（经典奥数）工程问题（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

（经典奥数）工程问题讲义-数学六年级上册人教版 ( 目录 ) 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 ( 第一部分 ) ( 知识梳理 ) 工程问题 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． ( 第二部分 ) ( 典型例题 ) 1．有一项工程，按原计划甲、乙合作120天可以完工，后因特殊原因，甲队的工效提高20%，乙队的工效则下降了20%，因此比计划多用5天完成，求甲队单独完成全部工程要用多少天？ 【解答】解：如果甲队的工效提高20%，乙队的工效也提高20%，工作效率和是： ×（1+20%）＝ 甲队的工效提高20%，乙队的工效则下降了20%，工作效率和是： ＝ （﹣）÷（20%×2） ＝÷0.4 ＝ 1÷（﹣） ＝1÷ ＝300（天） 答：甲队单独完成全部工程要用300天． 2．一条道路，如果第一队单独修，12天能修完；如果第二队单独修，18天才能修完。现把修这条路的工作量按3：2分配给第一队和第二队，他们能做到同时开工同时完工吗？ 【解答】解：第一队工作效率：1÷12＝ 第二队工作效率：1÷18＝ 3+2＝5（份） 第一队分得的工作量为：3÷5＝ 第二队分得的工作量为：2÷5＝ 第一队的工作时间：÷＝×12＝（天） 第二队的工作时间：÷＝×18＝（天） ＝ 答：他们能做到同时开工同时完工。 ( 第三部分 ) ( 跟踪训练 ) 1．有一项工程，甲乙合干15天完成，甲先做4天，乙接着做6天，一共完成这项工程的，求甲乙单独完成这项工程各用多少天？ 2．甲车从A地到B地需要10小时，乙车从B地到A地需要8小时，两车同时从A、B两地相向而行，经过几小时两车行了全长的？ 3．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合作8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 4．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 5．有一个蓄水池，装有甲乙两根管子，其中甲为进水管，乙为出水管。单独开甲管需要12分钟注满空水池，单独开乙管需要18分钟把满池的水排完。现在池内的水占水池容积的，同时打开两根水管，多少分钟才能注满水池？ 6．一段公路，甲、乙两队合修要30天完成。如果甲、乙两队合修12天后，余下的由乙队单独修，还需要24天才能完成。甲、乙两队单独修这段公路各需多少天？ 7．某车间每天能制作甲种零件300只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要配2只乙种零件.现在要在20天内制作出最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 8．一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。甲单独做需12天完成。现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：1。这个工程实际工期为多少天？ 9．一批零件，甲先做3小时，完成总数的，接着甲、乙一起做2小时，又完成总数的，剩下的让乙单独做，还需多长时间才能完成？ 10．某车间计划生产一批零件，甲生产线单独生产需要18天完成．甲生产线平均每天生产零件的数量比乙生产线少一半．如果两个生产线同时生产这批零件，几天可以完成？ 11．一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的。打开A管，8小时可将满池水排空；打开C管，12小时可将满池水排空；如果打开A，B两管，4小时可将满池水排空。问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 12．做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件，如果让甲、乙两组合做4天，则还有256件没完成，现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？ 13．某外国语学校计划改造校园一条126米的路，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期完工？ 14．一项工程，甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，现在两人合作，中间甲因病休息了几天，一共经过27天才完成全部工程。甲休息了几天？ 15．甲乙两人合作完成一项工程要8小时。若甲先工作4小时，乙再工作6小时，还余下这项工程的。甲、乙两人单独完成这项工程各需要几小时？ 16．甲、乙、丙3人如果单独加工零件，甲加工1个零件需要2分钟，乙加工1个零件需要3分钟，丙加工1个零件需要4分钟。现在有260个零件需要加工，如果规定3个人用同样的时间共同完成加工任务，那么该如何分配加工任务？ （经典奥数）工程问题讲义-数学六年级上册人教版 参考答案与试题解析 1．有一项工程，甲乙合干15天完成，甲先做4天，乙接着做6天，一共完成这项工程的，求甲乙单独完成这项工程各用多少天？ 【解答】解：（﹣×4）÷（6﹣4） ＝÷2 ＝ 1÷＝24（天） 1÷（﹣） ＝1÷ ＝40（天） 答：甲单独完成这项工程用40天；乙单独完成这项工程用24天。 2．甲车从A地到B地需要10小时，乙车从B地到A地需要8小时，两车同时从A、B两地相向而行，经过几小时两车行了全长的？ 【解答】解：甲车的速度：1÷10＝ 乙车的速度：1÷8＝ ÷（+） ＝÷ ＝2（小时） 答：经过2小时两车行了全长的。 3．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合作8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 【解答】解：设乙单独做这项工程要x天完成。 （﹣++﹣）×1+＝1 +﹣+＝1 +＝1 ＝1 9x+620＝40x 31x＝620 x＝20 答：乙单独做这项工程要20天完成。 4．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 【解答】解：这项工程：甲一共做了6+9＝15天 乙做了4天 丙做了6天 根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作 ，丙完成的量看作 ，即这项工程就是 ++1＝2。 可知甲完成这项工程的1÷2＝，15÷＝30（天） 乙完成这项工程的 ÷2＝，4÷＝24（天） 丙完成这项工程的 ÷2＝，6÷＝18（天） 答：甲乙丙独做各需30天、24天、18天. 故答案为：30天；24天；18天。 5．有一个蓄水池，装有甲乙两根管子，其中甲为进水管，乙为出水管。单独开甲管需要12分钟注满空水池，单独开乙管需要18分钟把满池的水排完。现在池内的水占水池容积的，同时打开两根水管，多少分钟才能注满水池？ 【解答】解：（1﹣）÷（﹣） ＝÷ ＝27（分钟） 答：同时打开两根水管，27分钟才能注满水池。 6．一段公路，甲、乙两队合修要30天完成。如果甲、乙两队合修12天后，余下的由乙队单独修，还需要24天才能完成。甲、乙两队单独修这段公路各需多少天？ 【解答】解：24÷（1﹣×12） ＝24÷（1﹣） ＝24÷ ＝40（天） 1÷（﹣） ＝1÷ ＝120（天） 答：甲队单独修这段公路需120天，乙队单独修这段公路需40天。 7．某车间每天能制作甲种零件300只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要配2只乙种零件.现在要在20天内制作出最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？ 【解答】解：设应制作甲种零件x天，则应制作乙种零件（20﹣x）天，依题意，得： 2×300x＝200（20﹣x） 600x＝4000﹣200x 800x＝4000 x＝5 20﹣5＝15（天） 答：甲零件应制作5天，乙零件应制作15天。 8．一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。甲单独做需12天完成。现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：1。这个工程实际工期为多少天？ 【解答】解：设两人合作x天，则乙单独做了x天。 x+（﹣）x＝1 x+x＝1 x＝1 x＝6 6×2＝12（天） 答：这个工程实际工期为12天。 9．一批零件，甲先做3小时，完成总数的，接着甲、乙一起做2小时，又完成总数的，剩下的让乙单独做，还需多长时间才能完成？ 【解答】解：（1﹣﹣）÷（） ＝ ＝4.5（天） 答：还需4.5天才能完成。 10．某车间计划生产一批零件，甲生产线单独生产需要18天完成．甲生产线平均每天生产零件的数量比乙生产线少一半．如果两个生产线同时生产这批零件，几天可以完成？ 【解答】解：1÷18＝ 1÷（） ＝1 ＝6（天） 答：如果两个生产线同时生产这批零件，6天可以完成． 11．一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的。打开A管，8小时可将满池水排空；打开C管，12小时可将满池水排空；如果打开A，B两管，4小时可将满池水排空。问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 【解答】解：根据题意可得： A管的工作效率＝ C管的工作效率＝ A管和B管的工作效率＝ 所以B管的工作效率＝﹣＝ B管和C管的工作效率＝+＝ 1÷＝4.8（小时） 答：打开B，C两管，要4.8小时才能将满池水排空。 12．做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件，如果让甲、乙两组合做4天，则还有256件没完成，现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？ 【解答】解：（）×4＝ ＝ 256＝960（件） 960÷10＝96（件） 960÷12＝80（件） 960÷（96+80+64）＝4（天） 答：需要4天完成。 13．某外国语学校计划改造校园一条126米的路，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期完工？ 【解答】解：每人每天修：126÷7÷6 ＝18÷6 ＝3（米） 现在总任务：126+54＝180（米） 每天需要人数：180÷3÷6 ＝60÷6 ＝10（人） 增加人数：10﹣7＝3（人） 答：需要增加3人才能如期完工。 14．一项工程，甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，现在两人合作，中间甲因病休息了几天，一共经过27天才完成全部工程。甲休息了几天？ 【解答】解：1÷40＝，1÷60＝ （1﹣×27）÷ ＝÷ ＝22（天） 27﹣22＝5（天） 答：甲休息了5天。 15．甲乙两人合作完成一项工程要8小时。若甲先工作4小时，乙再工作6小时，还余下这项工程的。甲、乙两人单独完成这项工程各需要几小时？ 【解答】解：（6﹣4）÷（1﹣﹣） ＝2÷ ＝2×10 ＝20（小时） 1÷20＝ 1÷（﹣） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 答：甲单独完成这项工程需要小时，乙单独完成这项工程需要20小时。 16．甲、乙、丙3人如果单独加工零件，甲加工1个零件需要2分钟，乙加工1个零件需要3分钟，丙加工1个零件需要4分钟。现在有260个零件需要加工，如果规定3个人用同样的时间共同完成加工任务，那么该如何分配加工任务？ 【解答】解：由题意甲乙丙三人的工作效率比是：：＝6：4：3 260÷（6+4+3）＝20（个） 甲：20×6＝120（个） 乙：20×4＝80（个） 丙：20×3＝60（个） 答：甲应该加工120个零件，乙应该加工80个零件，丙应该加工60个零件。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$