第一章　丰富的图形世界　单元培优测试卷　2024—2025学年北师大版数学七年级上册

2024-2025学年北师大版数学七年级上册第一单元培优测试卷 时间：100分钟；总分：120分 测试范围：北师大版七年级上册（第1章 丰富的图形世界） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是 A．B． C． D． 2．如图，把一个棱长是40厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的侧面积是多少平方厘米？正确的列式是 A． B． C． D． 3．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是 A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 4．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是 A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转 5．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是 A． B． C． D． 6．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 7．下列几何体是三棱柱的是 A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的有 ①圆锥和圆柱的底面都是圆                     ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形     ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法中正确的是 A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 10．动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是 A．1 B．2 C．3 D．6 二、填空题 11．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 12．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 13．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 14．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．    15．一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是 立方厘米． 三、解答题 16．如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求的值． 17．两张长方形纸片如图1、图2所示，小容将图1长方形纸片卷起来从而得到一个圆柱体；小易将图2长方形纸片绕其一条边所在直线旋转一周，从而得到一个圆柱体．请你通过计算判断哪位同学得到的圆柱体体积大（取3）．    18．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．   (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 19．一块长方形铁皮（如图），长25厘米，宽15厘米，从四个角分别剪去边长2厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成没有盖子的铁盒，请你帮忙计算一下：做这样一个盒子至少需要多少铁皮？铁盒的容积是多少？      20．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 21．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c． (1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______； (2)如图3，若a，b，c满足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值． 22．一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 23．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______； A．B． C． D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）； (3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？ (4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 第一单元培优试卷第1页，共3页 第一单元培优试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答 案 1．B 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．C 10．D 11．15条或14条或12条或13条 12．路 13．④⑤⑥ 14．51 15．15.7 16． 解：根据题意得，，解得：． 17． 解：小容有两种不同的卷法： 当小容同学以为圆柱底面圆周长，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 当小容同学以为圆柱底面圆周长，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 小易有两种不同的旋转方法： 当小易同学绕的边旋转时，即以为圆柱底面圆半径，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 当小易同学绕的边旋转时，即以为圆柱底面圆半径，为圆柱高时， 圆柱体的体积： ， ∴小易同学将图2长方形纸片绕的边旋转时得到的圆柱体体积大． 18． （1）方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）． 19． 解： （平方厘米）， （立方厘米）， 答：做这样一个盒子至少需要359平方厘米铁皮，铁盒的容积是462立方厘米． 20． （1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， （2）由（1）可知：无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：，∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， （3）如图，   ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， （4）  ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为， 21． （1）解： “a”与“7”相对，“b”与“-3”相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴a=-7，b=3， ∵点C为线段AB的中点， ∴c==-2， （2）解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0， ∴a+5=0，b+4=0，c-3=0， ∴a=-5，b=-4，c=3， ②当点A与点C重合时，则2t=3-（-5），解得t=4， 当点B与点C重合时，则t=3-（-5），解得t=8， 可见点A先到达点C， 只存在AB=AC，且点A在点B右侧而在点C左侧的情况， ∴=-5+2t，解得：t=3． ∴当A为BC的中点时，t=3． 22． 结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：   最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 23． （1）解：正方体的所有展开图，如下图所示： 只有B属于这11种中的一个， （2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有①②③， （3）解；设运动的时间为t， 如图1所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为4，点C在数轴上表示的数为7， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则，解得； 当P是的中点时，则，解得； 当Q时的中点时，则，解得； 如图2所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为11， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则，解得； 当P是的中点时，则，解得； 当Q时的中点时，则，解得； 如图3所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为11，点C在数轴上表示的数为14， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则，解得（舍去）； 当P是的中点时，则，解得； 当Q时的中点时，则，解得； 如图4所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为10， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则，解得； 当P是的中点时，则，解得； 当Q时的中点时，则，解得； 如图5所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为6，点C在数轴上表示的数为9， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则，解得； 当P是的中点时，则，解得； 当Q时的中点时，则，解得； 综上所述，当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点； （4）解：外围周长最大的表面展开图，如图： 观察展开图可知，外围周长为， 七年级第一章培优试卷答案第1页，共2页 七年级第一章培优试卷答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$