第三章 代数式 章末核心要点分类整合（课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

第三章 代数式 章末核心要点分类整合 1. 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，叫作代数式；单独的一个数或字母也是代数式. 2. 在不同实际情境下，相同的代数式表示不同的意义. 3. 两个相关联的量，当比值一定时，它们成正比例关系；当乘积一定时，它们成反比例关系. 4. 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 核心必读 专 题 列代数式 1 [中考·河南] 若某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3 个年级共需配发_____套劳动工具. 例 1 解题秘方：总数= 每个年级的数量× 年级数. 解：因为该校计划给每个年级配发n 套劳动工具，所以3 个年级共需配发3n 套劳动工具． 3n 知识必学 [中考·山西] 如图3-1 是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1 个图案中有4 个白色圆片，第2 个图案中有6 个白色圆片，第3 个图案中有8 个白色圆片，第4 个图案中有10 个白色圆片，…，依此规律，第n个图案中有______个白色圆片.(用含n 的代数式表示) 例 2 (2＋2n) 知识必学 解题秘方：后一个图案比前一个图案多2 个白色圆片. 解：第1 个图案中有2 ＋2×1 =4(个)白色圆片； 第2 个图案中有2 ＋2×2 =6(个) 白色圆片； 第3 个图案中有2 ＋2×3 =8(个) 白色圆片； …… 第n 个图案中有(2 ＋2n)个白色圆片. 知识必学 思路点拨：(1)探索规律的关键: 注意观察已知的对应数值(或图形)的变化规律，从中发现数量关系(或图形的变化规律)，即得到规律. (2)探索规律的步骤：①从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把各数量或图形的变化特点展现出来；②认真观察,合理联想，大胆猜测，总结归纳，得出数量或图形间的变化规律，形成结论；③由此及彼验证结论的正误. 知识必学 专 题 求代数式的值 2 链接中考 >> 求代数式的值，就是将字母的值代入，然后按照运算法则计算即可，在中考中，一般以填空、选择题的形式出现，但在本章考查时，有时以解答题的形式出现. 知识必学 [中考·漳州] 在数学活动课上, 同学们利用如图3-2 的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是( ) A. 4，2，1 B. 2，1，4 C. 1，4，2 D. 2，4，1 例 3 D 知识必学 解题秘方：根据运算程序进行计算，逐项代入验证. 解：若最初输入的数是4，因为x=4 是偶数，所以对应的值是=2；而x=2 是偶数，则对应的值是=1；而x=1 是奇数，则对应的值是3x＋1 =4，即以4，2，1 为循环节进入循环；用上述方法可得：当最初输入的数是2 时，将以2，1，4 为循环节进入循环；当最初输入的数是1 时，将以1，4，2 为循环节进入循环. 知识必学 思路点拨：解决运算程序类问题，首先要根据运算程序进行计算，再根据计算的结果寻找规律，寻找规律时把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘. 知识必学 [期末·周口淮阳区] 某学校组织七、八年级全体学生参观七亘大捷爱国主义教育基地(位于平定县东回镇七亘村)．七年级租用45 座大巴车x 辆，55 座大巴车y 辆；八年级租用30 座中巴车y 辆，55 座大巴车x 辆．当每辆车恰好坐满学生时： (1)用含有x，y 的代数式分别表示七、八年级各有多少名学生？ (2)当x=4，y=6 时，该学校七、八年级各有多少名学生？ 例 4 知识必学 解题秘方：先利用两种车辆乘坐的人数和辆数分别表示出七、八年级的人数，然后代入数值进行计算. 解：(1)七年级有(45x＋55y)名学生，八年级有(55x＋30y)名学生； (2)当x=4，y=6 时，45x＋55y=45×4 ＋55×6 =510(名)， 55x＋30y=55×4 ＋30×6 =400(名). 故当x=4，y=6 时，该学校七年级有510名学生，八年级有400 名学生． 知识必学 专 题 整体代入法求代数式的值 3 链接中考 >> 有些数学问题直接求解困难，甚至不能解出，可把要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做整体处理，达到顺利解决问题的目的.整体思想作为重要的思想方法之一，在我们的解题过程中经常使用. 求代数式的值时，一般情况下，先对代数式进行化简，再将字母的数值代入，但如果题目中的已知式与所求式的某一部分相同时，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求值的代数式变形后整体代入，这种求代数式值的方法称为整体代入法. 方法必会 [期末·德州陵城区]当x=3 时，代数式5ax5＋4bx3＋3cx－4 的值为2024. 求当x=－3时，代数式－5ax5－4bx3－3cx－4 值是( ) A.2024 B. －2024 C.2030 D. － 2030 例 5 解题秘方：将x 的值分别代入两个代数式，整体对比可得答案. 解：由题意得，当x=3 时，5ax5＋4bx3＋3cx－4=5a×35＋4b×33＋3c×3－4=2024；当x=－3 时，－5ax5－4bx3－3cx－4=－5a×(－3)5－4 b ×(－3)3－3c ×(－3)－4 = 5a×35 ＋4b×33＋3c×3－4 =2024 ． A 方法必会 思路点拨：在无法求得a，b，c的值的情况下，把含有a，b，c的式子看作一个整体，将待求代数式转化为已知整体的形式进行求解.专题四 从特殊到一般的思想 方法必会 专 题 从特殊到一般的思想 4 链接中考 >> 从特殊到一般的思想多用于规律探究类题目。从特殊情况入手，分析其规律，然后应用于一般情况，为保证规律的正确性，需进行检验. 方法必会 [中考·安徽节选]【 观察思考】如图3-3所示. 例 6 方法必会 【规律发现】 请用含n 的代数式填空： (1)第n 个图案中“◎”的个数为_______ ； (2)第1 个图案中“★”的个数可表示为，第2 个图案中“ ★” 的个数可表示为，第3 个图案中“★”的个数可表示为，第4 个图案中“★”的个数可表示为…， 第n 个图案中“★”的个数可表示为________ . 3n 方法必会 解题秘方：由特殊情况入手，分析个数与序数之间的关系，得到一般规律. 解：(1)第1 个图案中“◎”的个数为3=1×3， 第2 个图案中“◎”的个数为6 =2×3， 第3 个图案中“◎”的个数为9 =3×3， …则第n 个图案中“◎”的个数为3n. (2)由题意得，第n 个图案中“★”的个数可表示为. 方法必会 类 型 用代数式表达数量关系 1 [新考向 知识情境化 ]下列能用2a＋4 表示的是( ) 1 C 好题必解 下列说法中，正确的是( ) A. 表示x，y，3，的积的代数式为3 xy B. m 是代数式，1 不是代数式 C. 表示的意义是a 与3 的差除b 的商 D. a，b 两数的差的平方与a，b 两数积的4 倍的差表示为(a－b)2－4ab 2 D 好题必解 [期中·南京玄武区]某工厂计划生产n 个零件，原计划每天生产a 个零件，实际每天比原计划多生产b 个零件，则实际生产所用的天数比原计划少( ) A. (－)天 B. (－)天 C. (－)天 D. (－) 天 3 D 好题必解 某种商品原价是m 元，第一次降价打九折，第二次降价每件又减20 元，第二次降价后的售价是__________元. 5 4 若长方形的面积是10，相邻两边的长分别为x，y，用式子表示y 与x 的关系为_______，它们成 比例关系____(填“正”或“反”). 6 [期末·荆州江陵县] 已知a 是两位数，b 是一位数，把a 接写在b 的后面，就成为一个三位数，则这个三位数可表示为________ . (0.9m－20) xy＝10 反 100b＋a 好题必解 小明房间窗户的装饰物如图①所示，它由两个相同的四分之一圆组成． 7 (1) 用代数式表示图①窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计)； 好题必解 (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图②所示，它由两个四分之一圆和一个半圆组成(半径相同)，请用代数式表示图②窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计) 好题必解 类 型 求代数式的值 2 [新视角 结论探究题](1)当a=－2，b=1 时，求两个代数式(a＋b)2，a2＋2ab＋b2 的值 (2) 当a=－2，b=－3 时，再求以上两个代数式的值； 8 解：当a＝－2，b＝1时，(a＋b)2＝(－2＋1)2＝1， a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×1＋12＝4－4＋1＝1. 当a＝－2，b＝－3时，(a＋b)2＝(－2－3)2＝25， a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－3)＋(－3)2＝4＋12＋9＝25. 好题必解 (3)你能从上面的计算结果中发现什么结论？ 解：根据(1)(2)的计算结果，发现的结论是： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 好题必解 [期末·济南莱芜区] 某厂家生产的产品出厂时可以提供如图所示的两种方式进行打包． (1)请用代数式分别表示出两种打包方式的绳子长度l1，l2； (2)若a=1 m，b=0.4 m，c=0.2 m，求两种打包方式的绳子长度． 9 解：l1＝4a＋2b＋6c，l2＝4a＋2b＋2c. 当a＝1 m，b＝0.4 m，c＝0.2 m时， l1＝4×1＋2×0.4＋6×0.2＝6(m)， l2＝4×1＋2×0.4＋2×0.2＝5.2(m)． 好题必解 七年级学生在5 名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30 元. 现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按八折收费；乙方案：师生都按七五折收费． (1)若有m 名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元？ 10 解：甲方案：m×30×0.8＝24m(元)， 乙方案：(m＋5)×30×0.75＝22.5(m＋5)(元)． 好题必解 (2)当m=60 时，采用哪种方案更优惠？ (3)当m=105 时，采用哪种方案更优惠？ 解：当m＝60时，甲方案费用为24×60＝1 440(元)， 乙方案费用为22.5×(60＋5)＝1 462.5(元)， 因为1440＜1462.5，所以采用甲方案更优惠． 当m＝105时，甲方案费用为24×105＝2 520(元)， 乙方案费用为22.5×(105＋5)＝2 475(元)， 因为2 475＜2 520，所以采用乙方案更优惠． 好题必解 [新趋势学科综合中考·重庆]烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子. 第1 种如图①有4 个氢原子，第2 种如图②有6 个氢原子，第3 种如图③有8 个氢原子，…，按照这一规律，第10 种化合物 的分子结构模型中氢原子的 个数是( ) A.20 B.22 C.24 D.26 11 类 型 规律探索类问题 2 B 好题必解 [中考·江西] 观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100 个式子为_______. a100 12 好题必解 [新视角 主题探究题]综合与实践 【观察思考】某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设． 【规律总结】 (1)从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加_____ 块，三角形地砖会增加_____ 块； (2)若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为_______块，三角形地砖的数量为_______块；(用含a的代数式表示) 5 13 4 (5a＋1) (4a＋2) 好题必解 【问题解决】 (3)为了增加道路的趣味性，计划将所有的正方形地砖换成创意地砖，已知每块正方形地砖的边长为80 cm，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，求创意地砖的面积. 若a=25，且每平方米创意地砖的成本为26 元，则大约需要多少钱(精确到个位)？ 解：由(2)可知，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为(5a＋1)块．因为80 cm＝0.8 m， 所以每块正方形地砖的面积为0.8×0.8＝0.64(m2)，即创意地砖的面积为0.64(5a＋1)＝(3.2a＋0.64)m2， 当a＝25时，创意地砖的面积为3.2×25＋0.64＝80.64(m2)， 所以需要80.64×26＝2 096.64≈2 097(元)． 答：创意地砖的面积为(3.2a＋0.64)m2；大约需要2 097元． 好题必解 解：由图①可得，窗户能射进阳光的部分的面积为ab－π××2＝ab－πb2； 解：由图②可得，窗户能射进阳光的部分的面积为ab－π×＝ab－πb2. $$