精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学上册期中测试卷

期中测试卷 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中，属于无理数是（ ） A. B. ﹣2 C. 0 D. 2. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ） A. （2，1） B. （0，1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1） 4. 下列说法中正确的是（　　） A. 已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D. 在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 5. 如果P点的坐标为(a，b)，它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为(－2，3)，则点P的坐标为( ) A. (－2，－3) B. (2，－3) C. (－2，3) D. (2，3) 6. 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15，水流速度为5．轮船先从甲地逆水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地顺水航行返回到甲地，设轮船从甲地出发后所用时间为（），航行的路程为（），则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. y＝2x－5 B. y＝2x＋5 C. y＝2x＋8 D. y＝2x－8 8. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 9. 如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 10. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 11. 一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 在如图所示的数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 13. 点在第三象限内，则正整数a的值是___________． 14. 如图，已知直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，n）在直线l上，则n的值为_____. 15. 如图，在网格中，小正方形边长为a，则图中是直角三角形的是_____． 16. 若，则______． 17. 如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作，以点B为圆心，长为半径作圆弧，交于点C，以原点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是______． 18. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 21. 如图，一根长米的木棒（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，且木棒顶端与地面的距离（）为9米，当木棒端沿墙下滑至点时，端沿地面向右滑行至点. （1）求的长； （2）当米时，求的长（结果保留根号）. 22. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示． (1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式； (2)直接写出每分进水，出水各多少升． 23. 1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都匀速上升了.设气球上升的时间为． （1）根据题意，填写下表： 上升时间(min) 10 30 … x 1号探测气球所在 位置的海拔(m) 15 ______ … ______ 2号探测气球所在 位置海拔(m) ______ 30 … ______ （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由． （3）当时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 24. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出三角形ABC关于y轴对称三角形A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积． 25. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值； （2）（为正整数）的值； （3）的值． 26. 已知直线y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x. （1）求该函数的解析式，并画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值； （3）若O为坐标原点，求直线OP的解析式； （4）求直线y=kx+b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. ﹣2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：是无理数，﹣2，0，都是有理数．故选A． 考点：无理数． 2. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，有理数的乘方，先计算有理数的乘方，再算算术平方根即可，熟练掌握运算法则及概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：． 3. 如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ） A. （2，1） B. （0，1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1） 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，即可确定南山的位置． 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则城市南山的位置为（﹣2，﹣1） 故选：C． 【点睛】本题考查用坐标表示位置，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 下列说法中正确的是（　　） A. 已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D. 在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．若该三角形不是直接三角形，则等式a2+b2=c2不成立，故本选项错误； B．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故本选项错误； C．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则a2+b2=c2，故本选项正确； D．在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则c2+a2=b2，故本选项错误； 故选C． 5. 如果P点的坐标为(a，b)，它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为(－2，3)，则点P的坐标为( ) A. (－2，－3) B. (2，－3) C. (－2，3) D. (2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质结合P2的坐标得出点P的坐标． 【详解】∵P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，P2的坐标为（-2，3）， ∴P1的坐标为：（-2，-3），故点P的坐标为：（2，-3）． 故选B． 【点睛】考查了关于x，y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 6. 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15，水流速度为5．轮船先从甲地逆水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地顺水航行返回到甲地，设轮船从甲地出发后所用时间为（），航行的路程为（），则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 【详解】第一个阶段，逆水航行，那么用时较多； 第二个阶段，休息，那么随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 观察各选项的图象，只有C选项符合， 故选C． 【点睛】本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 7. 将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. y＝2x－5 B. y＝2x＋5 C. y＝2x＋8 D. y＝2x－8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象上加下减，可得答案. 【详解】解：由题意，得：y=2x﹣3+8， 即y=2x+5， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键． 8. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 【答案】B 【解析】 详解】试题解析： 如图(1)所示： 如图(2)所示： 由于 所以最短路径为10. 故选B. 9. 如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 10. 对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( ) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵3＞2， ∴3※2=， ∵8＜12， ∴8※12==， ∴（3※2）×（8※12）=（）×=2． 故选B． 11. 一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限． 故选A． 【点睛】考点是一次函数图象与系数的关系． 12. 在如图所示的数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 13. 点在第三象限内，则正整数a的值是___________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内的点的符号特征，解一元一次不等式，根据第三象限符合特征，可知，求出解集即可确定符合题意的答案． 【详解】根据题意，得 ， 解得， 则正整数a的值是1或2． 故答案为：1或2． 14. 如图，已知直线l是一次函数y＝kx+b图象，若点A（3，n）在直线l上，则n的值为_____. 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据图象可得一次函数经过点（﹣2，0）和点（0，1），运用待定系数法求得一次函数解析式，再把点A（3，n）代入解析式即可求解． 【详解】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入解析式得： ， 解得： ， ∴， 将点A（3，n）代入，得：， 即n＝2.5. 故答案为：2.5 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，解题的关键是掌握看函数图象得出两点坐标． 15. 如图，在网格中，小正方形边长为a，则图中是直角三角形的是_____． 【答案】直角三角形有两个，分别是△ABC与△DEF． 【解析】 【分析】根据已知及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案. 【详解】解：∵小正方形的边长为a， ∴在△ABC中， BC2=a2+(3a) 2=10a2， AB2=AC2=a2+(2a) 2=5a2， 故BC2=AB2+AC2． 在△GKP中， KG2=(2a)2+(2a)2=8a2， GP2=a2+(2a) 2=5a2，KP2=(3a) 2=9a2， KP2≠KG2+GP2． 在△DEF中， DE2=(2a)2+(2a)2=8a2， EF2=(3a)2+(3a)2=18a2， DF2=a2+(5a)2=26a2，故DF2=DE2+EF2． 故直角三角形有两个，分别是△ABC与△DEF． 【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形. 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， ， ，，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了对非负数的性质，立方根，算术平方根的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算． 17. 如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作，以点B为圆心，长为半径作圆弧，交于点C，以原点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出，根据勾股定理求出，得到的长，再根据数轴的性质解答． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， 则， 点对应的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 18. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）11 （4）1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，掌握运算法则是关键． （1）先计算算术平方根，再计算除法即可； （2）先将带分数化为假分数，再计算算术平方根即可； （3）先计算算术平方根及立方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）先计算算术平方根及立方根，再进行乘法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 小问4详解】 解：原式 ． 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴平方根为； 21. 如图，一根长米的木棒（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，且木棒顶端与地面的距离（）为9米，当木棒端沿墙下滑至点时，端沿地面向右滑行至点. （1）求的长； （2）当米时，求的长（结果保留根号）. 【答案】（1）米；（2）米. 【解析】 【分析】（1）在中,根据勾股定理解之即可; （2）根据题意求得下滑后木棒顶端离地面的高度的长度，根据木棒下滑前后长度不变,在中运用勾股定理求出的长度即可. 【详解】解：①在中 米. ②∵∴ ∴米 ∴米. 【点睛】本题主要还是考查勾股定理的应用,观察图形理解题意,熟练掌握勾股定理是解答关键. 22. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示． (1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式； (2)直接写出每分进水，出水各多少升． 【答案】（1）y＝x＋15(4≤x≤12)（2）进水5L，出水3.75L 【解析】 【详解】试题分析：（1）用待定系数法求对应的函数关系式； （2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解． 试题解析：（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴（4≤x≤12）； （2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m=30﹣20，解得：m=． 故每分钟进水、出水各是5升、升． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数． 23. 1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都匀速上升了.设气球上升的时间为． （1）根据题意，填写下表： 上升时间(min) 10 30 … x 1号探测气球所在 位置的海拔(m) 15 ______ … ______ 2号探测气球所在 位置的海拔(m) ______ 30 … ______ （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由． （3）当时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 【答案】（1）20，35，， （2）两个气球能位于同一高度，此时气球上升了，都位于海拔的高度 （3） 【解析】 【分析】本题考查列代数式；一元一次方程的应用；一次函数的应用，正确解题的关键是理解题意，列出函数解析式． (1)根据“1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式； (2) 令，若x有解且x的值位于这个范围，则说明在某时刻两个气球能位于同一高度，这时求得x的值再代入求气球的海拔高度即可，若x有解且x的值不位于这个范围，则不存在某时刻两个气球位于同一高度; (3) 当时，由题意，可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差有y米，用x表示出y，根据所得的关系式及x的取值范围，即可求得两个气球所在位置的海拔高度相差的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得，1号探测气球从海拔处出发，上升了，，以的速度上升，时1号探测气球的海拔高度为，时海拔高度为；2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，时2号探测气球的海拔高度为，时海拔高度为． 故答案为：20，35，，． 【小问2详解】 解：两个气球能位于同一高度． 根据题意，，解得． 有． 答：此时，气球上升了，都位于海拔的高度． 【小问3详解】 解：当时， 由题意，可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球， 设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差有y米， 则． ， ∴y随x的增大而增大． ∴当时，y取得最大值15． 答：两个气球所在位置的海拔最多相差15米． 24. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直角三角形，2． 【解析】 【分析】（1）根据点A和点C的坐标即可作出坐标系； （2）分别作出三角形的三顶点关于y轴的对称点，顺次连接可得； （3）根据勾股定理的逆定理可得． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）∵正方形小方格边长1， ∴AB==，BC==2，AC==， ∴AB2+BC2=AC2， ∴网格中的△ABC是直角三角形． △ABC的面积为××2=2． 【点睛】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 25. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值； （2）（为正整数）的值； （3）的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 原式， 【小问3详解】 原式， ， ， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． 26. 已知直线y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x. （1）求该函数的解析式，并画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值； （3）若O为坐标原点，求直线OP的解析式； （4）求直线y=kx+b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积. 【答案】（1）y=-2x+6，图像如图；（2）m=2；（3）y=x；（4）两直线与x轴围成的图形为3，两直线与y轴围成的图形为6. 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行，k值相等和A的坐标，即可求解； （2）令y=2，利用方程即可求解； （3）可设直线OP的解析式为y=kx，利用P的坐标即可求解； （4）利用两直线的交点P，即可求解． 【详解】（1）∵y=kx+b与直线y=-2x平行， ∴k=-2， 将A（0，6） 代入y=-2x+b，解得b=6， ∴该函数解析式为y=-2x+6，图象如图所示； （2）将（m，2）代入解析式，则有2=-2m+6， 解得m=2； （3）设此解析式为y=kx， 将P点代入，2=2k， 解得k=1， 即此解析式为y=x； （4）设直线y=-2x+6与x轴交点为B，与y轴交点为A， 则A（0，6），B（3，0）， 过P点分别作与x轴和y轴的垂线，分别交x轴y轴于点E、F， 则OA=6，OB=3，EP=2，FP=2， ∴两直线与x轴围成的图形为△OPB，面积为：OB·PE=×3×2=3， 两直线与y轴围成的图形为△OPA，面积为：OA·PF=×6×2=6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$