第一单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

圆 板块一:考点精讲 【圆、圆环的周长知识点归纳】 圆的周长= d=2 r, 半圆的周长等于圆周长一半加上直径,即; 半圆周长= r+2r. 圆环的周长等于两个圆的周长,即: 圆环的周长= d1+ d2=2 r1+2 r2. 【解题思路点拨】 (1)常规题求圆的周长,先求出关键量半径,代入公式即可求得. 【圆、圆环的面积知识点归纳】 圆的面积公式: S= r2 圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得,公式: S= r22﹣ r12= (r22﹣r12) 板块二:高频考点 一、选择题 1.在一个长10厘米、宽6厘米的长方形里画一个最大的圆,它的半径是( )。 A.10厘米 B.6厘米 C.5厘米 D.3厘米 2.大圆的半径是小圆的直径,则小圆的面积是大圆面积的( )。 A. B.4倍 C. D.2倍 3.如图,圆的直径是10cm,阴影部分的面积是( )。 A.50cm2 B.78.5cm2 C.28.5cm2 D.21.5cm2 4.在一张长12厘米,宽6厘米长方形纸中,最多可以剪( )个半径为1.5厘米的圆。 A.4 B.8 C.21 D.10 5.下图中有大小不同的两个圆,如果把这两个圆的半径各增加2厘米。下列关于圆的周长和面积,说法正确的是( )。` A.小圆的周长比大圆的周长增加得多 B.大圆的周长比小圆的周长增加得多 C.小圆的面积比大圆的面积增加得多 D.大圆的面积比小圆的面积增加得多 6.一个圆的周长缩小到原来的,则它的面积缩小到原来的( ). A. B. C. D. 7.人们通过适度的体育锻炼可以有效延缓衰老,减缓身体器官菱缩,增强抵抗力和免疫力。淘气和笑笑跑步锻炼身体,淘气沿长为70m,宽为30m的长方形跑道跑步,笑笑沿直径为60m的圆形跑道跑步,两人各跑完一周所用的时间相同,谁的速度快?( ) A.淘气 B.笑笑 C.一样快 D.无法判断 8.下列说法正确的是( ) A.所有圆的直径都相等 B.一个圆的两条直径的交点是这个圆的圆心 C.直径等于半径的两倍 D.半径等于直径的 二、填空题 9.在推导圆的面积公式时,将圆平均分成若干份,拼成一个近似的长方形。如果拼成的近似长方形的一条长是12.56厘米,那么圆的半径是 厘米。 10.下图是用圆摆成的图形。 照此规律摆下去,第6个图形共需要( )个圆,第n个图形共需要( )个圆。 11.已知一个长是9dm,宽是6.7dm的长方形和一个圆的周长相等,这个圆的面积是( )dm2。 12.一个正方形的边长是4分米,要在它的中间画一个最大的圆,圆的直径是( )分米,周长是( )分米,面积是( )平方分米。 13.一个圆形水池,直径为,则它的周长为( )m,沿着池边每隔种一棵杜鹃花,最多能栽( )棵杜鹃花。 14.如图,线段AB是圆的直径,长2cm,则三角形COD的面积是( )cm2。 15.圆内两端都在圆上的线段有( )条,其中( )最长.圆的直径和半径都有( )条. 三、判断题 16.如果圆的半径扩大3倍,那么它的周长扩大3倍,面积扩大6倍。( ) 17.长方形、等腰三角形和圆都是轴对称图形。( ) 18.半圆的面积是与它等半径的整圆面积的一半,半圆的周长就是与它等半径的圆周长的一半。( ) 19.周长相等的圆、正方形、长方形和平行四边形,正方形的面积最大。( ) 20.圆的任何一条直径都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴.( ) 21.直径是经过圆心并且两端都在圆上的线段,是圆内最长的线段。( ) 22.如果大圆的半径等于小圆的直径,那么大圆面积等于小圆面积的2倍。( ) 23.用同样长的铁丝围城长方形、正方形和圆,长方形的面积最小。( ) 四、解答题 24.摩天轮的半径大约是10米,笑笑坐着它转动5周,她大约在空中转过多少米? 25.在一个周长是40分米的正方形内,作一个最大的圆,这个圆的面积是多少平方分米? 26.李阿姨到超市买了一个圆形杯垫,它的周长是25.12厘米,它的面积是多少平方厘米? 27.把一块棱长为10厘米的正方体铁块熔成一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块。这个圆锥的高大约是多少厘米?(结果保留两位小数) 28.在长方形钢板上截取一个面积最大的半圆后,剩下部分的周长和面积分别是多少? 29.小明用一张正方形的卡片剪出一个最大的圆,如果剪出的圆的周长是12.56米,原来正方形卡片的周长是多少厘米? 30.在一块长10米,宽8米的长方形草地上,把一头牛拴在长方形的顶点处,绳长4米,这头牛吃不到草的面积是多少平方米? 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B D B A B 1.D 【分析】在一个长10厘米、宽6厘米的长方形里画一个最大的圆,这个圆的直径和长方形的宽相等时,这个圆最大。 【详解】6 2=3(厘米),即它的半径是3厘米; 故答案为:D 【点睛】只有所画的圆的直径和长方形的宽相等时,画出的圆才最大。 2.C 【分析】根据大圆半径是小圆直径和圆的面积= r2,可设小圆的半径为r,则大圆的半径为2r,用比求得它们的面积的关系。 【详解】解:设小圆的半径为r,则大圆的半径2r,则: 小圆面积∶大圆面积= r2∶ (2r)2=1∶4= 故答案为:C 【点睛】解答此题的关键是理解圆的面积比就等于半径平方的比。 3.C 【分析】因为在圆中所画最大正方形的是有底为直径长度,高为半径长度的两个直角三角形构成,圆的直径已知,根据底 高 2 2求出两个三角形面积也就能求出正方形的面积,最后再用圆的面积减去正方形的面积即是阴影部分的面积。 【详解】10 2=5(cm) 10 5 2 2 =100 2 =50(cm2) 3.14 (10 2)2-50 =3.14 25-50 =78.5-50 =28.5(平方厘米) 阴影部分面积是28.5平方厘米。 故答案为:C 【点睛】解答此题的关键是明白,圆中所画最大正方形的对角线就等于圆的直径。 4.B 【分析】直径=半径 2,求出圆的直径;根据长方形的长是12厘米,宽是6厘米,可以分别用长方形的长和宽除以圆的直径,就可以得出长和宽分别可以剪出多少个圆,最后再相乘,即可解答。 【详解】1.5 2=3(厘米) (12 3) (6 3) =4 2 =8(个) 在一张长12厘米,宽6厘米长方形纸中,最多可以剪8个半径为1.5厘米的圆。 故答案为:B 5.D 【分析】圆的周长=,半径增加2厘米,则周长为=+,所以周长增加;圆的面积=,半径增加2厘米,则面积为==,所以面积增加,半径越大,增加的越多。 【详解】圆的周长=,半径增加2厘米,则周长为=+,所以周长增加,和半径无关,即小圆和大圆的周长增加的一样多; 圆的面积=,半径增加2厘米,则面积为==,所以面积增加,半径越大,增加的越多,即大圆的面积增加的多。 故答案为D。 【点睛】本题主要考查圆的周长和圆的面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 6.B 7.A 【分析】根据速度=路程 时间,根据长方形周长公式:周长=(长+宽) 2;圆的周长公式:周长= 直径,代入数据,分别求出长方形周长和圆的周长,因为两人跑完一周所用时间相同,比较长方形周长和圆的周长大小,谁的周长长,谁的速度快,据此解答。 【详解】(70+30) 2 =100 2 =200(m) 3.14 60=188.4(m) 200>188.4,淘气的速度快。 故答案为:A 【点睛】数量掌握长方形周长公式和圆的周长公式是解答本题的关键。 8.B 【详解】试题分析:根据圆的特征,进行逐项进行分析即可. 解:A、根据圆的特征可知,在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径也相等;所以说法错误; B、根据直径的特点知,一个圆的两条直径的交点是这个圆的圆心,说法正确; C、根据圆的特征可知,在同圆或等圆中,直径等于半径的两倍,所以说法错误; D、根据圆的特征可知,在同圆或等圆中,半径等于直径的,所以说法错误; 故选B. 点评:此题考查了圆的特征,应注意基础知识的灵活运用,在说半径和直径的关系时一定要强调是在同圆或等圆中. 9.4 【分析】拼成的长方形的长是圆周长的一半,根据圆的周长公式可知=12.56厘米,所以求出半径为12.56 3.14=4厘米。 【详解】因为拼成的长方形的长是圆周长的一半,所以得出=12.56(厘米); 圆的半径:12.56 3.14=4(厘米) 那么圆的半径是4厘米。 【点睛】此题考查了圆的周长公式。要求熟练掌握并灵活运用。 10. 36 【分析】观察图形可知,第一个图形有1(12)个圆,第二个图形有4(22)个圆,第三个图形有9(32)个圆,第四个图形有16(42)个圆,则第n个图形圆的个数=n n,据此解答。 【详解】62=36(个) n n=n2(个) 即照此规律摆下去,第6个图形共需要36个圆,第n个图形共需要n2个圆。 11.78.5 【分析】因为长方形的周长和圆的周长相等,所以先求出长方形的周长(也是圆的周长),根据圆的周长公式:C=2 r求出圆的半径,最后根据圆的面积公式:S= r2,求出圆的面积。 【详解】(9+6.7) 2 =15.7 2 =31.4(分米) 31.4 3.14 2 =10 2 =5(分米) 3.14 5 5 =15.7 5 =78.5(平方分米) 【点睛】本题主要考查长方形的周长、圆的周长和面积公式,熟练掌握它们的公式并灵活运用。 12. 4 12.56 12.56 【分析】由题意可知圆的直径等于正方形的边长4分米,再根据圆的周长和面积公式计算即可。 【详解】一个正方形的边长是4分米,要在它的中间画一个最大的圆,圆的直径是4分米,周长是3.14 4=12.56分米,面积是3.14 (4 2)2=12.56平方分米。 【点睛】明确正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长是解题的关键。 13. 75.36 150 【分析】根据圆的周长公式:C= d,把数代入即可求出它的周长。由于沿着池边种花,这个水池是封闭图形,相当于一端植树一端不植树,则间距数=棵数,用圆的周长 0.5即可求出能栽多少棵杜鹃花,最后的结果除不尽用去尾法保留整数。 【详解】3.14 24=75.36(m) 75.36 0.5≈150(棵) 一个圆形水池,直径为,则它的周长为75.36m,沿着池边每隔种一棵杜鹃花,最多能栽150棵杜鹃花。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式以及植树问题,熟练掌握圆的周长的计算公式以及分清楚植树问题的情况是解题的关键。 14. 【分析】由图可知,三角形COD是一个直角三角形,其中的两条直角边都是圆的半径,所以其面积是r2 2,据此解答。 【详解】r=2 2=1(cm), 三角形COD的面积:1 1 2=(cm2) 【点睛】掌握圆的特点,找出三角形COD与圆之间的关系是解题关键。 15.无数,直径,无数. 【详解】试题分析:通过作图可知:两端都在圆上的线段有无数条,根据圆的直径的含义“通过圆心,并且两端都在圆上的线段,叫做直径”可知:一个圆中所有两端都在圆上的线段,直径是最长的,圆的直径和半径都有无数条;由此解答即可. 解:由题意可作图如下: 圆内两端都在圆上的线段有无数条,其中直径最长.圆的直径和半径都有无数条; 故答案为无数,直径,无数. 点评:解答此题应结合题意,通过作图,并结合直径的含义和圆的特征,解答即可. 16. 【分析】因为圆的周长C=2 r,由积的变化规律:当一个因数不变时,另一个因数扩大(或缩小)几倍,积就扩大(或缩小)几倍;知道半径扩大几倍,周长就分别扩大几倍;因为S= r2,所以当圆的半径扩大3倍,面积扩大32倍,由此得出答案。 【详解】因为圆的周长C=2 r,所以圆的半径扩大3倍,它的周长扩大3倍; 因为S= r2,所以当圆的半径扩大3倍,面积扩大32=9倍。 故答案为: 【点睛】此题主要是利用圆的面积、周长与半径的关系及积的变化规律解决问题。 17.√ 【分析】根据轴对称图形的特征,一个图形沿一条直线对折,直线两旁的图形完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,据此进行分析。 【详解】如下图所示: 则长方形、等腰三角形和圆都是轴对称图形。 故答案为:√ 【点睛】根据轴对称图形的定义即可解答。 18. 【分析】半圆的面积=圆的面积 2,半圆的周长=圆的周长 2+直径;据此解答。 【详解】半圆的面积=圆的面积 2,所以半圆的面积是与它等半径的整圆面积的一半;半圆的周长=圆的周长 2+直径,所以半圆的周长不是与它等半径的圆周长的一半。 故答案为: 【点睛】解题时注意周长的意义,半圆的周长=圆的周长 2+直径。 19. 【分析】要比较周长相等的正方形、平行四边形、长方形和圆形,谁的面积最大,谁面积最小,可以先假设这几种图形的周长是多少,再利用这几种图形的面积公式,分别计算出它们的面积,最后比较这几种图形面积的大小,据此判断。 【详解】假设长方形、正方形和圆的周长为12.56厘米 长方形的长宽可以为3.13厘米、3.15厘米 长方形的面积=3.13 3.15=9.8595(平方厘米) 正方形的边长为3.14厘米 正方形的面积=3.14 3.14=9.8596(平方厘米) 圆的面积=3.14 (12.56 3.14 2)2=12.56(平方厘米) 周长相等的长方形和平行四边形,长方形的面积大于平行四边形的面积。 12.56>9.8596>9.8595 从上面可以看出圆的面积最大,由此我们可以得出一般结论:周长相等的平行四边行、长方形、正方形和圆,面积最大的是圆。因此,原题的说法错误。 故答案为: 【点睛】此题主要考查圆、正方形、长方形、平行四边形的周长公式、面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 20. 【分析】圆是轴对称图形,对称轴是一条直线,而直径是一条线段,应该说直径所在的直线是圆的对称轴. 【详解】圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴.原题说法错误. 故答案为错误. 21.√ 【详解】直径是经过圆心并且两端都在圆上的线段,是圆内最长的线段,说法正确。 故答案为:√ 22. 【分析】设小圆的半径为r,则大圆的半径为2r,根据圆的面积公式分别表示出大圆和小圆的面积,找两者间的关系即可。 【详解】设小圆的半径为r,则大圆的半径为2r,小圆的面积为 r2,大圆的面积为 (2r)2=4 r2,4 r2 r2=4,所以大圆面积等于小圆面积的4倍。原题说法错误。 故答案为: 。 【点睛】此题主要考查有关圆的面积计算,掌握圆的面积计算公式是解题关键。 23.√ 【分析】根据题意可知,铁丝的长度是围成长方形、正方形和圆的周长,假设长方形、正方形和圆的周长都是16厘米,分别求出长方形、正方形和圆的面积,再进行比较大小,即可解答。 【详解】假设长方形、正方形和圆的周长都是16厘米。 圆的半径:16 3.14 2≈2.5(厘米) 圆的面积:3.14 2.52 =3.14 6.25 =19.625(平方厘米) 正方形边长:16 4=4(厘米) 正方形的面积:4 4=16(平方厘米) 假设长方形的长为6厘米,宽为2厘米,则面积:6 2=12(平方厘米)。 12平方厘米<16平方厘米<19.625平方厘米,则用同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆,长方形的面积最小。原题说法正确。 故答案为:√ 【点睛】本题考查圆、正方形以及长方形的周长、面积公式的应用。周长相等的圆、正方形、长方形,圆的面积最大,长方形的面积最小。 24.314米 【详解】摩天轮转一圈就是一个圆的周长,5圈就是5个圆的周长,根据圆的周长公式C=2 r,计算得到周长62.8米,5圈就是314米。 答:她大约在空中转过314米。 25.78.5平方分米 【详解】:半径:40 4=10(分米) 10 2=5(分米) 面积:3.14 52=78.5(平方分米) 答:占地面积是78.5平方分米. 考点:圆的面积 26.50.24平方厘米 【详解】25.12 2 3.14=4(厘米) 3.14 42=50.24(平方厘米) 27.106.16厘米 【详解】10 10 10 ≈106.16(厘米) 28.周长:32.56分米;面积:22.88平方分米 【分析】阴影部分周长等于直径是8分米圆的周长的一半,再加上长方形的两条宽与一条长的和,根据圆的周长公式:周长= 直径,代入数据求出周长; 阴影部分面积=长是8分米,宽是6分米的长方形面积-半径是(8 2)分米圆的面积的一半,根据长方形的面积公式:面积=长 宽;圆的面积公式:面积= 半径2,代入数据,即可解答。 【详解】3.14 8 2+8+6 2 =12.56+8+12 =20.56+12 =32.56(分米) 8 6-3.14 (8 2)2 2 =48-3.14 16 2 =48-50.24 2 =48-25.12 =22.88(平方分米) 答:阴影部分的周长是32.56分米,面积是22.88平方分米。 【点睛】本题考查圆的周长公式,圆的面积公式以及长方形面积公式的应用,关键是熟记公式,灵活运用。 29.1600 30.67.44平方米 【分析】根据题意可知,牛吃草的形状是一个半径为4米的圆的,求这头牛吃不到的面积,就是长方形面积减去圆的面积;根据长方形的面积:长 宽;圆的面积公式: 半径2,代入数据,即可解答。 【详解】10 8-3.14 42 =80-3.14 16 =80-50.24 =80-12.56 =67.44(平方米) 答:这头牛吃不到草的面积是67.44平方米。 【点睛】本题考查长方形面积公式,圆的面积公式,关键是熟记公式,灵活运用。 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$