专题强化练1 圆锥曲线的几何性质-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题强化1 圆锥曲线的几何性质 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟 一．单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·山东淄博·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 4.（23-24高二下·山东青岛·开学考试）双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24·高二上江苏盐城调研）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 A． B． C． D． 7．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9.（23-24高二上·山东淄博·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 11.（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A．的最大值为5 B．的内切圆面积最大值为π C．为定值1 D．若Q为中点，则l的方程为 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（22-23高二上·上海·期末）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为 ． 13．（22-23高二上·新疆·期中）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为 ；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为 . 14．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为_____；的最小值为_______． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15.（23-24高二上·四川南充·阶段练习）解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 16.（23-24高二上·山东淄博·阶段测试）已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 17.（23-24高二上·安徽安庆·阶段测试）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且． （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值． 18.（23-24高二上·山东青岛莱西·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 19.（23-24高二上·江西宜春·阶段测试）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化1 圆锥曲线的几何性质 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟 一．单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·山东淄博·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得. 【详解】抛物线方程化为，所以抛物线的准线方程为. 故选：B 2．（2023·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质即可求. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为， 所以，即， 所以该双曲线的离心率为：. 故选：B 4.（23-24高二下·山东青岛·开学考试）双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程表示焦距长，进而求出，得到双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦距长为8， 所以，， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D. 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示：   为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 6．（23-24·高二上江苏盐城调研）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设P点坐标为（x，y）（x≥1或x≤-1），由双曲线方程可得点坐标为（-1，0），点坐标为（2，0）,则,当x=1，y=0时，取最小值-2，故选A 7．（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 8．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9.（23-24高二上·山东淄博·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出值判断AB；求出点的纵坐标判断；求出的面积判断D. 【详解】抛物线的准线为直线，过点向准线作垂线垂足为， 由抛物线的定义知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，A正确，B错误； 将代入抛物线方程，解得，C错误； 焦点，点，即，则，D正确. 故选：AD 10．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 【答案】AD 【分析】根据题意求出，即可得双曲线方程，判断A；继而求得渐近线方程，判断B；结合点到直线的距离公式可判断C；设，表示出，结合双曲线方程，可判断D. 【详解】依题意，双曲线的左焦点在直线上， 令，则，双曲线C的左焦点F即为F，则半焦距， 又双曲线离心率为，即，则， 从而双曲线C的方程为，A正确， 双曲线C的渐近线方程为，B不正确， 渐近线方程即为，F点到双曲线C的渐近线的距离为，C不正确， 由题意知，不妨设，则， 则有，D正确． 故选：AD 11.（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A．的最大值为5 B．的内切圆面积最大值为π C．为定值1 D．若Q为中点，则l的方程为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，的等面积算法，点差法，即可分别求解. 【详解】根据题意可得，，，，，， 对A选项，∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为5，∴A选项正确； 对B选项，设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得： ，∴， 当且仅当P为短轴顶点时，等号成立， ∴的内切圆面积最大值为，∴B选项错误； 对C选项，根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴C选项正确； 对D选项，若为中点，设，， 则，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴l的方程为，即，∴D选项正确. 故选：ACD. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（22-23高二上·上海·期末）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为 ． 【答案】1 【分析】由双曲线方程确定焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线的焦点在轴上，所以，又，故解得． 故答案为：1． 13．（22-23高二上·新疆·期中）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为 ；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为 . 【答案】 【解析】根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出、点的坐标，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理即可得解； 【详解】解：依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程，消去得，所以，所以 故答案为：； 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 14．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为_____；的最小值为_______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】设右焦点为，根据椭圆的定义得到，则，求出椭圆的左准线方程，根据圆锥曲线的第二定义，设到左准线的距离为，则，所以，则，即可得解. 【详解】椭圆中，，，则， 设右焦点为，则，离心率， 则，所以， 所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号； 又椭圆左准线方程为， 设到左准线的距离为，则，所以， 所以， 当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号.. 故答案为：； 四．解答题（共5小题，满分77分） 15.（23-24高二上·四川南充·阶段练习）解答下列两个小题： (1)双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程； (2)已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出其焦点坐标，确定的值，再根据双曲线的实轴长确定的值，然后求出，可写出双曲线标准方程； （2）根据双曲线有相同的渐近线设方程，代入已知点的坐标，可求双曲线的标准方程. 【详解】（1）对 椭圆 ，因为，所以，所以焦点为，在轴上， 设双曲线 的方程为， 所以， 且，所以， 所以， 双曲线 的标准方程为； （2） 双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以所求双曲线方程可设为： 又双曲线 经过点， 代入方程， ，即, 双曲线的标准方程为即. 16.（23-24高二上·山东淄博·阶段测试）已知双曲线的左､右焦点分别为，. (1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程； (2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用已知条件得，结合双曲线中化简整体求出，即可得双曲线C的渐近线方程 （2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出，从而得，即渐近线的倾斜角，则可以得出的值，结合得到关于离心率的齐次方程，解出即可 【详解】（1）因为，的面积为， 所以， 即， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以双曲线C的渐近线方程是. （2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图， ，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，则， 所以，，， 所以，， 所以双曲线C的离心率为2. 17.（23-24高二上·安徽安庆·阶段测试）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且． （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求； （2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值． 【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为， 联立，可得． ，，△， 解得，． 经过抛物线焦点的弦，解得． 抛物线方程为； （2）由（1）知，，，代入直线， 可求得，，即，，， ，，，， ，， 点在抛物线上，故， 解得：或． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题． 18.（23-24高二上·山东青岛莱西·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且． (1)求的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，该常数为56 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距， ，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且，则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．    19.（23-24高二上·江西宜春·阶段测试）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 【答案】(1) ；（2），a的取值范围为. 【分析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果； （2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结，由为等边三角形可知： 在中，，，， 于是， 故椭圆C的离心率为； （2）[方法一]【椭圆的定义+基本不等式】 由题意可知，且，所以． 因为，所以． 又因为，且，所以，从而，故，所以，a的取值范围为． [方法二]【最优解：椭圆的定义+余弦定理】 由题意有则，即， 当且仅当时，等号成立． 此时P为短轴端点，，且满足． 即当时，存在点P，使得，且的面积等于16． 故，a的取值范围为． [方法三]【余弦定理+面积公式】 设，对椭圆上任一点P，设， 由余弦定理有 ，所以， 即．则 ． 又，即． 由于，则以O为圆心，为直径的圆必与椭圆C有公共点， 即半焦距，故． 综上，，a的取值范围为． 【点睛】(2)方法一：椭圆的定义是解决焦点三角形的核心，基本不等式是处理最值与范围问题的常用方法； 方法二：椭圆的定义和余弦定理相结合是处理焦点三角形最典型的方法； 方法三：余弦定理和面积公式是处理面积问题的经典方法，处理最值、范围问题时常用此方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$