8.隐零点与极值点偏移问题 讲义——2025届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用(八) ---隐零点与极值点偏移问题 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大． 题型: 一、隐零点 1．已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 2.已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 3．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 思维升华:隐零点问题求解三步曲: (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 二、极值点偏移 （一）消参减元 1．设函数. (1)求的单调区间； (2)若正数满足，证明：. 2．已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 3. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在有两个极值点，求证：． （二）对称变换 1.已知函数，如果，且，证明:. 2．已知函数． （1）求函数的图象在点，处的切线方程； （2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：． （三）比(差)值换元 1.已知，．若有两个零点，，且，求证：（为自然对数的底数）． 2．已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点且，求证：． 3．设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若是函数的两个零点，且，求的最小值. （四）对数均值不等式 1.已知函数，．如果函数有两个极值点，，求证：．（参考数据：，，，为自然对数的底数） 2.已知有两个零点，，且，求证：. 思维升华:对于对数函数的导数问题，可以考虑借助对数均值不等式实现简化 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元函数的导数及其应用(八) ---隐零点与极值点偏移问题 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大． 题型: 一、隐零点 1．已知函数． (1)求的极值； (2)证明：． 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案； （2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论. 解：（1）由题意得的定义域为，则， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设， ，令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 即，即， 则. 2.已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 【分析】（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （2）构造函数，证明函数在时恒成立. 解：（1），, 当时,；当时, 当变化时,的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值. （2）令函数, 由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减. 又 故在存在唯一零点. 设为,则 当时,；当时,, 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减 又，所以，当时,. 故. 3．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 解：（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 思维升华:隐零点问题求解三步曲: (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 二、极值点偏移 （一）消参减元 1．设函数. (1)求的单调区间； (2)若正数满足，证明：. 解：（1）的定义域是，. 令，解得； 令，解得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增. （2）证明：因为，所以. 设，定义域为，则， 当时，.单调递增； 当时，，单调递减. 因此，所以对任意的恒成立. 令，有 ，当且仅当时，等号成立. 因此，即，解得， 即. 2．已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明. 解：（1）当时，， ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得，则， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 3. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在有两个极值点，求证：． 解：（1）由得 当时，，从而，在上单调递增； 当或时，由得方程二根为 当或时，，单调递增 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增 当或时，在上单调递减， 在和上单调递增. （2）在上由两个极值点， 或，且为方程的两个根， 即，， ，，即， 将，代入上式， 可得：上式， 由题意，需证， 令，求导得， 当时，，则在上单调递减， 即，故. （二）对称变换 1.已知函数，如果，且，证明:. 证明：易得在上单调递增，在上单调递减. 时，. 时，.函数在时取得极大值:. 由不妨设.则必有. 构造函数，. 则. 在上单调递增，， 即对恒成立.由，则. ，即. 又，且在上单调递减， ，即. 2．已知函数． （1）求函数的图象在点，处的切线方程； （2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：． 解：（1）函数，则，则，又， 则切点为，切线的斜率为1， 所以的图象在点，处的切线方程为，即； （2）证明：令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，取得极大值，即为极大值点， 不妨设，由题意可知，， 令， 则，因为， 所以，则单调递减， 又，所以在上恒成立， 等价于在上恒成立， 所以， 因为，， 又在上单调递增， 所以， 故． （三）比(差)值换元 1.已知，．若有两个零点，，且，求证：（为自然对数的底数）． 解：欲证,需证. 若有两个零点,于是 由(1)(2)得. 由(2)-(1)得,所以. 于是, 又,设,则. 因此. 要证,即证. 即当时,有. 设函数,则 所以为上的增函数. 注意到,因此,.于是,当时,有. 所以,有成立,. 2．已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点且，求证：． 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，由函数最小值解决不等式恒成立问题，列不等式求实数的取值范围； （2）由函数的两个零点，可得，令，可得，构造函数利用导数求最值，可证得不等式. 解：（1）函数的定义域为， 对其求导得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以函数的最大值为，解得， 因此实数的取值范围是． （2）由题意可知，所以（*） 因，令，则， 于是由（*）式可得， 构造函数，， 对其求导得， 令，，对其求导得， 所以函数在上单调递增，所以， 于是，函数在上单调递增，所以， 因此，， 于是，得证． 3．设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若是函数的两个零点，且，求的最小值. 【分析】（1）求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性； （2）由已知先得到，两式相加相减可得和，令，代入，然后求导求其最小值. 解：（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用两式一加，一减，然后令达到消元的目的， 常用的换元有等. （四）对数均值不等式 1.已知函数，．如果函数有两个极值点，，求证：．（参考数据：，，，为自然对数的底数） 证明：由题意得，， 由可得 所以， 即， 而由对数均值不等式及基本不等式可得， ， 所以，函数在上为增函数，而， 所以，即，即． 2.已知有两个零点，，且，求证：. 证明：函数定义域为. ∵，∴， 由对数均值不等式知：， ∴，∴，∴. 令，即， 设， 则，其在上单调递减， 且的零点为， ∴在单调递增，在单调递减，且 ∴， 由对数均值不等式知：， ∴， ∴， 化简得：， 把式代入上式得：； 同理可得：， ∴， ∴， ∵，∴. 综上所述，. 思维升华:对于对数函数的导数问题，可以考虑借助对数均值不等式实现简化 13 学科网（北京）股份有限公司 $$