专题2.8 有理数及其运算中的数学思想（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.8 有理数及其运算中的数学思想（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。本专题研究学习的数学思想有：转化、分类、数形结合和整体的思想几种。 【知识点1】转化思想 将所要研究和解决的陌生问题变为已经学过的熟悉问题来处理的数学思想称为转化思想，它是一种研究和解决数学问题的基本思想。 【知识点2】分类讨论思想 当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想。 【知识点3】数形结合思想 “数无形则少直观，形无数则难入微”，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，它使数轴上的点与有理数之间建立起一种对应关系.借助于数轴，我们可以把数更加直观地反映在数轴上，便于研究数的问题. 【知识点4】整体思想 用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等。这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。 【知识点5】方程思想 方程思想是指分析‌数学问题中数量关系，寻找与已知元素之间的联系，从而建立等式关系，最后通过解方程使问题顺利得解的数学思想‌。有理数运算中的方程思想主要体现在数轴上的动点问题上，往往和分类讨论思想相结合。 题型目录 【题型1】转化思想..............................................2 【题型2】分类讨论思想..........................................3 【题型3】数形结合思想..........................................3 【题型4】整体思想..............................................5 【题型4】方程思想..............................................5 【题型5】多种数学思想..........................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 一、转化思想 【题型1】比较两个负有理数转化求两个负数的绝对值，通过“绝对值大的反而小”进行比较大小。 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【变式1】（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【题型2】进行有理数的运算，把减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，特别遇到除法运算，转化为求倒数运算，最后再得到商。 【例2】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 二、分类讨论思想 【题型3】有理数的分类与比较有理数的大小。 【例3】（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 【变式1】（22-23七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（20-21七年级上·四川·期中）有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则 ． 【题型4】含绝对值与有理数乘方的运算。 【例4】（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b______0； (2)当abc＜0时，若ab＞0，则c______0； (3)当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 【变式1】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，的相反数是，则的值为（     ） A．或 B．或1 C．5或 D．5或1 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 三、数形结合思想 【题型5】数轴上的求值。 【例5】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【变式2】已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6】有理数乘方的应用。 【例6】（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 四、整体思想 【题型7】有理数简便运算与等式整体相加减。 【例7】（2022七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或． 若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：． 【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算． ． 五、方程思想 【题型8】数轴上的方程思想。 【例8】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度、4个单位长度，它们运动的时间为． (1)如果点P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点P对应的数； (2)如果点P，Q在点A，B之间相向运动，当时，求点P对应的数． 【变式1】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 六、多种数学思想综合（数形结合思想+方程思想+分类讨论思想） 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．   (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_____________； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________； (4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 【例2】（22-23六年级上·山东威海·期中）从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)用1单位长度表示，请你画在数轴并在其上表示出A、B、C三点的位置； (2)把这条数轴在数m处对折，使表示和2011两数的点恰好互相重合，则______． (3)把点C到点A的距离记为，点B到点A的距离记为， ①______；______； ②若点B以每秒的速度向左移动，同时A、C以每秒、的速度向右移动，设移动时间为2秒，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 有理数及其运算中的数学思想（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。本专题研究学习的数学思想有：转化、分类、数形结合和整体的思想几种。 【知识点1】转化思想 将所要研究和解决的陌生问题变为已经学过的熟悉问题来处理的数学思想称为转化思想，它是一种研究和解决数学问题的基本思想。 【知识点2】分类讨论思想 当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想。 【知识点3】数形结合思想 “数无形则少直观，形无数则难入微”，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，它使数轴上的点与有理数之间建立起一种对应关系.借助于数轴，我们可以把数更加直观地反映在数轴上，便于研究数的问题. 【知识点4】整体思想 用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等。这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。 【知识点5】方程思想 方程思想是指分析‌数学问题中数量关系，寻找与已知元素之间的联系，从而建立等式关系，最后通过解方程使问题顺利得解的数学思想‌。有理数运算中的方程思想主要体现在数轴上的动点问题上，往往和分类讨论思想相结合。 题型目录 【题型1】转化思想..............................................2 【题型2】分类讨论思想..........................................5 【题型3】数形结合思想..........................................8 【题型4】整体思想..............................................11 【题型5】方程思想..............................................12 【题型6】多种数学思想..........................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 一、转化思想 【题型1】比较两个负有理数转化求两个负数的绝对值，通过“绝对值大的反而小”进行比较大小. 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． （1）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． （2）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． 解：（1）∵，， 又∵ ∴； （2）∵，， 又∵ ∴． 【变式1】（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数大小比较的方法，分子相同的分数分母小的分数大．再根据减法的意义，用1分别减去a、b、c，求出它们的差，当被减数相同时，差小的减数就大，据此解答即可． 解：， ， ， 因为， 所以， 所以， 故选：A． 【点拨】此题考查的目的是理解掌握分数大小比较的方法及应用，关键是明确：当被减数相同时，差小的减数就大． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数大小，掌握有理数的大小比较方法是解决问题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，即可得出结果． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型2】进行有理数的运算，把减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，特别遇到除法运算，转化为求倒数运算，最后再得到商. 【例2】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ， 故原式． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．求出原式的倒数，即可求解． 解：原式的倒数为 故原式 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 【答案】4 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 解：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二、分类讨论思想 【题型3】有理数的分类与比较有理数的大小. 【例3】（2021七年级上·全国·专题练习）（1）当a＞0时，a______－a；当a＝0时，a______－a；当a＜0时，a______－a． （2）请仿照（1）的方法，比较a和的大小关系． 【答案】（1）＞，=，＜；（2）见详解． 【分析】（1）根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数即可得出答案； （2）根据有理数大小比较的方法，分a＞1、a=1、0＜a＜1、-1＜a＜0、a=-1、a＜-1六种情况分类判断即可求解． 解：（1）当a＞0时，a＞－a；当a＝0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a． 故答案为：＞，=，＜； （2）当a＞1时，a＞；当a=1时，a=；当0＜a＜1时，a＜； 当-1＜a＜0时，a＞；当a=-1时，a=；当a＜-1时，a＜． 【点拨】本题考查了有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则，根据题意正确分类是解题关键． 【变式1】（22-23七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的定义进行解答即可． 解：有理数有：，7，三个数， 故选：C． 【点拨】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记整数与分数统称有理数． 【变式2】（20-21七年级上·四川·期中）有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则 ． 【答案】0 【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a，b，c的值，即可求解． 解：分数有，，，∴， 非负整数有0，5，∴， 有理数有5，0，，，，∴， ∴， 故答案为：0． 【点拨】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键． 【题型4】含绝对值与有理数乘方的运算. 【例4】（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b______0； (2)当abc＜0时，若ab＞0，则c______0； (3)当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1)＞ (2)＜ (3)±1 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）a与b都是整数，且|a|+|b|=1，分情况讨论：①a=1，b=0，②a=0，b=1，③a=-1，b=0，④a=0，b=-1，分别计算a+b的值即可． 解：（1）∵ab＜0，b＞0， ∴a＜0， ∵|a|＜|b|， ∴a+b＞0， 故答案为：＞； （2）∵abc＜0，ab＞0， ∴c＜0， 故答案为：＜； （3）∵a与b都是整数，且|a|+|b|=1， 分情况讨论： ①a=1，b=0，此时a+b=1； ②a=0，b=1，此时a+b=1； ③a=-1，b=0，此时a+b=-1； ④a=0，b=-1，此时a+b=-1， ∴a+b的值为±1． 【点拨】本题考查了有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论． 【变式1】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，的相反数是，则的值为（     ） A．或 B．或1 C．5或 D．5或1 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值、相反数、求代数式的值，先根据绝对值和相反数的意义得到，，再代入求值即可. 解：∵，的相反数是， ∴， ∴或， 即的值为或， 故选：A 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 三、数形结合思想 【题型5】数轴上的求值. 【例5】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 【答案】(1)①；②； (2)A 【分析】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断大小关系； （2）根据，，可判断出m和n异号，进而可得p为正数，结合可得n为负数． 解：（1）解：①由数轴可知； ②由数轴可知，， ，， 故答案为：，； （2）解：，， m和n异号， 由数轴可知m，n，p中有两个正数，一个负数， p为正数， ， ， n为负数， 表示有理数n的为点A． 故答案为：A． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 【变式2】已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型6】有理数乘方的应用. 【例6】（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 解：（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 四、整体思想 【题型7】有理数简便运算与等式整体相加减. 【例7】（2022七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或． 若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：． 【答案】或 【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等． 解：移项得，， 根据绝对值的意义，得或， 解得或． 【点拨】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可． 【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【分析】设，表示出，然后求解即可． 解：设， 则， ， ， 故． 【点拨】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据把原式拆项，并进行计算即可． 解：原式 五、方程思想 【题型8】数轴上的方程思想. 【例8】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度、4个单位长度，它们运动的时间为． (1)如果点P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点P对应的数； (2)如果点P，Q在点A，B之间相向运动，当时，求点P对应的数． 【答案】(1) (2)或0 【分析】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题及列方程解应用题； （1）由追及时间等于路程差除以速度差，可求追及时间，从而问题得解； （2）当时，有两种情况：①，相遇前；②，相遇后．分别求出相应的时间，再求出对应的点即可． 解：（1）解：设经过秒时， 已知得： 当点追上点时， 点对应的数是． （2）解：当时，有两种情况： ①，相遇前， 此时点对应的数是：； ②，相遇后，， 此时点对应的数是：． 综上所述，点对应的数是或0． 【变式1】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 【答案】或/9或3 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， 表示的数是， 点到点的距离为，点到点的距离为， ， 解得：或， 故答案为：或． 六、多种数学思想综合（数形结合思想+方程思想+分类讨论思想）. 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．   (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_____________； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________； (4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 【答案】(1)6 (2)3 (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“m级幸运点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）依据题意，根据“m级幸运点”的概念解答； （2）依据题意，设点P表示的数为，从而结合题意，列出关于x的方程计算进而可以得解； （3）设点E表示的数为，分当点E在点A、B之间和点E在点B右侧两种情况讨论，根据题意列方程计算进而可以得解； （4）t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，设点F表示的数为，分情况讨论，再列方程计算即可得解． 解：（1）解：∵点P在数轴上表示的数为，且在和1之间，即点P在点A、B之间， ∴，故答案为：6； （2）解：设点P表示的数为， ∵点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧， ∴，，， ∴， 解得，即点P表示的数为3， 故答案为：3； （3）解：设点E表示的数为， 当点E在点A、B之间， ∴，， ∵， ∴， 解得， 此时； 当点E在点B右侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得， 此时； 综上，或； 故答案为：或； （4）解：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵， ∴， ∴点B在点A的右边， 又∵， ∴， ∴点A、B的“10级幸运点”也不在点A、B之间， 设点F表示的数为， 当点F在点A左侧时，， 解得； 当点F在点B右侧时，， 解得； 综上，点F表示的数为或． 故答案为：或． 【例2】（22-23六年级上·山东威海·期中）从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． (1)用1单位长度表示，请你画在数轴并在其上表示出A、B、C三点的位置； (2)把这条数轴在数m处对折，使表示和2011两数的点恰好互相重合，则______． (3)把点C到点A的距离记为，点B到点A的距离记为， ①______；______； ②若点B以每秒的速度向左移动，同时A、C以每秒、的速度向右移动，设移动时间为2秒，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)①，；② 【分析】本题考查数轴上点表示的数，数轴上的动点问题，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式． （1）根据题意画图即可； （2）利用对称的性质列式解答即可； （3）①先求解数轴上，之间的距离，再进一步解答即得答案；②先求解数轴上对应的数，再求解，之间的距离，再进一步解答即可． 解：（1）解：如图所示：如图示， ． （2）解：数轴在数处对折，表示和2011两数的点恰好互相重合， ∴； （3）解：①，； ②∵点B以每秒的速度向左移动， ∴点B以每秒1个单位长度的速度向左移动， ∴点B对应的数为， ∵A、C以每秒、的速度向右移动， ∴A、C以每秒、个单位长度的速度向右移动， ∴点A、C对应的数分别为，， 如图， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$