小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题1：客、货两车同时从相距330千米的A、B两地相向而行。3小时后两车相遇，已知客车的速度是货车速度的1.2倍。客车和货车每小时分别行驶多少千米？ 【答案】货车：50千米；客车：60千米 【分析】设货车每小时行x千米，依据“客车的速度是货车速度的1.2倍”，则客车每小时行1.2x千米。根据速度和×时间＝路程，列方程解答。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.2x千米。 （1.2x＋x）×3＝330 2.2x×3＝330 2.2x×3÷3＝330÷3 2.2x＝110 2.2x÷2.2＝110÷2.2 x＝50 50×1.2＝60（千米） 答：货车每小时行驶50千米，客车每小时行驶60千米。 例题2：A，B两地相距500千米，客车和货车分别从两地同时开出相向而行，4小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，求客车和货车的速度. 【答案】客车：70千米/小时   货车：55千米/小时 【详解】客车、货车速度差：60÷4=15（千米/小时） 客车、货车的速度和：500÷4=125（千米/小时） 客车速度：（125+15）÷2=70（千米/小时） 货车速度：（125-15）÷2=55（千米/小时） 【点睛】考查了行程问题、和差问题，容易得出两车的速度和与速度差，利用和差公式即可求解. 例题3：一辆客车和一辆货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行60千米，货车的速度是客车的。两车开出2.5小时后相遇，这两个城市相距多少千米？ 【答案】270千米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出货车的速度，然后根据相遇问题中，总路程＝速度和×相遇时间，据此解答即可。 【详解】（60＋60×）×2.5 ＝108×2.5 ＝270（千米） 答：这两个城市相距270千米。 【点睛】本题考查相遇相遇，明确总路程＝速度和×相遇时间是解题的关键。 例题4：一条环湖路全长4000米，小兰和小军同时从环湖路的同一地出发，沿相反方向步行。小军的速度是80米/分，小兰的速度是70米/分，经过30分钟两人相距多少米？ 【答案】500米 【分析】根据路程＝速度×时间，将小军与小兰的速度相加，然后乘两人经过的时间，求出两人行走的总路程，用两人行走总路程减去环湖路总长，即可求出两人相距多少米。 【详解】（80＋70）×30－4000 ＝150×30－4000 ＝4500－4000 ＝500（米） 答：经过30分钟两人相距500米。 第三部分 高频真题 1．小张从甲地到乙地。步行速度是5千米/时，小黄从乙地到甲地，步行速度是4千米/时。现在两人同时出发，在离甲、乙两地的中点1千米处相遇。甲地和乙地相距多少千米。 2．甲乙两辆汽车分别从AB两地出发，相向而行。已知甲车和乙车的速度比是7∶9，两车出发3小时后，在距离两地中点20千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 3．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 4．海口市到三亚市的高速公路全长300千米，一辆客车和一辆货车从两地同时出发，相向而行，经过1.5小时相遇。客车每小时行110千米，货车每小时行多少千米？（用方程解） 5．A、B两地距离450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？ 6．甲乙两地相距1300米，小明和小李同时从两地出发相向而行，小明每分钟行70米，小李每分钟行60米 ｡经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 7．兄弟两人同时从家里到体育馆，路长1300米。哥哥每分钟步行80米，弟弟骑自行车以每分钟180米的速度到体育馆后立刻返回，途中与哥哥相遇，这时哥哥走了几分钟？ 8．甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？ 9．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的铁路线长是4.8厘米，一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行90千米，货车每小时行70千米。几小时后两列火车相遇？ 10．甲、乙两车同时相向而行，甲速40.5km/时，乙速53.5km/时，行驶72分后两车相遇。请你提出一个问题并解答。 问题：________________？ 11．甲乙两车从相距900千米的两地同时相向开出，经过5小时相遇，已知甲乙两车的速度比是5∶4，两车的速度各是多少？ 12．甲、乙两辆客车从两地同时相向开出，4时后在离中点30千米处相遇，慢车每时行驶64千米，快车每时行驶多少千米？ 13．有甲、乙两列火车，甲车长96米，每秒钟行驶26米，乙车长104米，每秒钟行驶24米，两车相向而行，从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开，需要多少秒钟？ 14．甲车每小时行32米，乙车每小时行34千米，两车同时从两地相对开出，经过3小时相遇。两地相距多少千米？ 15．在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间距离是5cm，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，2时后相遇．已知甲、乙两车的速度比是2：3，那么两车速度各是多少？ 16．甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？ 17．甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 18．甲乙两地之间铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲乙两地出发。相向而行，货车的速度与客车的速度比是。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 19．从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时。现在AB两车分别从甲、乙两城同时出发相对匀速而行，相遇时A汽车行驶了210千米，甲、乙两城相距多远？ 20．两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，4小时相遇，甲、乙两车的速度比为5：3。甲、乙两车的速度各是多少？ 21．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，4小时相遇后又相距9千米，已知甲车行完全程要7小时，乙车每小时行27千米，AB两地间的路程是多少千米？ 22．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头，如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，即是一个由连续奇数组成的数列。问：两只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？ 23．小王和小李从甲、乙两地同时相向而行，已知走完全程小王和小李分别需要40分钟和60分钟．出发后5分钟小王发现忘带东西回去取，已知取东西要耽误5分钟，求出发到相遇共需多长时间？ 24．甲、乙两车分别从A，B两城相对同时开出，甲车每小时行78千米，乙车每小时行67千米，两车在距A，B两城中点66千米处相遇．A，B两城相距的路程是多少千米？ 25．甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙也骑自行车每小时行20千米，已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西两城相距多少千米？ 26．甲乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中C点相遇．如果甲晚出发7分钟，两人将在途中D处相遇，且A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍．求A、B两地间距离． 27．两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5∶3，甲车每小时行驶多少千米？ 28．甲，乙两城相距480千米，一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇，货车和客车的速度比是3∶5。货车和客车的速度分别是多少？（5分） 29．甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发小时后，两人相距千米；出发小时后，两人还相距千米．问出发多少小时后两人相遇？ 30．江上有甲、乙两码头，相距15千米。甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品掉入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？ 31．A、B两港相距210千米，甲乙两船同时从A、B两个港口出发，相向而行，3小时后相遇。甲船每小时航行38千米，乙船每小时航行多少千米？（用方程解） 32．一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米，问几小时后两车相距千米？ 33．在一幅比例尺为1∶1500000地图上，量得A、B两地的距离为16厘米，有两辆汽车分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别是55千米时和65千米时。两车经过多长时间相遇？ 34．甲、乙两人骑车分别从A、B两地相向而行，已知甲、乙两人一速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求： （1）甲、乙两人骑车的速度各是多少？ （2）A、B两地的距离是多少千米？ 35．甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？ 36．小红家和小军家相距760 m，两人同时从家出发相向而行，经过8分钟相遇，小红每分钟走45 m，小军每分钟走多少米？ 37．快车从甲站开往乙站需要8小时，慢车从乙站开往甲站需要10小时。两车同时从两站相向而行，相遇时慢车行了240千米，求两站的距离。 38．两列火车从相距570千米的两地同时相对开出，3小时后相遇，甲车每小时行110千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 39．甲乙两车同时从相距千米的、两地相对开出，2.5小时后两车相遇。甲车平均每小时比乙车多行千米，求甲车的速度是多少？（列方程解答。） 40．甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地．求A，B两地的距离． 41．小强与小红同时从学校与少年宫出发相向而行，小强每小时行3.2千米，小红每小时行2.8千米，当小强与小红相遇时，相遇地点正好离开学校与少年宫的中点0.2千米处，求学校与少年宫相距多少千米？ 42．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行75千米，乙车每小时行55千米，经过两小时后两车相距20千米，A、B两地相距多少千米？（先画图表示出信息和问题，再列式解答） 43．甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分后又用15秒从乙身边开过．问： （1）火车速度是甲的速度的几倍？ （2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？ 44．小刚和小强在400米的环形跑道上，从同一地点同时相背出发，经过40秒两人第一次相遇。已知小刚每秒跑4.5米，小强每秒跑多少米？ 45．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶50千米，经过3小时两车一共行驶了全程的60%，A、B两地相距多少千米？ 46．甲、乙两艘军舰从两个港口出发，相向航行，乙舰开出1小时后，甲舰才开出，已知甲舰每小时航行42km，乙舰每小时航行38km，甲舰航行4小时后，两舰相遇，两个港口相距多少千米？ 47．甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地的距离是多少千米？ 48．绕湖一周是24千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行。 （1）甲以3千米/小时的速度走，乙以5千米/小时的速度走，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ （2）甲以4千米/小时的速度走，每走4千米后休息10分钟；乙以6千米/小时的速度走，每走5千米后休息5分钟，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ 49．在比例尺1∶2500000的地图上量得A、B两地相距4.8厘米。甲骑自行车以每小时12千米的速度从A地骑往B地，同时乙开车以每小时36千米的速度从B开往A地。两人几小时后相遇？ 参考答案： 1．18千米 【分析】小张比小黄走的快，所以根据相遇地点在离甲、乙两地的中点1千米处，可以知道到相遇时，小张走的路程比全长的一半多1千米，小黄走的路程比全长的一半少1千米，那么从出发到相遇这段时间里，小张和小黄的路程差就是1＋1＝2（千米），根据路程差÷速度差＝共同行驶的时间，可以得到，从出发到相遇他们走的时间为：2÷（5－4）＝2（小时），这个时间也就是相遇时间，再根据路程和＝速度和×相遇时间，可以得到，全长为：（5＋4）×2＝18（千米）。 【详解】（1＋1）÷（5－4） ＝2÷1 ＝2（小时） （5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（千米） 答：甲地和乙地相距18千米。 【点睛】这道题的关键是根据分析或画图理解从出发到相遇时，小张和小黄的路程差是1＋1＝2（千米），然后灵活运用行程问题的公式即可求出全长。 2．320千米 【分析】根据“速度＝路程÷时间”，因为甲乙是同时出发，相遇时间一定，所以甲车和乙车的速度比等于路程比为7∶9；由“距离两地中点20千米处相遇”可知，相遇时乙车比甲车多行驶（20×2）千米；用多行的距离除以乙车比甲车多的（9－7）份，计算出一份的数，再乘总份数（7＋9）份，所得结果即为两地的距离，据此解答。 【详解】甲车和乙车的速度比是7∶9，则甲车和乙车行驶路程的比为7∶9。 相遇时乙车比甲车多行驶：20×2＝40（千米） 40÷（9－7）×（7＋9） ＝40÷2×16 ＝20×16 ＝320（千米） 答：A、B两地相距320千米。 3．600米 【详解】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了秒，那么通讯员从排头返回排尾用了秒，于是不难列方程．设通讯员从末尾赶到排头用了秒，依题意得解得，推知队伍长为（米）． 4．90千米 【分析】速度×时间＝路程，设货车每小时行x千米，根据货车速度×相遇时间＋客车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设货车每小时行x千米。 1.5x＋110×1.5＝300 1.5x＋165＝300 1.5x＋165－165＝300－165 1.5x＝135 1.5x÷1.5＝135÷1.5 x＝90 答：货车每小时行90千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 5．315千米 【分析】相遇时距B地的距离就是乙车行驶的距离，速度比＝路程比，总路程÷总份数，求出一份数，一份数×乙车对应份数＝相遇时距B地的距离。 【详解】450÷（3＋7） ＝450÷10 ＝45（千米） 45×7＝315（千米） 答：相遇时距B地315千米。 【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。 6．10分钟 【分析】根据等量关系式：相遇时小明走的路程＋小东走的路程＝两地之间的距离1300米，列方程进行解答即可。 【详解】解：设经过X分钟两人相遇。 70X＋60X＝1300 130X＝1300 130X÷130＝1300÷130 X ＝10 答：经过10分钟两人相遇｡ 【点睛】本题考查列方程解应用题。 7．10分钟 【分析】兄弟两人相遇时二人共走了2个路长，走的时间也相等，设这时哥哥走了x分钟，则可列出方程80x＋180x＝2×1300，解方程即可解答。 【详解】解：设这时哥哥走了x分钟。 80x＋180x＝2×1300 260x＝2600 x＝10（分钟） 答：这时哥哥走了10分钟。 【点睛】这是一道相遇问题，设方程即可解答，注意两人相遇时二人共走了2个路长。 8．200米 【分析】题目中包含有两个追及问题．第一个追及问题发生在从出发到甲追上乙，即两人第一次相遇，在这个过程中追及时间为8分钟，其他两个量都没有给出．在第二个追及问题中应注意到环形跑道的特殊性，即当两人同时出发到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差为400米，追及时间为（24-8）分钟．则速度差可求，再把这个速度差代回到第一个问题中，则可求出第一个追及问题中的路程差． 【详解】甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分钟） 甲、乙开始时相距：25×8=200（米） 答：出发时乙在甲前200米． 【点睛】在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长的倍数相关的，同一地点出发后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，第二次相遇则为2倍的跑道周长． 9．1.5小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，代入数据解答即可。 【详解】4.8÷＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷（90＋70） ＝240÷160 ＝1.5（小时） 答：1.5小时后两列火车相遇。 【点睛】此题主要考查比例尺的实际应用，以及路程、相遇时间、速度和三者之间关系的实际应用。 10．相遇时，甲车比乙车少行多少km；15.6km（答案不唯一） 【分析】已知甲、乙两车的速度与相遇时间，要求补充问题并解答，此题常见有两种问题可以提出（答案不唯一）。可以问“相遇时，甲、乙两辆车共行了多少km？”，根据路程＝速度和×时间代入相关数据即可解答；也可以问“相遇时，甲车比乙车少行（乙车比甲车多行）多少km？” 根据路程＝速度差×时间代入相关数据即可解答。注意不管是哪一个提问，解答过程中都要把72分钟换算成以小时为单位的数。 【详解】问题：相遇时，甲车比乙车少行多少km？ （53.5－40.5）×（72÷60） ＝13×1.2 ＝15.6（km） 答：甲车比乙车少行15.6km。 或问题：相遇时，甲、乙两辆车共行了多少km？ （53.5＋40.5）×（72÷60） ＝94×1.2 ＝112.8（km） 答：甲、乙两辆车共行了112.8km。 【点睛】此题重点考查对相遇问题的理解及相关等量关系式的灵活运用。 11．甲100千米/时；乙80千米/时 【分析】甲乙两车相遇时，路程之和恰好等于两地相距的距离，据此解题即可。 【详解】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是x千米/时 5x＋5×x＝900 解得，x＝100，则x＝80 答：甲乙两车的速度分别是100千米/时、80千米/时。 【点睛】本题考查了相遇问题和比的应用，明确相遇时路程之和等于两地相距的距离是解题的关键。 12．79千米 【分析】在离中点30千米处相遇，也就是快车比慢车多行驶（30×2）千米，用快车多行的路程除以相遇时间，可以求出快车每小时比慢车多行的路程，进而用加法求出快车的速度。 【详解】30×2÷4＋64 ＝60÷4＋64 ＝15＋64 ＝79（千米） 答：快车每时行驶79千米。 【点睛】此题是一道相遇问题的应用题，解答本题的关键是了解路程、速度和时间三者的关系，利用两车的路程差除以相遇时间，求出两车速度差。 13．4秒 【分析】假设乙列车停止不动，那么易知甲行走的路程为两个列车的车身长：96+104=200（米）．而实际上乙列车没有停，它的速度是24米／秒，也就相当于乙列车把它的速度“给”了甲列车，使自己的速度为0．相当于甲车速度为：26+24=50（米／秒），那么从相遇到离开的时间=列车长度和÷速度和． 【详解】两列车车身长度和：96+104=200（米） 两列车的速度和：26+24=50（米／秒） 时间：200÷50=4（秒） 答：两车从相遇到离开所用时间为4秒． 【点睛】两车从相遇到离开，此过程的特点一直是动对动，考虑起来很复杂，但我们可以假设其中一列车不动，将问题转化成动对静时，就容易解了． 14．198千米 【分析】甲车往乙地开，乙车往甲地开，两车是相对出发的，每走一个小时，两车的距离就更接近了。每个小时，两车共走了66千米，3小时相遇，那用速度和×时间＝路程，就可以求出两地相距多少千米。 【详解】 （千米） 答：两地相距198千米。 【点睛】本题考查学生对于相遇问题的掌握。解决相遇问题时，可以用速度和×时间＝路程来计算。 15．甲车60千米/小时；乙车90千米/小时 【详解】5÷＝30000000（厘米）＝300（千米） 300÷2＝150（千米/小时） 150×＝60（千米/小时） 150﹣60＝90（千米/小时） 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是90千米/小时． 16．5928米 【详解】甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇．甲在C地时，乙在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的．距离为：10×（25+27）=520（米），即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米．乙比甲少走520米，所需时间：520÷（30-25）=104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，则A、B两镇间距离： （30+27）×104=57×104=5928（米） 答：两镇相距5928米． 17．2小时 【详解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：(千米)，甲、乙两车速度和：(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：(小时)． 18．180千米；120千米 【分析】依据时间一定，路程和速度成正比，当货车的速度与客车的速度比是2∶3时可得：货车和客车行驶的路程比是2∶3，把两地间的距离看作单位“1”，依据按比例分配方法即可解答。 【详解】 （千米） （千米） 答：相遇时客车行驶了180千米，货车行驶了120千米。 【点睛】解答本题的关键是明确：当货车的速度与客车的速度比是2∶3时，货车和客车行驶的路程比是2∶3。 19．462千米 【分析】根据题意可知相同的路程，A汽车用6时，B汽车用5时，据此求出AB两车的速度比＝∶ ＝5∶6；所用时间相同，甲和乙的速度比就等于所行路程比，即相遇时A汽车行驶的路程占5份，B汽车行驶行驶的路程占6份，据此可以列式计算。 【详解】AB两车的速度比：∶＝5∶6 两城的距离：210÷＝462（千米） 答：相距462千米。 【点睛】此题关键是理清相遇时他们的速度比就等于所行路程比。 20．75千米/小时；45千米/小时 【详解】480÷4＝120 5＋3＝8 甲：120× ＝75（千米/小时） 乙；120× ＝45（千米/小时） 答：甲、乙两车的速度分别是75千米/小时和45千米/小时。 21．231千米 【分析】这题我们可以用方程，根据关系式来列方程解决。两车合行4小时的路程＝两地的路程＋9千米＝甲车7小时行的路程＋9千米，据此数量关系来列方程。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 （x＋27）×4＝ 7x＋9 4x＋27×4＝7x＋9 7x－4x＝108－9 3x＝99 x＝33 7×33＝231千米 答：AB两地间的路程是231千米。 【点睛】解答此题的关键明确4小时相遇后又相距9千米表示甲、乙两车同时行4小时行了一个全路程多9千米。 22．49秒 【分析】圆的周长为1.26米即126厘米，相向而行，只要他们在半圆处相遇就行，半圆的周长为63厘米，如果蚂蚁不掉头走，63÷（3.5＋5.5）＝7秒即相遇。把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，由于1﹣3＋5﹣7＋9﹣11＋13＝7，所以13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49秒相遇。蚂蚁爬行的方向不断地发生变化，那么如果这两只蚂蚁都不调头爬行，相遇时它们已经爬行了多长时间呢？非常简单，可列式为：1264÷2÷（5.5＋3.5）＝7（秒）。由于发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循的，它们每爬行1秒、3秒、5秒、…（连续的奇数）就调头爬行。每只蚂蚁先向前爬1秒，然后调头爬3秒，再调头爬5秒，这时相当于在向前爬1秒的基础上又向前爬行了2秒。同理，接着向后爬7秒，再向前爬9秒，再向后爬11秒，再向前爬13秒，这就相当于一共向前爬行了1＋2＋2＋2＝7（秒），正好相遇。 【详解】1264÷2÷（5.5＋3.5） ＝1264÷2÷9 ＝7（秒）。 1﹣3＋5﹣7＋9﹣11＋13＝7， 13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49（秒） 答：两只蚂蚁爬行了49秒才能第一次相遇。 【点睛】完成本题的关键是根据所给条件找出规律，然后分析解答。 23．33分钟 【详解】可以设出小王与小李的速度为，小王第二次出发与第一次出发相隔十五分钟，因为是相向而行，利用相遇问题解答． 18+15=33（分） 答：从出发到相遇共需要33分钟． 24．1740千米 【详解】66×2＝132（千米）　　　132÷（78－67）＝12（小时） （78＋67）×12＝1740（千米） 答：A，B两城相距路程是1740千米。 25．87.5千米 【分析】设乙，丙经过x小时相遇，根据总路程相等列出方程：（15＋20）x＝（5＋20）（x＋1），解答即可求出相遇的时间，进而根据：速度之和×相遇时间＝总路程，解答即可。 【详解】解：设乙，丙经过x小时相遇，根据总路程相等列出方程： （15＋20）x＝（5＋20）（x＋1） 35x＝25x＋25 x＝2.5 总路程：（15＋20）×2.5＝35×2.5＝87.5（千米） 答：东、西两城相距87.5千米。 【点睛】本题主要考查相遇问题，解题的关键是根据等量关系式列出方程。 26．2240米或6720米 【详解】甲晚出发7分钟，也就是乙先走了60×7=420米，两人共同行走的时间也减少了．对应的路程和也发生了变化． 前后两次二人的相遇路程和相差420千米，那么前后两次相遇时间相差为420÷（80＋60）=3（分钟）， 而本来这三分钟甲能多走80×3=240（米）， 这就说明C点与D点之间的距离为240米，由条件“A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍”可以得到中点到C、D两点之间的距离．不过这里要分两种情况： （一）中点E在C、D之间，那么ED、EC的距离和为240米，EC的距离为：240÷（2+1）×2=160米 也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点160米，即甲比乙多走了320米．两人相遇所花的时间为：320÷（80-60）=16（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×16=2240（米）． （二）C、D在E点的同一侧，那么ED、EC的距离差为240米，EC的距离为：240÷（2-1）×2=480（米），也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点480米，即甲比乙多走了960米，两人相遇所花的时间为`：960÷（80-60）=48（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×48=6720（米）． 综上所述，A、B两地之间距离为2240米或6720米． 【点睛】如果只涉及到距离关系，没有提到位置关系，而且这些点在同一条直线上，那么就不只有一种位置关系． 27．75千米 【分析】求甲车每小时行驶多少千米，我们可以先根据路程÷时间＝两车的速度和，然后按比例分配，就可以求出甲车的速度。 【详解】480÷4÷（5＋3）×5 ＝480÷4÷8×5 ＝15×5 ＝75（千米） 答：甲车每小时行驶75千米。 【点睛】此题先求出速度和，再根据按比例分配来解决。 28．货车的速度是45千米/时，客车的速度是75千米/时 【分析】考查相遇问题的基本数量关系以及按比例分配的知识。 【详解】根据相遇问题中，总路程÷时间＝速度和，可得480÷4＝120千米。再结合题意“货车和客车的速度比是3∶5”，可得货车的速度120×＝45千米/时，客车的速度120×＝75千米/时。 解题方法不唯一。 【点睛】可以先求出速度和，再按比例分配求各自的速度；也可以先按比例分配求出各自行驶的路程，再求出各自的速度。 29．8小时 【详解】根据小时后相距千米，小时后相距千米，可以求出甲、乙二人小时行的路程和为千米，即可求出两人的速度和：（千米），根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行千米需要：（小时）． 30．15千米/小时 【详解】解法一：水速对于相遇和追及的时间不产生影响，对本题整个行程过程进行分析，我们可以找出其中隐含的数量关系。首先，两艘船从相距15千米的两港出发后5小时，其中一艘船赶上另一艘船。所以货船静水速度－游船静水速度＝15÷5＝3（千米/小时）。其次，相遇后一小时，因为两艘船的速度差为3千米/小时，所以一小时后两船之间的距离为3千米。又过了6分钟，货船与物品之间距离可以表示为：货船静水速度×6分钟，因此货船回去找物品所需要的时间为：货船静水速度×6分钟÷货船静水速度＝6分钟，所以从物品掉落到两艘船相遇，共过了12分钟。12分钟＝0.2小时，游船静水速度×0.2小时＝3千米，游船的静水速度为15千米/小时。 解法二：将这道问题放到流水这个参照系中来看，因为以流水为参照物，游船、货船都是以静水速度运动，而物品相当于停留在原地不动，货船六分钟后发现物品丢失，所以返回到物品处也是花了六分钟，那么游船在此12分钟之内行完之前两船一小时之内拉开的距离3千米，所以直接求出游船的静水速度：3÷＝15（千米/小时）。 31．32千米 【分析】设乙船每小时航行x千米，根据相遇问题中，速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时航行x千米。 （38＋x）×3＝210 114＋3x＝210 3x＝96 x＝96÷3 x＝32 答：乙船每小时航行32千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 32．4小时或6小时 【详解】两车在相距千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距千米，这时两车共行的路程应为（）千米．即(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距千米．这时两车共行的路程为千米，即（小时)． 33．2小时 【分析】根据比例尺的意义可知：实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，然后再化成千米即可；再根据关系式：距离÷速度和＝相遇时间，解决问题。 【详解】A、B两地的实际距离： 16÷ ＝16×1500000 ＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷（55＋65） ＝240÷120 ＝2（小时） 答：两车经过2小时相遇。 【点睛】此题考查了比例尺以及速度、路程与时间之间的关系。 34．（1）甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时 （2）48千米 【分析】（1）设甲的速度为2X，乙的速度为3X，相遇时甲用的时间是1.75小时，而乙用的时间是1.5小时，用他们的速度乘上行驶的时间就是他们走的路程，然后根据甲比乙少走6千米，列出方程求出X的值，进而求出甲乙的速度； （2）分别求出甲乙行驶的路程，然后相加即可求解。 【详解】（1）1小时45分＝1.75小时； 15分钟＝0.25小时； 1.75小时－0.25小时＝1.5小时； 解：设甲的速度为2X千米/时，乙的速度为3X千米/时。 1.75×2X＋6＝1.5×3X 3.5X＋6＝4.5X X＝6 甲的速度为：6×2＝12（千米/时） 乙的速度为：3×6＝18（千米/时） 答：甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时。 （2）12×1.75＋18×1.5 ＝21＋27 ＝48（千米） 答：A、B两地的距离是48千米。 【点睛】本题先把速度表示出来，再分别求出它们行驶的时间，然后根据他们路程之间的关系找出等量关系列出方程求解。 35．780千米 【详解】建议教师帮助学生画图分析． 从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行(千米)，(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是(千米)． 36．50米 【详解】760÷8＝95（米） 95－45＝50（米） 答：小军每分钟走50米 37．540千米 【分析】根据快、慢两车走同一段路所用的时间，可以表示出快车与慢车的速度比，相遇时，快慢两车用的时间是一样的，所以速度比和路程比是一样的，再结合慢车相遇时所走的路程是其中的4份，计算得到每一份是多少，再算出甲乙两站的距离。 【详解】快车的速度是，慢车的速度是； 两车的速度比是∶＝5∶4，所以相遇时两车的路程比也是5∶4； 因为慢车走了全程的4份，所以距离是 240÷4×（5＋4） ＝240÷4×9 ＝60×9 ＝540（千米） 答：甲乙两站的距离是540千米。 【点睛】本题考查了学生利用比的应用来解决实际问题的能力。需要理解根据快慢车走同一段路程所用的时间，可以表示出快车与慢车的速度比。相遇时因为快慢，两车用的时间是一样的，所以速度比和路程比是一样的。 38．80千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米 110×3＋3x＝570 3x＝240 x＝80 答：乙车每小时行80千米。 39．78千米时 【分析】设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时，甲车2.5小时行驶的距离＋乙车2.5小时行驶的距离＝A、B两地的距离；列方程：2.5x＋2.5×（x－12）＝360，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时。 2.5x＋2.5×（x－12）＝360 2.5x＋2.5x－30＝360 5x＝360＋30 5x＝390 x＝390÷5 x＝78 答：甲车的速度是78千米/时。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据速度、时间和距离三者的关系，列方程，解方程。 40．200千米 【详解】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米． 41．6千米 【分析】因为是距中点0.2千米处相遇的，所以小强要比小红多走了0.2×2＝0.4（千米），小强每小时比小红多走3.2－0.8＝0.4（千米/小时），根据“路程差÷速度差＝时间”求出相遇时间，再根据“速度和×相遇时间＝路程”即可得解。 【详解】相遇时间： 0.2×2÷（3.2－2.8） ＝0.4÷0.4 ＝1（小时） 两地距离： （3.2＋2.8）×1 ＝0.4×1 ＝6（千米） 答：学校与少年宫相距6千米。 【点睛】本题考查相遇问题，关键是理解并掌握相遇点距中点距离的2倍，就是相遇时两人的路程差，本题也可以相遇时间为等量关系列方程求解。 42．280千米或240千米 【分析】可能性一：两人还没相遇，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再加上相距的距离即可； 可能性二：相遇后再分开，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再减去相距的距离即可。 【详解】   （75＋55）×2＋20 ＝130×2＋20 ＝260＋20 ＝280（千米） （75＋55）×2－20 ＝130×2－20 ＝260－20 ＝240（千米） 答：A、B两地相距280或240千米。 【点睛】本题解题的关键是明确路程、时间和速度之间的关系。 43．（1）11倍 （2）675秒 【详解】设火车速度为a米／秒，行人速度为b米／秒，则由火车的长度可列方程18（a-b）=15（a+b）,求出=11,即火车的速度是行人速度的11倍； （2）从车尾经过甲到车尾经过乙，火车走了135秒，此段路程一人走需1350×11=1485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路程两人走还需（1485－135）÷2＝675（秒） 44．5.5米 【分析】首先根据路程÷时间＝速度，用跑道的长度除以两个人第一次相遇的时间，求出两人速度之和；然后用它减去小刚每秒跑的路程，即可求出小强每秒跑多少米。 【详解】400÷40－4.5 ＝10－4.5 ＝5.5（米） 答：小强每秒跑5.5米。 45．650千米 【分析】经过3小时两车一共行驶了全程的60%，则两车1小时可行驶全程的（60%÷3），根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，用（80＋50）÷（60%÷3），即可求得。 【详解】（80＋50）÷（60%÷3） ＝130÷0.2 ＝650（千米） 答：A、B两地相距650千米。 【点睛】本题的关键是求出两车1小时所走路程的对应分率是20%。 46．358千米 【分析】总路程是乙在一个小时内行驶的，以及1个小时后两车共同行驶的路程相加，据此求解。 【详解】38×1＋（38＋42）×4 ＝38＋320 ＝358（千米） 答：两个港口相距358千米。 【点睛】该题考查了对相遇问题的理解，要注意乙先行了1小时，需先求乙行的路程。 47．100千米 【分析】甲乙两人第一次相遇时甲行了40千米，此时两人共行了一个A、B两地的距离。则两人每行一个A、B两地的距离，甲需要行40千米。第二次相遇时，两人一共行驶了3个A、B两地的距离，此时甲共行了3×40千米。而甲行了一个A、B两地的距离还多20千米，用甲行的总路程减去20千米，即可求出A、B两地的距离。 【详解】3×40－20 ＝120－20 ＝100（千米） 答：AB两地相距100千米。 【点睛】解答本题关键是明确：第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，而甲行了3个40千米。 48．（1）3小时；（2）158分钟 【分析】（1）根据相遇时间＝路程和÷速度和，用24÷（3＋5）即可求出两人从出发到第一次相遇用的时间。 （2）根据题意可知，甲走4千米需要1小时10分钟，也就是70分钟；5千米是6千米的，根据分数乘法的意义，可知乙走5千米需要（60×＋5）分钟，也就是55分钟；甲出发70分钟时，甲走了4千米，乙出发70分钟的路程为（55＋15）分钟的路程，也就是5千米加上（×6）千米，即6.5千米；甲出发（70×2）分钟时，甲走了8千米；乙出发140分钟的路程为（55＋55＋30）分钟的路程，也就是（5×2）千米加上（×6）千米，即13千米；此时甲乙之间的距离是（24－8－13）千米，也就是3千米，甲距离下次休息要60分钟，乙距离下次休息要（50－30）分钟，即20分钟，这20分钟甲乙都在走，没有休息；根据速度和×相遇时间＝路程和，可知20分钟的路程和大于3千米，所以剩下3千米的路程，甲乙相遇的时间小于20分钟，根据相遇时间＝路程和÷速度和，用剩下3千米除以两人的速度和，即可求出剩下行走的时间，然后加上140分钟，即可求出两人从出发到第一次相遇用多长时间。 【详解】（1）24÷（3＋5） ＝24÷8 ＝3（小时） 答：两人从出发到第一次相遇用3小时。 （2）1小时＝60分钟 60＋10＝70（分钟） 60×＋5 ＝50＋5 ＝55（分钟） 70分钟时，甲走了4千米， 对乙，70＝55＋15 乙走了5＋×6 ＝5＋1.5 ＝6.5（千米） 140分钟时，甲走了8千米， 对乙，140＝55＋55＋30 乙走了5×2＋×6 ＝10＋3 ＝13（千米） 两人共走了8＋13＝21（千米） 此时两人相距24－21＝3（千米） 而距甲再次休息还要60分钟， 距乙再次休息还要50－30＝20（分钟） 20分钟内，甲、乙都在走，能共同走 （4＋6）× ＝10× ＝（千米） 千米＞3千米 共同走3千米需要3÷（4＋6） ＝3÷10 ＝（小时） 小时＝18分钟 140＋18＝158（分钟） 答：两人从出发到第一次相遇用158分钟。 【点睛】本题主要考查了较复杂的相遇问题，利用休息的时间节点去推算路程是解答本题的关键。 49．2.5小时 【分析】根据实际距离＝图上距离∶比例尺，用4.8÷即可求出A、B两地的实际距离，然后换算成千米；再根据相遇时间＝路程和÷速度和，用A、B两地的实际距离除以甲、乙的速度和，即可求出两人几小时后相遇。 【详解】4.8÷ ＝4.8×2500000 ＝12000000（厘米） 12000000厘米＝120千米 120÷（12＋36） ＝120÷48 ＝2.5（小时） 答：两人2.5小时后相遇。 【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$