2.5.2圆与圆的位置关系教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系（教学设计） 课程基本信息 课题 2.5.2 圆与圆的位置关系 教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》第五节《直线与圆、圆与圆的位置关系》第二课时，本节课主要学习圆与圆的位置关系。学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化和延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 课程目标 学科素养 A.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. B.能用几何法与代数法判断圆与圆的位置关系. 1.数学抽象：圆与圆的位置关系 2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系 3.数学运算：判断圆与圆的位置关系 4.直观想象：借助几何图形，判断位置关系 重点：探究圆与圆的位置关系 难点：圆与圆的位置关系的判定方法 多媒体 教学过程 核心素养目标 1、 复习回顾，引出主题 前面我们已经学习了直线和圆的位置关系，主要解决了两方面的问题： 1. 探究了直线和圆的三种位置关系 ①相离 特点： · 直线和圆没有公共点 · 圆心到直线的距离大于半径 ②相切 特点： · 直线和圆没有公共点 · 圆心到直线的距离大于半径 ③相交 特点： · 直线和圆没有公共点 · 圆心到直线的距离大于半径 2. 分别用几何法和代数法研究了直线和圆的三种位置关系 ①几何法 比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，从而确定直线和圆的位置关系 ②代数法 联立直线和圆的方程，消元得到一个一元二次方程，结合方程实根的个数得到直线和圆交点的个数，从而定直线和圆的位置关系 2、 情境导学, 探索新知 本节课要类比直线和圆的位置关系，来进一步学习圆与圆的位置关系 · 小组讨论，共探新知 成立临时学习小组，请各组同学欣赏课件中的精美图片，结合课本，围绕圆与圆的位置关系展开讨论，每个临时学习小组设置临时小组长，组长负责带领组员高效、有序的完成讨论。讨论结束后将随机抽取各组成员发言，展示小组讨论成果。 课件展示图片如下： 结合以上图片讨论交流，完成以下问题（同时完成导学案第一部分）： · 问题一：圆与圆有哪几种位置关系 · 问题二:在每一种位置关系下，两元的圆心距（连心线长）与它们的半径有什么数量关系? 讨论结束，各组成员踊跃发言，进一步探究两圆位置关系的判定方法 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1,r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| · 趁热设问，引发思考 · 问题三: 类比研究直线和圆位置关系的方法，是否也能用几何法和代数法来研究圆与圆的位置关系呢？ 可以 · 问题四: 如何用几何法研究圆与圆的位置关系？ 圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0) 可以先求出两圆的圆心距d=|O1O2|=，以及它们的半径和r1+r2、半径差的绝对值|r1-r2|，比较三者的大小关系，从而判断两圆的位置关系 · 问题五: 如何用几何法研究圆与圆的位置关系？ 联立圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0)，消元得到一个一元二次方程，研究方程实根的个数，进一步得出两圆交点的个数，从而判断两圆的位置关系 方程解的个数 2个 1个 0个 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 三、 牛刀小试，素养检验 例 已知 圆， 圆， （1）试用几何法判断圆与圆的位置关系.（学生板演） 解：将圆的方程化为标准式，得到 圆，其圆心，； 圆，其圆心，. 因此圆与圆连心线长（圆心距）： , 圆与圆半径和 ，圆与圆半径差 . 所以，所以圆与圆两圆相交. （2）试用代数法判断圆与圆的位置关系. 解：将圆与圆联立，得到 ，得： 消元得： 因为方程（4）的根的判别式，所以方程组有两两组实数根，所以圆与圆有两个公共点，它们相交. · 问题六：代数法中两式相减所得（3）式方程表示什么图像？ 表示一条直线 · 问题七：该图像是否具有什么特殊含义？ 从代数角度看，满足方程（1）、（2）的方程组的解，必满足方程（3），我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程（3），两点确定一直线，因此方程（3）表示的就是两圆公共弦所在直线方程. 四、 课堂小结，点拨归纳 · 今天我们学了什么？ 知识归纳： 1.圆与圆的五种位置关系 2.圆与圆位置关系的判断方法 ①代数法 ②几何法 方法归纳： 1.类比 2.数形结合 五、 布置作业，巩固提升 课本P98 练习：第2题 习题2.5 综合运用：第8题，第9题 复习直线和圆的位置关系，让学生重温研究直线和圆位置关系的过程与方法，为本节课类比直线与圆位置关系来学习圆与圆的位置关系奠定基础。 同时让学生重温几何法与代数法，提升探索新知的效率，培养学生直观想象的核心素养 通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法。进一步探究两圆位置关系的判定方法，培养学生数学抽象能力和直观想象能力。 通过类比直线和圆的位置关系，同样用几何法和代数法来研究圆与圆的位置关系，培养学生逻辑推理能力 通过典例解析，评价学生素养完成情况，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象、逻辑推理和直观想象的能力。 引导学生对于中间过程中产生的代数结论，进行进一步思考，发掘其几何含义.看似代数运算的中间表达，但其仍具有几何意义，提醒学生在得到代数结论时，向它所表达的几何元素这个方向上进行思考.那么结合图像，可知，求得的直线方程表示的直线，就是两圆公共弦所在直线. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。注重提升学生逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$