江苏省苏州市2024-2025学年八年级上期第一次月考专项练习勾股定理部分

2024-2025苏州市八年级上期第一次月考针对练习 勾股定理部分 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，3，4 B．1，2， C．4，5，6 D．，， 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，、、分别为的三条边，满足下列条件不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆柱的高为4cm，底面周长为6cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知长方形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，则蚂蚁要吃到食物，至少要爬行（    ） A．4cm B．5cm C．7cm D．10cm 8．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A． B． C．2023 D．2024 二、填空题 9．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）一架云梯长25米，如图靠在墙上，云梯底端离墙15米，现把云梯顶端向上移4米，那么它的底端离墙 米． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为 尺. 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在RtABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= ． 12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 ． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是 cm． 三、解答题 14．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？    15．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD） 16．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ 17．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 18．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度 （1）当t=2时，CD=______，AD=______；（请直接写出答案） （2）当△CBD是直角三角形时，t=______；（请直接写出答案） （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．    19．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）求证：EF2+BF2=2AC2． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图： 两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题： （1）填空：∠AGE＝　　°，S四边形ADBE＝　　c2． （2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒． (1)出发1秒后，的周长＝______； (2)当______时，是以BP为底边的等腰三角形； (3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分？ 22．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 23．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． (1)△ABC的面积为：______． (2)若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为_______． (3)如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． (4)如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是______m2 参考答案： 1．B 【详解】解：A、，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； B、，故此选项能构成直角三角形，符合题意； C、，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； D、，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【详解】解：化简，得，所以三角形是直角三角形， 故选：C． 3．B 【详解】解：A. ，故能构成直角三角形，不符合题意；     B. ，设，则，故不能构成直角三角形，符合题意；     C. ，则，故能构成直角三角形，不符合题意；     D. ，设，则，故能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B 4．D 【详解】解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 根据图形不能证明勾股定理； 故选：D． 5．B 【详解】在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理， 在Rt△ABC中， ∴ 故答案为：B． 6．B 【详解】如图所示，连接， 在中， 即； 同理，在中， 即 则 故选B． 7．B 【详解】解：如图，将圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形， 则AB的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为4cm，底面周长为6cm， ∴AC＝4cm，BC＝3cm， 根据勾股定理得：AB＝＝5（cm）， ∴蚂蚁要吃到食物，至少要爬行5cm， 故选：B． 8．D 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1 ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选：D． 9．7 【详解】解：如图，在Rt△AOB中，AB=25，OB=15， 由勾股定理得：， 在Rt△COD中，CD=25，OC=20+4=24， 由勾股定理得：米 ， 故答案为：7． 10．14.5 【详解】如图， 过点B作BC⊥OA于点C，作BD垂直于地面，延长OA交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4 在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2 ∴ 得x=14.5（尺） 故填14.5 , 11． 【详解】解：如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED， ∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4， ∴． ∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2． 设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x， 在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=． ∴BD= 故答案为：． 12．49 【详解】解∶根据勾股定理，得． 所以AB＝12﹣5＝7． 所以正方形ABCD的面积为：7×7＝49． 故答案是：49 13．30 【详解】解：如图所示：由题意可得，展开图中AB＝24cm，BC＝18cm， 则在Rt△ABC中，（cm）． 故答案为：30． 14．铺满这块空地共需花费元 【详解】连接，    在中，米， 米，， ∴， ∵， ∴， ∴， 该区域面积（平方米）， 铺满这块空地共需花费元． 15．证明见解析 【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab． 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2． 16．0.8米 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 答：梯子底部B外移0.8米． 17．(1)米(2)8米 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）， （米）； （2）如下图， 由勾股定理得， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 18．（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）t=2时，CD=2×1=2， ∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6， ∴AC==10， AD=AC-CD=10-2=8； （2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC， 即×10•BD=×8×6， 解得BD=4.8， ∴CD==3.6， t=3.6÷1=3.6秒； ②∠CBD=90°时，点D和点A重合， t=10÷1=10秒， 综上所述，t=3.6或10秒； 故答案为（1）2，8；（2）3.6或10秒； （3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，    则CE=BE， ∴CD=AD=AC=×10=5， t=5÷1=5； ②CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6； ③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， 则CF=3.6， CD=2CF=3.6×2=7.2， ∴t=7.2÷1=7.2， 综上所述，t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形． 19．（1）20°；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， 又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°， ∴∠BAE=50°+90°=140°， ∴∠AEB=（180°-140°）÷2=20°； （2）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAF=∠CAF． 在△BAF和△CAF中， ， ∴△BAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ABF=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEB， ∴∠AEB=∠ACF； （3）∵△BAF≌△CAF， ∴BF=CF， ∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC， ∴∠CFG=∠EAG=90°， ∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， ∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAE=90°，AC=AE， ∴EC2=AC2+AE2=2AC2， 即EF2+BF2=2AC2． 20．（1）90，；（2）见解析． 【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠EDF＝∠CAB， ∵∠EDF+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠CAB＝90°， ∴∠AGC＝90°， ∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°； ∴DE⊥AB， ∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB•DG+AB•EG＝AB•（DG+EG）＝AB•DE＝c2， 故答案为：90，； （2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB•DG+AB•EG＝AB•（DG+EG）＝AB•DE＝c2， 四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）•CF+BF•EF＝（b+a）b+（a﹣b）•a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2， ∴c2＝a2+b2， 即a2+b2＝c2． 21．(1)(2)或(3)或 【详解】（1）当时， 根据题意，， ∵，，， ∴， ∴，    ∴的周长为． 故答案为：． （2）如图，当点在上时， ∵，，， ∴， 解得；    当点在上时， ，， ∴， 过点作于点D， 根据题意，得，， ∴ . ∴， ∴， 解得； 故当或时，是以为底边的等腰三角形， 故答案为：或． （3）当点在上，点在上时，    根据题意，得到，， ∴的周长分成的两部分是，另一部分为， ∴， 解得； 当点在上，点在上时， 根据题意，得到点的运动路程为，点的运动路程为， ∴的周长分成的两部分是，另一部分为， ∴， 解得； 当点在上，点在上时， 根据题意，得到点的运动路程为，点的运动路程为，此时，即，则，不符合题意， 故运动时间为或． 22．(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 23．(1)3.5(2)3(3)EP=FQ(4)110m² 【详解】（1）△ABC的面积=3×3−×2×1−×3×1−×2×3=9−1−1.5−3=9−5.5=3.5； （2）△DEF如图2所示: 面积=2×4−×1×2−×2×2−×1×4=8−1−2−2=8−5=3； （3）EP=FQ， 证明：∵△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=AE,∠BAE=90∘， ∴∠PAE+∠BAG=180°−90°=90°, 又∵∠AEP+∠PAE=90°， ∴∠BAG=∠AEP， 在△ABG和△EAP中， ， ∴△ABG≌△EAP(AAS)，同理可证,△ACG≌△FAQ， ∴EP=AG=FQ； （4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，    在Rt△PRH中,PH=， 在Rt△RQH中,QH=, ∴PQ==6， ， 两边平方得,25−h²=36−12+13−h²， 整理得, =2， 两边平方得,13−h²=4， 解得h=3， ∴×6×3=9， ∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m². 学科网（北京）股份有限公司 $$