第三章 代数式重点题型 归纳法在探究规律中的应用（课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

第三章 代数式 重点题型 归纳法在探究规律中的应用 荣老师告诉你 规律探究问题也是归纳猜想型问题，其特点是用式子表示数量关系及所反映的规律，给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，它体现了“从特殊到一般”的数学思想方法，主要有“数式规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等类型. 满分题溯源 题 型 数式规律探究 1 探索规律:31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，则32 025 的个位数字是_______. 例 1 解：通过观察个位数字的规律，找出哪几个数字为一组进行循环，然后用指数除以循环组内数字的个数，结果余几，就和循环组内的第几个数字相同，易得 出 32025 的个位数字是 3. 3 满分题溯源 观察下列各数:0，3，8，15，24， …，按此规律写出第100 个数是_______，第n 个数是 _______. 例 2 解题秘方：解答本题可以先找出一般规律，然后使用这个规律计算出第100 个数，最后写出第n 个数. 解：给出的数:0，3，8，1 5 ，2 4 ，…序列号:1 ，2 ，3 ，4 ，5，…容易发现，已知的每一个数都等于它的序列号的平方减1 . 因此，第100 个数是1002－1 =9999 ，第n个数是n2－1 . 9999 n2－1 满分题溯源 方法点拨:本题采用标序列号的方法，在解决数的排列规律题目时，通常按照一定的顺序给出一系列数，然后对应标出序列号，把数和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘. 满分题溯源 观察下列等式: ① 1×=1－; ② 2×=2－;③ 3×=3－; ④ 4×=4－; … 猜想第 个等式为_______________.(用含n 的代数式表示) 例 3 解：观察相应位置上变化的数字与序号的对应关系，易得出第n 个等式为n·=. n·=n－ 满分题溯源 题 型 图形规律探究 2 由结构类似，多少和位置不同的几何图形组成的图案的图形的个数之间也有一定的规律可循，并且还可以用一个通用的式子来表示, 这类题的解决思路有两种: 一种是数图形，将图形规律转化为数字规律，然后用“观察法”解决；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决. 满分题溯源 如图1 是由若干根火柴棒摆成的图形，第①个图用了4 根火柴棒，第②个图用了7 根火柴棒，第③个图用了10 根火柴棒，依次类推，第⑩个图用了____根火柴棒，摆第 个图时，要用_______ 根火柴棒. 例 4 31 (3n＋1) 满分题溯源 解：本题中第①个图可拆为 ，即1＋3=4(根)； 第② 个图可拆为 ，即1＋3×2=7(根)； 第③个图可拆为 ，即1＋3×3=1 0(根). 由此可知，第⑩个图用了1 ＋3×10 =31(根)火柴棒，摆第 个图时，要用(3n＋1)根火柴棒. 满分题溯源 方法点拨：本题采用拆图法，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，往往给出一组变化了的图形或条件，通过拆图，观察、分析、猜想出图形的相同点或不同点，找出图形之间的变化规律. 满分题溯源 [中考·大庆] 如图2，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图形需要______枚黑色棋子. 例 5 解题秘方：观察图形可得前几个图形需要黑色棋子的枚数，发现规律即可得第2 0个图形需要黑色棋子的枚数. 440 满分题溯源 解：观察图形可知： 第1 个图形需要1×3=3(枚)黑色棋子； 第2 个图形需要2×4 =8(枚)黑色棋子； 第3 个图形需要3×5=15(枚)黑色棋子； 第4 个图形需要4×6 =24(枚)黑色棋子； … 则第n 个图形需要n(n＋2)枚黑色棋子； 所以第20 个图形需要2 0×(20＋2)=440(枚)黑色棋子． 满分题溯源 [中考·成都]在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究。发现：当n=2 时，只有{1，2} 一种取法，即k=1；当n=3 时，有{1，3} 和{2，3} 两种取法，即k=2；当n=4 时，可得k=4…… . 若n=6, 则k 的值为______；若n=24，则k 的值为______. 例 6 解题秘方：本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键. 9 144 满分题溯源 解：当n=2 时，只有{1，2} 一种取法，则k=1；当n=3 时，有{1，3} 和{2，3} 两种取法，则k=2；当n=4 时，有{1，4}，{2，4}，{3，4}，{2，3} 四种取法，则k=3＋1=4= ；故当n=5 时， 有{1，5}，{2，5}，{3，5}，{4，5}，{2，4}，{3，4} 六种取法，则k=4＋2=6；当n=6时，有{1，6}，{2，6}，{3，6}，{4，6}，{5，6}，{2，5}，{3，5}，{4，5}，{3，4} 九种取法，则k=5＋3＋1=9=；依次类推，当n 为偶数时，k=(n－1)＋(n－3)＋… ＋5＋3＋1= ，故当n=24时，k=23＋21＋ 19＋… ＋5＋3＋1= =144. 满分题溯源 $$