5.4 函数的奇偶性8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.4 函数的奇偶性8题型分类 知识点1 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 注：（1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 知识点2 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点3 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （一） 用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 题型1：函数的奇偶性的判断与证明 1-1．（2024高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 1-2．（2024高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)． (2)． (3) 1-3．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 题型2：抽象函数的奇偶性问题 2-1．（2024高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 2-2．（2024高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． （二） 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 题型3：已知函数的奇偶性求表达式 3-1．（2024高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 3-3．（2024高一上·云南丽江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 3-4．（2024高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 3-5．（2024高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . （三） 1.利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 2.函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 题型4：已知函数的奇偶性求值 4-1．（2024·福建漳州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 4-2．（2024高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 4-3．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 4-4．（2024高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 题型5：已知奇函数+M 5-1．（2024高一上·湖南张家界·期中）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 . 5-2．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则 . 5-3．（2024高一上·湖北武汉·期末）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 题型6：已知函数的奇偶性求参数 6-1．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 6-2．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，是偶函数，则 ． 6-3．（2024高一上·上海松江·期末）若函数是定义在上的奇函数，则 . 6-4．（2024高一上·江西·阶段练习）已知是奇函数，则 . 6-5．（2024高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． （四） 1. （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 2.巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 题型7：利用函数奇偶性识别图像 7-1．（2024高一上·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C．D． 7-2．（2024高一上·云南·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一下·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． （五） 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 题型8：奇偶性与单调性的综合运用 8-1．（2024高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增， 则（ ） A． B． C． D． 8-2．（2024高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 8-3．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 8-4．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 8-5．（2024高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 8-6．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 2．（2024高一上·全国·课后作业）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·广东中山·期末）已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·吉林长春·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B． C． D．3 6．（2024高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·山东枣庄·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·山东临沂·阶段练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·湖北黄冈·期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 二、多选题 13．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 14．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 15．（2024高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 16．（2024高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·江苏宿迁·期中）下列说法中正确的有（    ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C．若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D．若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 18．（2024高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（2024高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 20．（2024高一上·天津和平·期中）已知，，则 . 21．（2024高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 22．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 23．（2024高一上·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是 ；函数 图像的对称中心为 . 24．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 25．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 26．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 27．（2024高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 28．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ． 29．（2024高一下·云南迪庆·期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 . 30．（2024高一上·广东中山·阶段练习）设是定义在上的偶函数，则是 ． 31．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 32．（2024高一上·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 33．（2024高三上·江西·期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则 . 34．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 35．（2024高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 36．（2024高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 37．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 38．（2024高一上·天津和平·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，则 . 39．（2024高一上·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 40．（2024高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 41．（2024高三上·山东菏泽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式 ； （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ． 42．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心是 ． 43．（2024高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 44．（2024高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 45．（2024高一下·重庆万州·开学考试）已知函数，若，则实数 ． 46．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 47．（2024高一·全国·竞赛）已知实数满足，则 ． 48．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（为常数），已知，则 . 49．（2024高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 四、解答题 50．（2024高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 51．（2024高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 52．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 53．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 54．（2024高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 55．（2024高一上·河南郑州·期中）判断下列函数的奇偶性并证明 (1)； (2)； (3). 56．（2024高一上·北京·期中）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 57．（2024高一上·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 58．（2024高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 59．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 60．（2024高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 61．（2024高一下·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 62．（2024高三上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 63．（2024高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，求函数图像的对称中心，并说明理由． (3)请利用函数的对称性，求的值； 64．（2024高一上·山东济南·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知． (1)利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 65．（2024高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.4 函数的奇偶性8题型分类 知识点1 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 注：（1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 知识点2 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点3 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （一） 用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 题型1：函数的奇偶性的判断与证明 1-1．（2024高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数. 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 1-2．（2024高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)． (2)． (3) 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (3)偶函数，理由见解析 【分析】由奇偶函数的定义判断即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为． 因为，都有， 且， 所以是奇函数． （2）的定义域为，当时，， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （3）当时，， 则， 当时，， 则， 所以是偶函数． 1-3．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 题型2：抽象函数的奇偶性问题 2-1．（2024高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. （2）证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 2-2．（2024高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)， (2)为奇函数，理由见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减． 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． （二） 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 题型3：已知函数的奇偶性求表达式 3-1．（2024高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 3-2．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解. 【详解】当时，，， 则． 故答案为：. 3-3．（2024高一上·云南丽江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出即得解； （2）根据奇函数的定义和性质求出的解析式即得解. 【详解】（1）由题得， 所以. （2）设，则， 则， 因为函数是R上的奇函数，所以， 综上所述. 3-4．（2024高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 3-5．（2024高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； （三） 1.利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 2.函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 题型4：已知函数的奇偶性求值 4-1．（2024·福建漳州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，， 由，则. 故答案为：. 4-2．（2024高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 【答案】 【分析】根据函数是奇函数，得到，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以，所以. 故答案为：. 4-3．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，，则可求得答案. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为： 4-4．（2024高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【答案】 【分析】按题意求函数表达式即可 【详解】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 题型5：已知奇函数+M 5-1．（2024高一上·湖南张家界·期中）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 . 【答案】 【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案. 【详解】设函数，则的最大值为，最小值为， ，则， 所以是奇函数，所以，所以． 故答案为：. 5-2．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质即可. 【详解】设，则，则 因为， 所以， 则. 故答案为： 5-3．（2024高一上·湖北武汉·期末）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整理为，令，由奇偶性定义可证得为奇函数，则，由此可求得的值. 【详解】， 可令，则， 为定义在上的奇函数，， 则，. 故选：D. 题型6：已知函数的奇偶性求参数 6-1．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 6-2．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，是偶函数，则 ． 【答案】4 【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为函数，是偶函数， 则，解得，可知， 且，即， 整理得，结合的任意性可得，即， 所以. 故答案为：4. 6-3．（2024高一上·上海松江·期末）若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质得到和，再解方程即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数 所以，解得. 因为， 所以，解得. 所以. 故答案为： 6-4．（2024高一上·江西·阶段练习）已知是奇函数，则 . 【答案】0 【分析】由解得，再验证是奇函数即可. 【详解】因为的定义域为，且是奇函数， 所以， 当时，， 满足，则是奇函数. 故答案为：. 6-5．（2024高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据条件得到恒成立，即可求出结果. 【详解】由题知，得到， 整理得到恒成立，所以，得到， 故答案为：. （四） 1. （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 2.巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 题型7：利用函数奇偶性识别图像 7-1．（2024高一上·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象． 故选:D． 7-2．（2024高一上·云南·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨给定函数的奇偶性可排除两个选项，再确定时函数值正负即可判断作答. 【详解】函数的定义域，， 因此函数是奇函数，图象关于原点对称，选项B，D不满足， 当时，，即，选项C不满足，A符合题意. 故选：A 7-3．（2024高一下·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，排除A、C，再根据选出答案. 【详解】，定义域关于原点对称， 由，所以是奇函数，排除A、C； 当时，，排除D； 故选：B. 7-4．（2024·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解. 【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误. 故选：A. （五） 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 题型8：奇偶性与单调性的综合运用 8-1．（2024高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B 8-2．（2024高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 8-3．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定值及性质求出，再验证得解. （2）利用增函数的定义推理即得. （3）由（2）的结论及已知脱去法则，再解一元二次不等式组得解. 【详解】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 8-4．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【分析】依题意可知函数是在上单调递增的奇函数，再由结合单调性和奇偶性即可求得的解集. 【详解】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 8-5．（2024高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 8-6．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论x的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】设， 而是定义在上的奇函数，即， 故，即为偶函数； 对任意的，不妨设，则 ， 又对任意的满足， 当时，，则，即， 而，故， 则在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增， ，故，则， 而不等式，即为不等式或， 即或， 故或， 即不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解. 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，因为和都是偶函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故D错误. 故选：B 2．（2024高一上·全国·课后作业）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性与奇偶性分析判断. 【详解】由知，在上单调递增， ∵是奇函数，则在上单调递增， 由，可得，B错误，D正确； 虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立； 故选：D. 3．（2024高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 故选：D． 4．（2024高一上·广东中山·期末）已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数， A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错. C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错. D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错. B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合. 故选：B 5．（2024高一上·吉林长春·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质分别求得与，从而得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 又，即，则， 所以. 故选：B. 6．（2024高一上·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 7．（2024高一上·山东枣庄·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的对称性，再结合图象平移以及奇函数的性质，即可判断选项. 【详解】，函数关于对称， 函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到为奇函数. 故选：D 8．（2024高一上·山东临沂·阶段练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的奇偶性，利用奇偶性及在上函数值的范围判断作答. 【详解】函数定义域为R，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C； 当时，，当且仅当时取等号，即当时，，A，D不满足，B符合题意. 故选：B 9．（2024高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，得到为减函数，再结合偶函数即可得到结论． 【详解】因为对任意，，当时都有, 所以在上递减， 又因为是偶函数， 所以, 所以,所以， 故选:B． 10．（2024高一上·湖北黄冈·期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数， 所以 所以函数是定义在上的偶函数， 因为对，且有， 所以在上单调递增， 所以， 当时，则有， 所以，即， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为， 所以即为， 所以，解得. 故选：B. 11．（2024高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为为上的偶函数，，所以， 又当时，单调递减，所以当时，单调递增， 又，所以，即，解得或. 故选：B. 12．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 二、多选题 13．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】根据奇偶函数的定义直接判断求解即可. 【详解】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设， 因为是定义在上，所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故B正确； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 14．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断. 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 15．（2024高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得到；B选项，令得到；CD选项，先赋值求出，进而令得到，得到C错误，D正确. 【详解】A选项，中，令得，，A正确； B选项，中，令得，， 解得，B正确； CD选项，中，令得，， 解得， 中，令得， ， 函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确. 故选：ABD 16．（2024高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列所给结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AB，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可，对于CD，由已知条件可得，再根据在上单调递减，分析判断即可. 【详解】对于AB，因为，所以， 又为偶函数，则， 因为在上单调递减，所以，从而， 因此选项A正确，B错误； 对于CD，因为，所以， 因为为偶函数，所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以选项C正确，D错误， 故选：AC. 17．（2024高一上·江苏宿迁·期中）下列说法中正确的有（    ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B．若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C．若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D．若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的特点逐一判断即可. 【详解】对于A：若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数，A正确； 对于B：若定义在上的函数满足，则函数有可能是奇函数，如，B错误； 对于C：若定义在上的函数满足，明显不满足对任意，都有，则函数不是单调减函数，C正确； 对于D：若定义在上的函数满足，由于不一定满足单调性定义中的任意性，故函数可能不是单调函数，D错误. 故选：AC. 18．（2024高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据奇函数定义可得，，即可代值逐一求解. 【详解】因为均为奇函数，所以，即①，， 因为，即，所以，即②． 由①，取得， 由②，令，得；令，得，所以． 由①，令，得． 故选：ABC 三、填空题 19．（2024高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 20．（2024高一上·天津和平·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】构造，得到为奇函数，由得到，进而求出，求出. 【详解】令，定义域为， 则， 故为奇函数， 又，故，即， 故. 故答案为： 21．（2024高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【分析】根据题意构造奇函数，结合奇函数性质求解答案即可. 【详解】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 22．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，由于是定义在上的奇函数， 所以， 故答案为：0 23．（2024高一上·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是 ；函数 图像的对称中心为 . 【答案】 是偶函数 (-1，2) 【分析】(1)根据函数对称性可写出关系式，类比对称中心的方法可以写出答案. (2)根据题意可以设函数的对称中心为，根据，代入也为奇函数，可列方程组解决. 【详解】若函数的图像关于直线成轴对称图形，则有 所以为偶函数. 若为偶函数，则有， 所以函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件为是偶函数. 设函数图像的对称中心为，则函数为奇函数 即为奇函数 所以解得 故答案为：(1) 是偶函数  (2) (-1，2) 24．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围. 【详解】∵，∴. ∵，∴. ∴，解得， ∴的取值范围是. 故答案为：. 25．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解. 【详解】由题意首先，解得， 即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以. 故答案为：. 26．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 27．（2024高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出. 【详解】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 28．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的定义得到在上单调递增，然后根据为奇函数，得到在上单调递增，，然后分和两种情况解不等式即可. 【详解】因为对任意都有，所以在上单调递增， 又为奇函数，，则在上单调递增，， 可变形为或，解得或. 故答案为：. 29．（2024高一下·云南迪庆·期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由于为奇函数，所以， 在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，故在单调递减， 由得， 所以，解得， 故答案为： 30．（2024高一上·广东中山·阶段练习）设是定义在上的偶函数，则是 ． 【答案】 【分析】由函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，可求，再根据偶函数定义，可求. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即， 所以是定义在上的偶函数，所以， 即，整理得， 因为不恒为，所以. 所以. 故答案为：. 31．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【分析】当时，，由函数为奇函数，求出时函数解析式即可. 【详解】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 32．（2024高一上·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】，由是偶函数可得，即恒成立. 故. 故答案为：1 33．（2024高三上·江西·期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则 . 【答案】5 【分析】由已知结合偶函数的定义及定义域关于原点对称可分别求，进而可求得答案． 【详解】因为函数是偶函数，其定义域为， 所以，即， 又，即， 则，所以， 则． 故答案为：5． 34．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 35．（2024高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意构造函数，利用的奇偶性即可求解. 【详解】根据题意造函数，即， 因为， 所以是奇函数. 又因为，所以，得. 从而，于是. 故答案为：. 36．（2024高一上·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【分析】根据函数的奇偶性结合，列式求值，即得答案. 【详解】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 37．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数性质求解即可. 【详解】因为偶函数，所以. 故答案为： 38．（2024高一上·天津和平·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数性质可分别求得即可得出结果. 【详解】根据题意，由奇函数性质可知， 又因为，所以； 所以. 故答案为： 39．（2024高一上·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 【答案】 【分析】利用偶函数性质求解析式即可. 【详解】令，则，故， 又， 所以当时，. 故答案为： 40．（2024高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 41．（2024高三上·山东菏泽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式 ； （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）由定义知，将奇函数向左平移2个单位即可得到的解析式； （2）根据定义，得出恒成立，即可解出. 【详解】（1）由定义知，因为关于点成中心对称，则有为奇函数.则函数可以看作由向左平移两个单位得到. 可令，则； （2）函数的图象关于点对称，根据定义可得， 函数应为奇函数， ， 有奇函数定义知，， 则有，恒成立， 所以，   解得 所以，. 故答案为：（答案不唯一）；-4. 42．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心是 ． 【答案】. 【分析】设的对称中心为，则为奇函数．所以，化简可求出的值，从而可得答案. 【详解】设的对称中心为， 则由题意可知为奇函数． 所以， 所以， 化简得， 因为，所以，解得， 所以函数的对称中心是， 故答案为：. 43．（2024高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 【答案】 【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：. 所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增. 因为，即， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解. 44．（2024高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 45．（2024高一下·重庆万州·开学考试）已知函数，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意求出为奇函数且单调递增，从而可求得，从而可求得. 【详解】因为，定义域为， 所以，即为奇函数， 因为在上单调递增， 若，则， 所以，即． 故答案为：. 46．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】令并判断奇偶性，由及奇偶对称性求. 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0，即， 所以． 故答案为：4 47．（2024高一·全国·竞赛）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】构造函数，探究其奇偶性，推得的关系，从而得解. 【详解】因为， 令，则， 易知的定义域为，又， 所以为奇函数，且在R上单调递增，故，则. 故答案为：. 48．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（为常数），已知，则 . 【答案】 【分析】构造并判断为奇函数，利用奇函数性质求函数值. 【详解】令，则且定义域为R， 所以为奇函数，则，故， 所以. 故答案为： 49．（2024高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 【答案】 【分析】构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果. 【详解】， 设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为：2. 四、解答题 50．（2024高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据结合函数是奇函数，结合题意，求得函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】（1）证明：任取，且， 则， 因为，可得，， 所以，即．所以在上单调递减． （2）解：当时，，因为是奇函数， 额的，所以， 由（1）知，当时，单调递减，所以，， 又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以． 综上可知，的最大值为2，最小值为． 51．（2024高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用奇函数的性质求函数解析式. （2）分情况先求时不等式的解集，在根据函数的奇偶性确定时的解集. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以有， 令，则，， 又因为 所以， 对照可得:，， 所以 （2） 当时，，即或， 或 解得 无解 所以时，不等式解集为； 当时，因为函数为奇函数，所以有的解集为； 综上有：不等式的解集为或. 52．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 【答案】(1)， (2) (3)作图见解析，单调增区间，，值域 【分析】（1）根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可； （2）由偶函数的性质结合已知条件求解； （3）根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以；； （2）设，则， 因为当时，， 所以， 因为是偶函数， 所以； （3）因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象， 由图象可知的单调增区间，， 当时，， 当时，， 所以值域为. 53．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 54．（2024高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）先求定义域，判断与的关系； （2）先求定义域，判断与的关系； （3）先求定义域，判断与的关系； 【详解】（1）定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2），所以定义域为，关于原点对称， 此时，所以既是奇函数又是偶函数. （3），所以定义域为， 不关于原点对称，所以为非奇非偶函数. 55．（2024高一上·河南郑州·期中）判断下列函数的奇偶性并证明 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)为偶函数；证明见详解 (2)为非奇非偶函数；证明见详解 (3)既为偶函数也为奇函数；证明见详解 【分析】先求定义域，看其是否关于原点对称，再验证间的关系. 【详解】（1）为偶函数 证明如下： 因为， 所以的定义域为,关于原点对称， 所以为上的偶函数. （2）为非奇非偶函数. 证明如下： 因为， 所以，解得且 所以的定义域为,关于原点不对称 所以为非奇非偶函数. （3）为偶函数 证明如下： 因为， 所以解得， 则的定义域为且关于原点对称，且 ， 所以既为为偶函数也是奇函数. 56．（2024高一上·北京·期中）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）代值计算可得出的值； （2）判断出函数为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明可得结论. 【详解】（1）因为，则，所以，. （2）函数为奇函数，证明如下： 对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数. 57．（2024高一上·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 【答案】(1)①；② (2)答案详见解析 【分析】（1）根据题目所给推广知识求得的对称中心并由此求得的值. （2）结合函数奇偶性、对称性等知识写出推广结论. 【详解】（1）①，， 而满足， 即为奇函数，所以的图象关于点中心对称. ②，由①得，即， 所以 . （2）“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”， 类比已知条件可得，一个一个推广结论为： 函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数. （答案不唯一） 58．（2024高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 59．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 60．（2024高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 61．（2024高一下·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，由题意可得函数为奇函数，由此结合，利用奇偶性，可得相应等式，求出，即可求得答案. （2）由（1）结论可得，由此将所要求值的等式分组求和，即可求得答案. 【详解】（1）由题意设函数图象的对称中心为， 由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 即函数为奇函数， 而， 由于，即 ， 因为，故，解得， 即函数图象的对称中心为； （2）由（1）的结论可知， 则， 而， 故 . 62．（2024高三上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)（注：答案不唯一，只要满足为奇函数） (2) 【分析】(1)由推广结论可得为奇函数，由此写出符合要求的函数解析式；(2) 设为图象的对称中心，为奇函数，设，利用为奇函数，则，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数的图象关于点成中心对称， 所以为奇函数，只要设， 则. （注：答案不唯一，只要满足为奇函数） （2）设函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 63．（2024高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，求函数图像的对称中心，并说明理由． (3)请利用函数的对称性，求的值； 【答案】(1)单调递增区间是，；单调递减区间是 (2)对称中心为，理由见解析 (3)4042 【分析】（1）求导之后解不等式可求解； （2）根据定义可证明并求得对称中心； （3）由对称中心的性质可求解. 【详解】（1），则． 令，可解得或 所以的单调递增区间是，； 令，可解得所以的单调递减区间是； 综上，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是 （2）设的图象的对称中心为，则为奇函数， 所以，即， 所以， 即， 整理得，（对函数定义域内的任意都成立）， 所以，解得， 所以函数的图象的对称中心为； （3）由（2）知函数图象的对称中心为， 所以， 则， 又，所以； 64．（2024高一上·山东济南·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知． (1)利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)为单调递减函数，不等式的解集见解析. 【分析】（1）利用已知条件令，求出的解析式，利用奇函数的定义判断为奇函数，即可得证； （2）由（1）得，原不等式变成，利用函数的单调性化为含有参数的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）证明：∵，令， ∴，即， 又∵， ∴为奇函数， 有题意可知，的图象关于成中心对称图形； （2）易知函数为单调递增函数，且对于恒成立, 则函数在上为单调递减函数， 由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即， 不等式得： ， 即，则， 整理得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 65．（2024高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）因为，且的定义域为R，所以为偶函数； （2）因为，且的定义域为R，所以为奇函数； （3）因为， 且的定义域为R，所以为奇函数； (4)因为，且的定义域为R， 所以为奇函数. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$