第21章 二次根式基础知识及提升训练 讲义2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第21章 二次根式 基础知识巩固 一、二次根式：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，称为被开方数 二次根式：1、必须含有； 3、被开方数必须为非负数；3、根指数是2； 二、二次根式的双重非负性： （一）、被开方数是非负数：≥0； 1、≥0； 2、≠0； 3、≠0 （二）、二次根式表示非负数，≥0 1、≥0；2、≥0；3、≥0；（几个非负数的和为0，这几个非负数分别为0） 三、二次根式的两个基本结论：（1）＝；（2） ＝＝ 四、二次根式的乘法：·＝；＝·（≥0，≥0） ·＝（≥0，≥0） 五、二次根式的乘法：＝；＝（≥0，＞0） ÷＝（≥0，＞0） 六、最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数的字母或因式指数小于2； 七、同类二次根式：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同。 八、二次根式的加减法：（1）先化简成同类二次根式；（2）合并同类二次根式； 九、二次根式的混合运算；先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先计算括号里面的 课 堂 基 础 练 习 例1：代数式；；；；；中二次根式有（ ） A：5个 B：4个 C：3个 D：2个 例2：代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为________。 例3：若＝，则＝________。 例4：使式子有意义的实数（ ） A：不存在B：只有一个C：只有两个D：有无数个 例5：实数、在数轴上的位置如图所示： 化简－＋。 *例6：实数、满足＋4＋4＋＝0，则的值为（） A：2 B： C：－2 D：－ 变式练习1：使代数式＋有意义的整数有（ ） A：5个 B：4个 C：3个 D：2个 变式练习2：若、为实数，且｜＋3｜＋＝0，则的值为（ ） A：1 B：2 C：－1 D：－2 【解析】：A 变式练习3：对于所有实数、，下列等式总能成立的是（ ） A：＝＋ B：＝＋ C：＝＋ D：＝＋ 变式练习4：已知＋｜3＋2－15｜＝0，则的算术平方根为________。 变式练习5：若1≤＜4，则化简｜1－｜－的结果是（ ） A：2－1 B：3 C. －2＋3 D：－3 变式练习6：若＝，则＝______。 变式练习7：若与｜－－3｜互为相反数，则＋的值为（ ） A：3 B：9 C：12 D：27 变式练习8：（1）若＝2，则的取值范围是__________； （2）已知＝2－，则的取值范围是__________。 *变式练习9：若｜2023－｜＋＝，则－20232＝__________。 *变式练习10：已知：实数、满足条件＋＝0， 试求＋＋＋……＋ *变式练习11：若实数、、适合关系式：＋＝·，则＝_____________。 *变式练习12：方程＋＝0的解是__________。 *变式练习13：实数、满足－(3－1) ＝0，则＝_________。 *变式练习14：如果、、为实数，且满足＋＋－＋＝0，则＝_________。 *变式练习15：已知0＜＜1，化简－＝_______。 *变式练习16：已知：＝2－，则－4－6＝_______。 *变式练习17：已知＝2－，则－8＋16－＋1＝_______。 例7：在根式①；②；③；④中最简二次根式是（　　） A：①② B：③④ C：①③ D：①④ 例8：化简的结果是（ ） A： 3 B：2 C：3 D：2 例9：化简： （1）＝________；（2）－＝________；（3）（＞0）＝________； 例10：计算 （1）×＝______；（2）＋×＝______；（3）÷＝________； （4）＋×＝________；（5）＝________； （6）×÷＝________；（7）÷2×(－2)＝________。 变式练习18：二次根式；；；；；中最简二次根式有（ ）。 A：1个 B：2个 C：3个 D：4个 变式练习19：下列二次根式中，与之积为有理数的是（ ） A： B： C： D：－ 变式练习20：计算÷×的结果估计在（ ） A：5至6之间 B：6至7之间 C：7至8之间 D：8至9之间 变式练习21：若×＝，则的取值范围是_________。 变式练习22：÷×＝________； 变式练习23：计算：2÷×＝________； 变式练习24：计算： （1）×÷； （2）×(÷2)； （3）×÷； （4）×÷（） *变式练习25：若＝，且＋＝5，则的取值范围是（ ） A：＞ B：≤＜5 C：＜＜7 D：＜≤7 *变式练习26：把根号外面的式子移到根号里面： （1）＝____________；（2）－＝____________； *变式练习27：如果非零实数、满足＝－，那么点(，)在（ ）。 A：第一象限 B：第二象限 C：第三象限 D：第四象限 *变式练习28：设＝－，则的值为（ ） A：－ B：－ C：＋ D：不能确定 *变式练习29：若0＜＜1，化简＋的结果是( ) A：－2 B：2 C：－ D： 例11：在，，，中，与是同类二次根式的是________。 例12：下列二次根式能与是合并的是（ ） A： B： C.： D： 例13：下列根式中与不是同类二次根式的是（ ） A： B： C：3 D： 例14：若最简二次根式与是同类二次根式，则＝________。 例15：计算 （1）＋＝________；（2）－6＝________；（3）－9＝________； 例16：计算 （1）－－2＋； （2）(3＋4)－(－) （3）(－2)； （4）3＋－＋ 例17：计算： （1）(2＋5)(5－2)－；（2）－2＋＋ 例18：计算： （1）－＋2－；（2）＋－6－ 例19：已知＝＋，＝－，则＋＝__________。 变式练习30：下列计算正确的是（） A：3＋2＝5 B：＋＝ C： 3－＝3 D：－＝ 变式练习31：小马虎做了下列四道题：①＋＝；②＋2＝2；③＝－＝5－3＝2；④－＝－。他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了（ ） A：4道 B：3道 C：2道 D：1道 变式练习32：计算（1）＋＋＝________； （2）3－｜－｜＝________； （3）＋＋3＝________； （4）÷(×)＝________； 变式练习33：计算题 （1）(＋8－×)÷； （2）－(3－)×＋｜3－｜； （3）－÷2＋(3－)×(1＋)； （4）； （5）－； （6）(＋)(－)－； *变式练习34：已知＝，＝，则代数式﹣3＋的值为___。 *变式练习35：先观察规律： ＝－1，＝－，＝－，＝－，…… 试求：（1）计算：＝___________；＝___________； (为正整数)； （2）再利用这一规律计算下列式子的值： (7＋1)( ＋＋＋…＋)。 （3）比较大小：－_______－。 *变式练习36：化简求值： （1）已知＝＋1，求＋1－的值； （2）已知是的小数部分，求的值。 *变式练习37：设－＝2＋，－＝2－，则＋＋－－－＝____________。 *变式练习38：已知实数，，满足＝4－，＝4＋，则＋＋＝_________。 课 后 综 合 练 习 1、下列式子中是二次根式的有(　　) ①；②；③－；④；⑤；⑥ (＞1)；⑦。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、二次根式有意义，则的取值范围是___________。 3、下列根式，，，，中，是最简二次根式的式子是_______。 4、二次根式，，、中，最简二次根式是_________。 5、计算：·＝__________；(－2)＋＝__________。 6、计算：2×÷5＝__________。 7、若实数，满足＋＝0，则＝__________。 8、若实数，满足＋＝0，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为_______________。 9、计算：（1）＝__________；（2）÷×2÷＝__________； （3）＝__________；（4）＝__________； 10、当＝时，分式÷的值是_________。 11、若＝，则－2－2014＝____________。 12、若＝2－，则实数满足的条件是___________。 13、已知－1＜＜1，化简：＋＝____________。 14、已知0＜＜1，则÷(1－)＝____________。 *15、已知，为实数，且，满足－2＝－－5，则＝____________。 *16、已知＋＝6，＝7，则代数式＋的值为________。 *17、形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝＝叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为__。 *18、已知－＝－4，则＋的值为__________。 19、计算： （1）＋－； （2）×； （3）×－； （4）－－＋； （5）－＋＋； （6）－ 20、已知＝＋2，＝－2，求：（1）和＋的值；（2）的值。 *21、已知、都是正整数，且，则＋＝________。 *22、已知＝，＝＋2，求＋2＋＋ (－)的值。 *23、阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌。这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比。在二次根式中也有这样相辅相成的例子。如：＝1；＝3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。于是，二次根式除法可以这样解：如＝＝7＋4；＝＝，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化。解决问题： （1）3＋的有理化因式是______， 分母有理化得______； （2）比较大小： ______（用“＞”、“＜”或“＝”填空）； （3）计算：＋＋＋……＋＋ ( 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$