简单多面体外接球经典题型突破 讲义——2024届高三数学二轮复习

简单多面体外接球经典题型突破 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点，也是近几年考查的热点问题，此类问题最能有效考查学生的空间想象能力，因此很受命题者的青睐。其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。 一、多面体外接球的定义和性质 1.多面体外接球的定义：若一个多面体的各定点都在一个球的球面上，则称这个多面体为球的内接多面体，这个球是多面体的外接球 2.性质 性质1 多面体每个顶点到球心的距离都等于球的半径. 性质2 多面体每个面都有一个外接圆，且其中任意一个圆的圆心和球心的连线垂直于这个圆面. 性质3 多面体其中一个侧面外接圆的圆心为，半径为，外接球的球心为，半径为，球心到截面圆心的距离为则 性质4 球心在大圆面和小圆面的的射影是相应圆的圆心 性质5 在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心 二、由球的定义和性质找球心 例1. 已知球面上的四点，，则球的体积等于（　　） A． B． C． D． 解析：如图1所示，的外接圆的直径为， 由,得是直角三角形， ∴为球的直径，， ∴球的半径R,∴．故选：D．图1 例2.若直三棱柱A的6个顶点都在球的球面上，且所有棱长都为a,则球的表面积为 ． 解析：要求球的体积，我们先确定球心，再求半径。 如图2所示，分别为正的外心，直棱柱的棱长为a,故由正弦定理得底面外接圆的直径，.连接,则 图2 的中点为球心，连接，在中， 根据勾股定理可知， ，即外接球半径. 故外接球的表面积为. 例3.在半径为15的球内有一个底面边长为12的内接正三棱锥，则该正三棱锥的体积为___________． 解　①如图3所示，显然. 设为的中心，则三点在同一条直线上． ∵，∴,图3 ∴正三棱锥的高. 又，∴. ②如图4所示，同理，可得正三棱锥的高， ，∴. 综上，正三棱锥的体积为或. 例4.如图5所示，在三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，若四点都在球的表面上，则球的表面积为(　　)图4 A. B. C. D．图6 图5 解析：如图6所示，取线段的中点，连接， 由题意得， ∴是二面角的平面角，∴， 由题意得∴平面，分别的三等分点， 在平面内，过点分别作直线垂直于，两条直线的交点即球心， 连接OA，则球半径， 由题意知， 连接，在中， ∴，球的表面积为. 评注：通过以上例题我们了解到求解外接球问题关键是确定球心和半径，一般我们先确定球的一个截面，再找截面圆的圆心，过该圆心作截面的垂线，再进一步确定求球心的位置。在以上问题的求解过程中，我们得到部分几何体外接球球心的一些常见结论： 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. 结论3：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论4: 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是外接球的球心. 三、补形法（构造长方体或正方体） 例5.四面体中，，则四面体外接球的表面积为　　 ． 解析：如图7所示，四面体中，，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．图7 设长方体的长宽高分别为．则， 那么，． 长方体的对角线即外接球的半径∴ 四面体外接球的表面积`．故答案为：． 例6.已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到截面的距离为　　． 解析：∵正三棱锥，两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以为三边的正方体的外接球， ∵球的半径为，∴正方体的棱长为2，即 球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离 设到截面的距离为，则正三棱锥的体积 为边长为的正三角形，∴h ∴正方体中心到截面的距离为,故答案为 例7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱的外接球的体积是　 　． 解析：法一 如图8所示，∵底面为菱形，∴， ∴中点为的外心， 取中点，则， ∵底面，∴底面， ∴为三棱锥的外接球球心，图8 ∵，∴外接球半径为1，体积为，故答案为 法二∵底面为菱形，∴，又底面 ∴三棱锥（鳖臑）的外接球是以分别为长、宽、高的长方体的外接球.外接球的直径即体对角线长,∴, ∴,故答案为 例8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为 A． B． C． D． 解析:如图9所示， 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥，， 又，分别为、中点， ，，又，图9 平面，平面，， 为正方体一部分，， 即 ，故选D． 评注：通过以上例题的探究和分析我们可以得出基本几何体补成正方体或长方体（直棱柱）的途径与方法： 途径1: 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体. 途径2：同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体、四个面都是直角三角形的三棱锥（(鳖臑)）、相对棱相等的三棱锥都分别可构造长方体或正方体. 途径3：若已知棱锥含有侧棱垂直底面，且底面为直角三角形或矩形，则可将棱锥补成长方体或正方体. 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 四、最值范围问题 例9. 在三棱柱中，平面，，是边长为的正三角形，是线段的中点，点是线段上的动点，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为__________(用区间表示)． 解析：　如图10所示，设三棱柱上、下底面的中心分别为，三棱锥外接球的球心为，连接， 由是边长为的正三角形知在上，且.根据三棱柱的结构特征以及平面，可得平面，在上，连接，图10 设，球的半径为，则，可得，所以， 所以球的表面积．故答案为. 评注：本例结合二中结论知球心在上下底面中心的连线上，随着点D在线段移动，球心也随之在移动，引入两个变量来表示的位置，进一步表示出半径，转化为函数求值域问题，通过消参将二元问题转化为一元问题求解 例10.已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是________． 解析：如图11所示，由，可知， 则球心在过PM的中点与平面垂直的直线上， 因为的面积为定值，所以高最大时体积最大， 根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大， 因为四面体的最大体积为， 所以，可得，图11 在中，， 即，解得， 所以球的表面积为.故答案为 评注：本例中四面体对应的三棱锥底面三角形面积为定值，要使得体积最大，只需高最大即可.当过底面外接圆的圆心与球心的连线时高最大，此时球的半径转化为三角形外接圆的半径. 例11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面,，则球的体积的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析　设，由题可得，解得.因为，所以，由余弦定理可得 ，当且仅当时取等号，此时.设外接圆的半径为，则(最小，则外接圆半径最小)，故，所以. 如图12所示，设为外接圆的圆心，D为PA的中点， R为球的半径，连接， 易得， 当时，，，图12 故球体积的最小值为.故选B 评注：本例中球的体积的最小值，关键是求解球半径的最小值，转化为求解外接圆的半径为的最小值，结合正弦定理，，进一步转化为求b的最小值，利用余弦定理结合基本不等式进行求解. 五、公式法 1.（为棱锥的侧棱长，为棱锥的高） 具体证明如下： 正三棱锥的侧棱长为，高为，求三棱锥的外接球半径. 证明：如图13所示，为外接圆的圆心， 连接,则. ，则,取的中点,作的中垂线，在旋转的过程中交于点,则又因为，所以,则为所求球的球心，,在中，,结合可得，故证之.图13 例12.正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解析：由题意可知，正四棱锥的高，底面正方形的外接圆半径，由勾股定理可知侧棱长，由得,球的表面积为，故选. 例13.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则该正三棱锥外接球的表面积是________． 解析:如图14所示，过点作 平面于点，记球心为. ∵在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为， ∴,图14 ，∴外接球的表面积为.故答案为 评注：该公式适用于棱锥顶点在底面的射影为底面多边形外接圆的圆心的所有棱锥，正棱锥均可使用 2. 万能公式：，其中为几何体的外接球半径，为底面外接圆半径，为几何体的高，为顶点在底面的射影与底面外接圆的圆心的距离. 具体证明如下：如图15所示，过点作平面交面与点， 为的外心，为几何体的球心， 连接,过点作与点 连接,且设外接圆半径为， 三棱锥外接球半径为，由题意知，平面，图15 又平面,即四点共面， 又,四边形是矩形， ，在中，由勾股定理可知， ,即，则 在中，由勾股定理可知， ，整理得： 例14.已知的顶点都在球的球面上，底面为矩形，平面底面，为等边三角形，,则球的表面积为______. 解析：由题意可知，，由万能公式得 ， 所以球的表面积为.故答案为 评注：该公式可以求解所有几何体的外接球问题（几何体必须有外接球才可以），因公式记忆难度较大，有些量比较难求，所以主要适用于锥体或柱体中含有面面垂直，并且两个面的各条棱都不垂直于交线问题,否则采用上述方法解决. 总之，外接球问题我们通常用截面法来完成，但对于一些特殊的几何体我们可以通过补形和公式法，将空间问题转化为平面几何问题，利用勾股定理、正余弦定理、函数等知识加以解决.希望通过以上例题分析与探究，能够从真正意义上快速求解外接球问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$