小升初典型奥数：追及问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

追及问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 二、追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 三、解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 第二部分 典型例题 例题1：静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 【答案】11小时 【分析】乙船先开出的2小时行驶了（18＋4）×2＝44（千米），即甲船开出时，两船相距44千米，因两船均是顺水行驶，所用甲船每小时比乙船多行驶22－18＝4（千米/小时），用两船距离除以速度差，就是甲船追上乙船所用时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝44÷4 ＝11（小时） 答：甲船11小时可以追上乙船。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 例题2：甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？ 【答案】5928米 【详解】甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇．甲在C地时，乙在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的．距离为：10×（25+27）=520（米），即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米．乙比甲少走520米，所需时间：520÷（30-25）=104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，则A、B两镇间距离： （30+27）×104=57×104=5928（米） 答：两镇相距5928米． 例题3：快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米? 【答案】19 【详解】快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为(千米)，中车追上这段路用了(分钟)，所以骑车人与中车的速度差为(千米/小时).则骑车人的速度为(千米/小时)，所以三车出发时与骑车人的路程差为(千米).慢车与骑车人的速度差为（千米/小时），所以慢车速度为（千米/小时）. 例题4：甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人．已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？ 【答案】950 【详解】甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）． 第三部分 高频真题 1．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？ 2．龟兔赛跑，全程共2000米．已知龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑35米．兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有250米，你知道兔子这一觉睡了多长时间吗？ 3．上午8点08分，小明骑自行车从家里出发8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8公里。问这时是几点几分？ 4．小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑．这时从后面开来一列客车．客车经过她的身边共用了10秒．已知这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？ 5．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 6．暑假里飞飞与爸爸到海上公园划船，他们沿海向上游划行，一阵风吹来，飞飞的太阳帽被刮到身后，当他们发现并调过船头时，帽子与船已经相距600米，假定小船在静水中的速度是每分钟100米，水流速度是每分钟30米，那么，父子俩追回太阳帽要多长时间？ 7．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离． 8．君君和丽丽沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后丽丽第一次追上君君。已知君君的速度是230米/分，丽丽的速度是多少？（用方程解） 9．甲火车长190米，每秒钟行19米，乙火车长220米，每秒钟行24米，两车同向行驶。问：乙车从追上甲车到完全超过共需多少秒钟？ 10．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 11．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 12．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 13．甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去．已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？ 14．甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时．途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的距离？ 15．一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米。 （1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ （2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 16．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 17．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米．问：（1） A， B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？ 18．解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 19．学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米．求走完全程学生队伍步行需多长时间？ 20．甲从A，乙从B逆时针方向行走，甲速度65米/分，乙速度72米/分，正方形ABCD的边长为90，米，求乙第一次追上甲在哪条边上？ 21．爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？ 22．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，那么甲出发后需多少分钟才能追上乙。 23．甲火车从后面追上到完全超过乙火车用了60秒，甲火车长180米，车速是每秒25米，乙车速是每秒17米，乙火车长多少米？ 24．小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 25．当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？ 26．小强每分钟走米，小季每分钟走米，两人同时从同一地点背向走了分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？ 27．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 28．甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米。那么乙出发多长时间后追上了甲？ 29．甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 30．学校和部队驻地相距千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行千米，小宙每小时行千米．当小宇走了千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？ 31．列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 32．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 33．甲、乙两车同时从地向地开出，甲每小时行千米，乙每小时行千米，开出小时后，甲车因有紧急任务返回地；到达地后又立即向地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达地，求、两地的路程． 34．兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇，问他们家离学校有多远？ 35．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 36．A、B、C三人要从甲地到乙地，步行速度都是每小时5千米，骑车速度都是每小时20千米．现在只有一辆自行车，他们想了一个办法：先让A骑车走，同时B、C步行；A骑了一段后，再换步行而把车放在途中，留给B接着骑；B骑一段后，再换步行而把车放在途中，留给C接着骑到乙地．这样，A、B、C三人恰好同时到达乙地．已知甲地到乙地全长12千米，那么，从甲地到乙地共用了多少小时？ 37．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？ 38．甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行 90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 39．甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙．问：两人每秒各跑多少米？ 40．第二届“走进美妙数学花园”在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以千米/小时的速度行驶。后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）。在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车，在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 41．甲、乙二人沿着同一条米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后米处起跑，当甲离终点还有米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？ 42．小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度。 43．甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？ 44．环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米．问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？ 45．一架飞机从甲地开往乙地，原计划每分钟飞行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达，甲、乙两地相距多少千米？ 46．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 47．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行千米，汽车在后，每小时行千米，经过小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 48．甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙．甲和丙的速度比是多少？ 49．小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？ 50．甲、乙两车分别从、两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发小时，甲车的速度是千米/小时，乙车每小时行千米．甲车出发小时后追上乙车，求、两地间的距离． 51．张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时? 52．小李骑自行车每小时行千米，小王骑自行车每小时行千米．小李出发后小时，小王在小李的出发地点前面千米处出发，小李几小时可以追上小王？ 参考答案： 1．45分钟 【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)． 2．450分钟 【详解】乌龟跑完全程所需时间：2000÷4＝500（分钟） 兔子跑的路程：2000-250=1750（米） 兔子跑的时间：1750÷35=50（分钟） 兔子睡觉的时间：500-50＝450（分钟） 答：兔子一觉睡了450分钟． 3．8点32分 【分析】爸爸在离家4千米处，如果不返回，而是停8分钟，然后再向前追小明。应当在离家4＋4＝8（千米）处恰好追上小明。这表明爸爸从离家4千米处返回，然后再回到这里，共用8分钟，即爸爸8分钟行8千米，从而爸爸共用8＋8＝16（分钟），第二次追上小明时是8点32分（8＋8＋16＝32）。 【详解】根据分析可知第二次追上小明的时间是8点32分。 【点睛】本题主要考查追及问题，对学生的分析和解决问题的能力的要求较高。 4．15米／秒 【详解】客车经过小美的身边，这一过程客车与小美的路程差是客车的车身长：130米，经过所需的时间是追及时间：10秒． 速度差：130÷10＝13（米／秒） 客车速度：2+13＝15（米／秒） 答：客车的速度为15米／秒． 5．600米 【详解】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了秒，那么通讯员从排头返回排尾用了秒，于是不难列方程．设通讯员从末尾赶到排头用了秒，依题意得解得，推知队伍长为（米）． 6．6分钟 【分析】根据“他们沿海向上游划行”知飞飞和爸爸在逆水划行，因此掉过头追帽子的过程是顺水划行，船的顺水速度＝船速＋水速，而帽子也在随水速移动，故此时追及速度＝船的顺水速度－水速，再根据时间＝路程÷速度，即可求解。 【详解】600÷（100＋30－30） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：父子俩追回太阳帽要6分钟。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，解题关键是明确是逆水行船还是顺水行船，逆水船速＝船速－水速，顺水船速＝船速＋水速，追及时间＝路程差÷速度差。 7．72千米 【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6=1.5（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是9÷=54（千米），面包车速度是：54-6=48（千米/小时）．城门离出发点的距离是48×1.5，计算即可． 解答：解：10分钟=小时， 当面包车到达城门用的时间是： 9÷6=1.5（小时）． 小轿车的速度是： 9÷=54（千米）， 面包车速度是： 54-6=48（千米/小时）． 城门离学校的距离是： 48×1.5=72（千米）． 答：从出发点到城门的距离是72千米． 8．250米/分 【分析】设丽丽的速度是x米/分，根据等量关系：丽丽的速度×行驶的时间－君君的速度×行驶的时间＝400米，列方程解答即可。 【详解】解：设丽丽的速度是x米/分。 20x－230×20＝400 20x－4600＝400 20x－4600＋4600＝400＋4600 20x＝5000 20x÷20＝5000÷20 x＝250 答：丽丽的速度是250米/分。 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。 9．82 秒 【分析】乙车在后面追上甲车到完全超过甲车时追及长度为甲车车长加上乙车车身的长度，即 190＋220＝410米，也就是乙车追甲车的路程差，又知两车的速度差是24—19＝5（米/ 秒），根据追及问题的基本公式追及时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【详解】（190＋220）÷（24—19） ＝410÷5 ＝82（秒） 答：乙车追上甲车到完全超过共需82秒。 【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要能够理解追及时间＝路程差÷速度差。 10．15米/秒 【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。 【详解】900÷60＝15（米/秒） 答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。 【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。 11．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 12．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 13．680 【详解】根据题意可知，甲车走了1000×6=6000米 乙车走了800×8=6400米 长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=200米/分 丙车速度（200×2+6400）÷10=680米/分 14．840千米 【分析】此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达．说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）．因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地．路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间．则两地间的距离可求． 【详解】追及路程：35×（5-1）=140（千米） 追及时间：140÷（42-35）=20（小时） 两地之间的距离：42×20=840千米） 答：两地间的距离是840千米． 【点睛】此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑．由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了． 15．（1）19秒；（2）171秒 【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间＝路程和÷速度和求解即可； （2）这个一个超车过程，即追及问题。路程差为两车的车长和，根据追及时间＝路程差÷速度差求解即可。 【详解】（1）（250＋263）÷（15＋12） ＝513÷27 ＝19（秒） 答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒。 （2）（250＋263）÷（15－12） ＝513÷3 ＝171（秒） 答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒。 【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间＝路程和÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 16．286米 【详解】本题属于追及问题，行人的速度为千米/时=米/秒，骑车人的速度为千米/时=米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为米/秒，那么火车的车身长度可表示为或，由此不难列出方程．设这列火车的速度是米/秒，依题意列方程，得，解得．所以火车的车身长为（米）． 17．120,7.5 【详解】A)乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米）， 丙的速度是乙的． 因为乙到B时比丙多跑24米， 所以A、B相距米 B)甲跑120米，丙跑120-40=80米， 丙的速度是甲的 甲的速度是（米/秒） 18．1小时 【详解】(小时)． 19．53.5分钟 【分析】此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离．这段距离即路程差．由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟．可求路程差=80×36=2880（米）．由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（260-80）=16（分钟）追上学生队伍．那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知． 【详解】班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米） 追上学生队伍所用的时间：2880÷（260-80）=16（分钟） 从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米） 学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟） 答：学生走完全程需53.5分钟． 20．cd边上或ad边上 【详解】甲乙开始的距离（此处距离要分类讨论，最好作图）除以甲乙的速度差，从而求出追及时间，再根据路程等于速度乘时间算出所行路程，再算出具体是在哪条边． （1）甲乙的路程差为90米，速度差为 所以追及时间为 分 甲所行路程约为835.7米，周长为360米， ，即两圈还多0.3圈，最终在边上． （2）甲乙的路程差为270米， 追及时间为 分 甲所行路程为约2507米 圈，最终在ad边上． 【点睛】行程问题中的追及问题 21．60米 【分析】设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，求出他们的速度比。那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5，不妨设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，算出追及时间，然后用求出的追及时间乘上爸爸的速度即可。 【详解】解：设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5。 设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，追及时间为10÷（6－5）＝10，所以爸爸追上儿子至少要跑10×6＝60（米）。 答：爸爸至少60米才能追上儿子。 【点睛】此题解答的关键在于巧妙地设出未知数，根据路程、速度和时间的关系列式解答。 22．500分钟 【分析】根据已知条件得知，乙用40分钟所走的距离与丙用50分钟所走的距离相等，所以丙的速度是乙的；甲用100分钟所走的距离与丙用130分钟所走的距离相等．故丙用130分钟所走的距离，乙用了：（分钟），即甲用100分钟走的距离，乙用104分钟走完．由于甲比乙晚出发20分钟，当甲追上乙时，设甲用了x分钟，则乙用了（x＋20）分钟，由此可得方程：。 【详解】解：丙用130分钟所走的距离，乙用了： （分钟） 设甲用了x分钟，可得： 104x＝100（x＋20） 104x＝100x＋2000 4x＝2000 x＝500 答：甲出发后需要500分钟才能追上乙。 【点睛】首先根据行驶相同的距离、所用时间与速度成反比求出他们的速度比是完成本题的关键。 23．300 米 【分析】甲火车从后面追上到完全超过乙火车的路程差是甲、乙两列火车的车长之 和，还知道追及时间是60 秒，甲、乙两列火车的速度差25—17＝8（米/ 秒）， 根据追及问题的基本公式路程差＝追及时间×速度差，即可求出甲、乙两列火车车长之和，再减去甲车的车长就可以求出乙车的车长。 【详解】60×（25—17）—180 ＝60×8—180 ＝300（米） 答：乙火车长 300 米。 【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要理解追及问题的基本公式：路程差＝追及时间×速度差。 24．4分钟．1120米 【详解】 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，也就是爸爸与小明的速度差为 (米/分),爸爸追及的时间：(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此时离家的距离是：(米) 25．12米 【分析】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。 【详解】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4 解：设乙到达终点时，比丙领先x m。 5∶4＝10∶（20－x） 5（20-x）=40 100-5x=40 5x=60 x＝12 答：将比丙领先12米。 【点睛】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。 26．2940米 【详解】小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(米)追及时间为：(分钟)小强走的总路程为：(米) 27．分钟 【分析】在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【详解】160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 【点睛】钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 28．50分钟 【分析】甲早出发30分钟，当乙出发时，甲已经走了米。乙每分钟走80米，乙每分钟追上甲米，那么经过分钟，乙会追上甲。 【详解】（米） （米） （分钟） 答：乙出发50分钟后追上了甲。 【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。 29．16500米 【分析】从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解． 【详解】解：（60＋40）×15＝1500（米） 1500÷（50-40）=150（分） A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 答：A、B两地的距离是16500米． 【点睛】此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题和一个追及问题．而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间．利用这些关系层层推进即可解出答案． 30．1千米 【详解】追及时间为：(小时)，此时距部队驻地还有：(千米)． 31．190秒 【分析】列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，先求出列车速度和车长，在根据路程差÷速度差＝追及时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间，据此解答。 【详解】列车的速度是： （250－210）÷（25－23） ＝40÷2 ＝20（米/秒）， 列车的车身长：20×25－250＝250（米）。 列车与货车从相遇到相离所用时间为： （250＋320）÷（20－17） ＝570÷3 ＝190（秒）。 【点睛】本题考查了追及问题，灵活运用路程差÷速度差＝追击时间，这一公式。 32．4次 【分析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100－80＝20（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（80＋100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走80×（1＋9）＝800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（100×2），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知：走相同距离的路程，甲和乙所需时间比： （80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1 所以，甲和乙的速度比是 （100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9 即，甲走一个全程，乙走9个全程，甲行完一个全程，乙行9个全程。第一次是相遇，第二次是追上，..., 所以共相遇5次，追上4次。 答：乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题，计算出乙和甲第一次相遇时间，由乙的速度是甲的9倍，来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 33．646千米 【详解】根据题意画出线段图： 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间，由此可以求出、两地的路程,追及路程为：(千米),追及时间为：(小时),、两地的路程为：(千米). 34．900米 【详解】要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。 从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90－60）＝12（分钟），家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）。 答：家离学校有900米远。 35．192步 【详解】狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程，狗跑12步的时间等于兔跑27步的时间．所以兔每跑27步，狗追上5步（兔步），狗要追上80步（兔步）需跑[27×（80÷5）＋80]÷8×3＝192（步） 36．小时 【分析】这道题人多车少，需要通过合理的安排搭配，才能使问题很好的解决．根据题目的要求，关键是要解决每人骑车和步行的路程．由于无论是骑车还是步行，三人的速度都相同，并且是同时到达，因此每人步行的路程一定相等，同样每人骑车的路程也相等．我们将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，由此，问题的解决就比较简单了． 【详解】解：将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，这样步行的路程为：12×=8（千米）；骑车的路程为：12－8=4（千米）． 所以，所用的时间为：4÷20＋8÷5=（时）． 【点睛】把握骑车与步行的关系，是这道题的关键．由于合理地安排了骑车与步行的路程，使问题很巧妙的得到了解决． 37．7：25 【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。 【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度＝1∶2 原来用的时间：现在用的时间＝2∶1 7时46分－7时40分＝6（分钟） 取马克笔路上用的时间：6÷2＝3（分钟） 小钱在路上的时间：8时－7时40分－6分＝14（分钟） 拿好笔回学校的时间：14－6－3＝5（分钟） 第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5－3＝2（分钟） 从第一次遇见小塘到学校的时间：8时－7时46分＝14（分钟） 14÷2＝7 5×7＝35（分钟） 8时－35分＝7：25 小塘从家里出发的时间：7：25 答：小塘是7：25从家里出发的。 【点睛】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。 38．8小时 【详解】追及路程即为两地距离240千米，速度差（千米），所以追及时间（小时） 39．甲6米  乙4米 【详解】甲乙速度差为10/5=2 速度比为（4+2）：4=6：4 所以甲每秒跑6米，乙每秒跑4米． 40．25千米 【分析】这是一道“追及问题”，根据追及问题的公式，追及时间路程差时间差．由题意知，追及时间为秒钟，也就是小时，两车相距距离为路程差，速度差为（千米），也就是米，根据路程差＝追及时间×时间差解答即可。 【详解】5÷（60×60）×[（108－90）×1000] ＝5÷3600×[18×1000] ＝5×18×1000÷3600 ＝25（米） 答：在这辆车鸣笛时两车相距米。 【点睛】解答本题的关键在于学生需要能够想到用追击问题的公式去解答问题。注意其中的单位换算。 41．1米 【详解】甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍 由图可知，甲跑：(米)，乙跑：(米) 设乙跑到终点时甲跑X米． 88：96=x：108 x=99 甲距终点线：100-99=1米 42．125米／分钟 【详解】（米） ＝400÷5 ＝8（分钟） （米/分钟）。 答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。 43．400千米 【详解】由于甲车在途中停车小时，比乙车迟到小时，说明行这段路程甲车比乙车少用小时．可理解成甲车在途中停车小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行小时，两车同时到达地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：(小时)，乙车小时行的路程是：(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：(千米)，甲车所需的时间是：(小时)，、两地间的路程是：(千米)． 44．（1）甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米． （2）甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了12圈，乙走了10圈． 【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400÷（120-100）=20分钟） 这时：甲走了120×20=2400（米）    乙走了100×20=2000（米） （2）第二次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了120×40=4800（米） 4800÷400=12（圈），说明甲此时在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了120×40÷400=12（圈） 乙走了100×40÷400=10（圈） 答：甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米．甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上．这时甲走了12圈，乙走了10圈． 45．1080千米 【分析】速度×时间=路程，那么可用原计划每分钟飞行9千米乘30分钟即可得到原计划比现在慢飞行的路程，然后再用慢飞行的路程除以现在每分钟比原计划每分钟快飞行的速度可得到现在飞行所需要的时间，最后再用现在飞行的时间乘现在飞行的速度即可得到甲、乙两地相距的距离． 【详解】（30×9）÷（12﹣9）×12 =270÷3×12 =90×12 =1080（千米） 答：甲、乙两地相距1080千米． 46．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 47．148千米 【详解】方法一：根据题意，画出线段示意图： 从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即(千米)方法二：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：(千米) 48．25：18 【详解】根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9．甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为  25：20：18．甲和丙的速度比为25：18 49．3分钟 【详解】75×12÷(375－75)=3(分钟) 50．160千米 【详解】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：(小时),追及路程为：(千米),、两地间的距离为：(千米) 51．中午12时 【详解】甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地距离千米．赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，走了60千米，每小时走千米．所以，赵追上李时用了：小时，即中午12时． 52．10小时 【详解】小李小时走：（千米），又知小王在小李的出发地点前面千米处出发，则知道两人的路程差是（千米）．每小时小王追上小李（千米），则千米里面有几个千米，则追及时间就是几小时，即：（小时）． 学科网（北京）股份有限公司 $$