性的关系求解， （2）构造函数，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解， 解：（1），所以. 当时，，函数在函数上单调递减. 当时，若，若， 在上单调递增，在上单调递减. （2）由，即恒成立， 设， 由题意知时，， 故当时函数单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 记，得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，故， 又，则，的取值范围是． 6.已知函数． （1）若,求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，，则． 解析：（1）， 令，则，于是. 于是等价于在上恒成立， 故. （2）由（1）知要使得有两个零点， 假设.要证明即证明， 又由于在单增， 即证明. 下面构造函数 由于， 又函数在单减， . 时在单调递增， 而 得证． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$