5.1.2弧度制 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2 弧度制 1、教学目标 （1）了解弧度制的意义，能正确的进行角度制与弧度制的换算； （2）了解角的集合和实数集R之间可以建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 2、教学重点与难点 1.教学重点：弧度制的定义、弧度与角度的换算 2.教学难点：弧度制与角度制的联系及弧度制概念的引入 3、教学过程设计 (一) 概念的引入 【问题1】 回顾任意角概念，在初中我们学习过那些度量角的单位？ 师生活动：度、分、秒 【问题2】的角是怎样定义的呢？度、分、秒如何换算？ 师生活动：的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是．它是一个定值，与所取圆的半径大小无关． 【问题3】度量长度可以用米、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ ------板书课题 师生活动： 学生思考并回答问题。 教师提问，引导学生思考第二种单位制的存在。指明本节课所学知识点：弧度制的定义以及1弧度的含义。 【设计意图】：引发学生学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量，从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法。 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． (二）新课探究 【问题4】：顾名思义，弧度制是不是用弧长来度量圆心角呢？弧长可以度量角吗？如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角．在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角．设半径OP为r,点P所形成的圆弧． 【追问1】圆心角确定时，弧长确定吗？弧长和圆心角有什么关系？ 由初中所学知识可知， 【追问2】半径大的弧长也大，弧长与半径的比值确定吗？ 可以发现，圆心角 所对的弧长与半径的比值不变，当 确定，比值确定，也就是说，这个比值随 的确定而唯一确定． 师生活动：这就启发我们，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．圆心角比值 故可以利用圆的弧长与半径的比值度量圆心角．而这种像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小的单位制称为弧度制． 教师引导学生思考，抽取小组代表回答问题，通过圆中半径、弧长与圆心角三者的关系来得出弧度角定义。 【设计意图】：培养学生小组合作精神以及总结能力。 1．弧度制的定义 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 【问题5】2弧度角怎样表示，3弧度角呢，弧度角呢？ 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负． 【追问1】什么情况下，弧长可以表示圆心角？ 我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角． 【追问2】周角的弧度数怎样表示？任意角的弧度数呢？ 当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数 （等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 （即弧度数等于这个实数的角）与它对应（如图所示）。 故，弧度制下角的集合实数集R。 18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》首先倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，使得对三角函数的研究大为化简。 2．弧度制与角度制的互化 【问题6】角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？ 师生活动：学生思考并回答问题，在教师讲解过程中，要跟着教师的思路进行换算公式的推导。 教师引导学生分析，教师讲解角度制与弧度制的关系以及如何进行两者之间的换算，深化学生对于推导过程的理解。 【设计意图】：让学生理解角度制与弧度制之间的联系，学会弧度制与角度制的换算。 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是０）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数， 所以，rad，rad， 就可以进行弧度与角度的换算了。 (三)新知应用： 例1、将下列角度化成弧度，弧度化成角度。 （1） （2） 练习：按照下列要求填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 师生活动：学生跟着教师的解题思路并理解为什么可以这样进行解题，并学着自己解决弧度与角度的换算问题。 【设计意图】：通过教师在黑板上的解题过程，学生及时地规范自己的解题过程，强化学生对于角度制与弧度制的转化过程的认识。今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角就表示是2 rad的角；就表示rad的角的正弦，即 师生活动：学生填写该表格，并在教师给出答案后检查。 （4） 本节小结 (1) 弧度制概念的引入 (2) 1弧度角的定义及单位圆中1弧度角定义 (3) 弧度制与角度制转化 （5） 课后作业 1. 课本175页1,2,3 2. 阅读课本172欧拉名著《无穷小分析引论》相关知识 学科网（北京）股份有限公司 $$