精品解析：苏科版2023-2024学年七年级数学下册期末热身练习试卷

2023-2024学年下学期苏科版七年级期末热身练习数学试卷 测试内容：七下全部 测试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） （23-24贵州毕节·期末） 1. 下列语句中是命题的是（ ） A. 作的平分线 B. 美丽的大自然 C. 同位角相等 D. 你吃饭了吗 （2024·上海·中考真题） 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. （2024·江苏盐城·中考真题） 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. （2024·四川凉山·中考真题） 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. （2024·四川南充·中考真题） 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A B. C. D. （2024·四川南充·中考真题） 6. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2024·四川成都·中考真题） 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. （23-24七年级下·江苏南通·期中） 8. 关于x，y的二元一次方程（a，b是常数，且），有下列命题： ①是方程的解；②；③；④是方程的解，若上述四个命题中只有一个假命题，则该假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） （2024·江苏南京·二模） 9. 我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是______． （23-24七年级下·江苏南京·期中） 10. “偶数能被整除”的逆命题是______． （23-24七年级下·浙江金华·期中） 11 如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记）___________，使得． （23-24七年级下·江苏无锡·期中） 12. 若是完全平方式，则______． （23-24七年级下·浙江温州·期中） 13. 已知是二元一次方程组的解，则________． （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 14. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为______． （2024·山西大同·三模） 15. 某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为______元． （23-24七年级下·北京西城·期中） 16. 2024年4月8日，德胜中学迎来了第二届科技节的盛大开幕，从8日至10日，一系列精彩纷呈的活动如德胜模型展示、合作竞赛、微讲坛、科技小制作以及科技嘉年华等接踵而至，同学们热情高涨，纷纷踊跃参与，初二年级某班共有36名同学积极报名了科技微讲坛活动．其中有15名男生和5名女生参加了位于东校区的讲坛，另有16名男生和15名女生参加了位于西校区的讲坛，有以下几个说法： ①只在东校区参加了讲坛的男生比只在西校区参加了讲坛的男生少； ②只在东校区参加了讲坛的男生和只在西校区参加了讲坛的女生可能一样多； ③报名了科技微讲坛的男生人数一定比女生人数多； ④在两个校区都参加了讲坛的男生一定比在两个校区都参加了讲坛的女生多； 其中正确的是________．  三、解答题（本大题共10小题，共72分．） （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 17. 分解因式： （1） （2） （23-24七年级下·浙江温州·期中） 18. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． （23-24七年级下·浙江温州·期中） 19. 解下列方程组： （1）； （2）． （23-24宁夏吴忠·期中） 20 解不等式组：． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 21. 已知关于的方程组，其中，为整数． （1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值； （2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． （2024·四川成都·中考真题） 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． （23-24七年级下·浙江衢州·期中） 23. 根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ （2023七年级下·江苏盐城.质检） 24. 概念学习．已知，点P为其内部一点，连接，在中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点P为的等角点． （1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”． ①内角分别为的三角形存在等角点；______； ②任意的三角形都存在等角点；________； （2）如图①，点P是锐角等角点，若，探究图①中，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （3）如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数． （23-24七年级下·安徽合肥·质检） 25. 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （2）若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． （23-24七年级下·江苏苏州·期中） 26. 【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期苏科版七年级期末热身练习数学试卷 测试内容：七下全部 测试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） （23-24贵州毕节·期末） 1. 下列语句中是命题的是（ ） A. 作的平分线 B. 美丽的大自然 C. 同位角相等 D. 你吃饭了吗 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题就是判断一件事情的语句，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据命题的定义可知，四个选项中只有C选项中的语句是命题， 故选：C． （2024·上海·中考真题） 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． （2024·江苏盐城·中考真题） 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B （2024·四川凉山·中考真题） 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法和乘法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． （2024·四川南充·中考真题） 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． （2024·四川南充·中考真题） 6. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． （2024·四川成都·中考真题） 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． （23-24七年级下·江苏南通·期中） 8. 关于x，y的二元一次方程（a，b是常数，且），有下列命题： ①是方程的解；②；③；④是方程的解，若上述四个命题中只有一个假命题，则该假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了假命题，解二元一次方程组等知识．熟练掌握假命题，解二元一次方程组是解题的关键． 若①④为真命题，则，可得，此时，，②③均为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾；即①④中有一个是假命题，当①②③为真命题时，，解得，，此时④假命题，故符合要求；当②③④为真命题时，，解得，，此时①②为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾；然后判断作答即可． 【详解】解：若①④为真命题，则， 解得，， 此时，，②③均为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾； ∴①④中有一个是假命题， 当①②③为真命题时，， 解得，，此时④假命题，故符合要求； 当②③④为真命题时，， 解得，，此时①②为假命题，与四个命题中只有一个假命题矛盾； 综上，④为假命题， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） （2024·江苏南京·二模） 9. 我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． （23-24七年级下·江苏南京·期中） 10. “偶数能被整除”的逆命题是______． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 【详解】解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． （23-24七年级下·浙江金华·期中） 11. 如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记）___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴添加的条件为． 故答案为：（答案不唯一）． （23-24七年级下·江苏无锡·期中） 12. 若是完全平方式，则______． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或， 故答案为：8或． （23-24七年级下·浙江温州·期中） 13. 已知是二元一次方程组的解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解法是正确解答的关键．根据二元一次方程组的解法求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解： 得： 将代入①中得：， 解得：， 该方程组解为：， ，， ， 故答案为：． （23-24七年级下·贵州黔南·期末） 14. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组无解，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解可得，解不等式即可求解，理解不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． （2024·山西大同·三模） 15. 某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为______元． 【答案】675 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元，根据题意列得二元一次方程组，求得和的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元， 依题意得， 解得， ∴（元）， 故答案为：675． （23-24七年级下·北京西城·期中） 16. 2024年4月8日，德胜中学迎来了第二届科技节的盛大开幕，从8日至10日，一系列精彩纷呈的活动如德胜模型展示、合作竞赛、微讲坛、科技小制作以及科技嘉年华等接踵而至，同学们热情高涨，纷纷踊跃参与，初二年级某班共有36名同学积极报名了科技微讲坛活动．其中有15名男生和5名女生参加了位于东校区的讲坛，另有16名男生和15名女生参加了位于西校区的讲坛，有以下几个说法： ①只在东校区参加了讲坛的男生比只在西校区参加了讲坛的男生少； ②只在东校区参加了讲坛的男生和只在西校区参加了讲坛的女生可能一样多； ③报名了科技微讲坛的男生人数一定比女生人数多； ④在两个校区都参加了讲坛男生一定比在两个校区都参加了讲坛的女生多； 其中正确的是________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了列代数式表达式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设名男生参加讲坛，则名女生参加讲坛，分别表示即有名男生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，名女生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，然后得出只参加一种讲坛的男生、女生的人生，结合各个说法进行分析，即可作答． 【详解】解：设名男生参加讲坛，则名女生参加讲坛， ∵有15名男生和5名女生参加了位于东校区的讲坛，另有16名男生和15名女生参加了位于西校区的讲坛， ∴， 即有名男生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，名女生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛； ∴只在东校区参加了讲坛的男生为，只在西校区参加了讲坛的男生为， ∴ 则只在东校区参加了讲坛的男生比只在西校区参加了讲坛的男生少是正确的； 同理，只在东校区参加了讲坛的女生为，只在西校区参加了讲坛的女生为， ∴当只在东校区参加了讲坛的男生和只在西校区参加了讲坛的女生可能一样多时， 则 解得，不是正整数，故舍去 ∴②是错误的； 当报名了科技微讲坛的男生人数一定比女生人数多时， 则，解得 但题干没有条件说明 故③是错误的； ∵ 解得 ∵在的范围内 ∴在两个校区都参加了讲坛的男生一定比在两个校区都参加了讲坛的女生多， 故④是正确的； 故答案为：①④  三、解答题（本大题共10小题，共72分．） （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法和分组分解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式即可； （2）先分组，再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． （23-24七年级下·浙江温州·期中） 18. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先用单项式乘多项式和平方差公式进行化简，然后再合并同类项即可； （2）先根据整式除法和完全平方公式进行计算，再合并同类项化简，最后将a、b的值代入即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ， 原式． （23-24七年级下·浙江温州·期中） 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握二元一次方程的解法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 将②式代入①式得： ， ， ， ， 该方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 得： ， ， ， ， 将代入①得：， 解得：， 该方程组的解为：． （23-24宁夏吴忠·期中） 20. 解不等式组：． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4，不等式两边同除，不等号的方向没变，； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 任务一：根据不等式的解法逐步分析即可； 任务二：根据不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可． 【详解】解：任务一：该同学的解答过程中第4步出现了错误，错误原因是不等式两边同除，不等号的方向没变，不等式①的正确解集是； 故答案为：4，不等式两边同除，不等号的方向没变，； 任务二：由②得： ， ， ， ， 不等式组的解集为：． （23-24七年级下·浙江嘉兴·期末） 21. 已知关于的方程组，其中，为整数． （1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值； （2）当时，方程组否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】（1）， （2）没有，理由见详解 【解析】 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【小问1详解】 解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， 【小问2详解】 解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 （2024·四川成都·中考真题） 22. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ （23-24七年级下·浙江衢州·期中） 23. 根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元；任务2：共有2种购买方案；任务3：班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键．任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；任务2：设A款奶茶为a杯，B款奶茶的销售单价为b杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可；任务3：设班主任购买的奶茶中A型不加料的奶茶买了m杯，A型加料的奶茶和B型不加料的奶茶买了n杯，则B型加料的奶茶买了杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元， 由题意得， 解得， 所以，A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元； 任务2：设A款奶茶为a杯，B款奶茶的销售单价为b杯， 由题意得， ∵a、b均为正整数， ∴或， 所以，共有2种购买方案； 任务3：设班主任购买的奶茶中A型不加料的奶茶买了m杯，A型加料的奶茶和B型不加料的奶茶买了n杯，则B型加料的奶茶买了杯， 由题意得， ∴， ∵均为正整数， ∴， ∴（杯）， 所以，班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯． （2023七年级下·江苏盐城.质检） 24. 概念学习．已知，点P为其内部一点，连接，在中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点P为的等角点． （1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”． ①内角分别为的三角形存在等角点；______； ②任意的三角形都存在等角点；________； （2）如图①，点P是锐角的等角点，若，探究图①中，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （3）如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数． 【答案】（1）①真命题；②假命题； （2），理由见解析； （3），，． 【解析】 【分析】（1）①根据等角点的定义，可知内角分别为、、的三角形存在等角点，②根据等角点的定义，等边三角形不存在等角点，据此判断即可； （2）根据中，以及进行推导，即可得出、、之间的数量关系； （3）先连接，，再根据的三个内角的角平分线的交点是该三角形的等角点，以及三角形内角和为，得出关于的方程，求得的度数即得出可三角形三个内角的度数． 【小问1详解】 ①根据等角点的定义，如图所示的三角形就存在等角点P， ∴内角分别为、、的三角形存在等角点是真命题； ②如图等边三角形中的 ∴等边三角形中不存在等角点； ∴任意的三角形都存在等角点是假命题， 故答案为：真命题，假命题； 【小问2详解】 如图①，在中，，， ； 【小问3详解】 如图②，连接， 为的角平分线的交点， ，， 为的等角点， ，，， 又， ， ， 该三角形三个内角的度数分别为，，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为，得出角的关系式并进行求解． （23-24七年级下·安徽合肥·质检） 25. 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （2）若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】（1）是“无缘组合”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【小问1详解】 解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． 【小问2详解】 解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， 【小问3详解】 解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． （23-24七年级下·江苏苏州·期中） 26. 【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$