3.2 代数式的值（课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

3.2 代数式的值 第三章 代数式 知识点 代数式的值 知1－讲 1 1. 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 2. 求代数式值的步骤 感悟新知 知1－讲 特别解读 1.代数式的值一般不是某个固定的值，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的. 2.代数式中字母的取值必须使代数式有意义且符合实际. 3.如果代数式里省略了乘号，那么用数值代替字母时需添上乘号. 4.当代入的数是分数或负数时，要注意添加括号. 感悟新知 知1－练 例 1 [母题 教材P79例1 ]根据下列a，b 的值， 分别求代数式＋b2的值： (1)a=3，b=－1； (2)a=－2，b= . 解：当a=3，b=－1 时，＋b2= ＋(－1)2= ＋1= ； 当a=－2，b=时，＋b2=＋()2=－＋=－. 感悟新知 知1－练 1-1.设y ＝2x2－x－3，填写表格： 18 x －3 －1 0 1 3 y 0 －3 －2 12 感悟新知 知1－练 [新考向 传统文化]如图3.2-1，圆形方孔钱是中国古钱币的突出代表. 一枚圆形方孔钱的外半径为r，中间方孔边长为a. 例 2 解题秘方：表示出圆和正方形面积的差，然后代入数值计算． 感悟新知 知1－练 (1)用含r，a 的代数式表示阴影部分的面积； (2)当r=10 cm， a=6 cm时，求阴影部分的面积. (π取3.14) 解：根据题意可得，阴影部分的面积为πr2－a2； 当r=10 cm，a=6 cm 时， 阴影部分的面积为πr2－a2=3.14×102－62=278(cm2)， 故阴影部分的面积为278 cm2. 感悟新知 知1－练 2-1.如图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m)： 感悟新知 知1－练 (1)其中客厅的面积为20 m2，则y= _______；用含x 的代数式表示这所住宅的平面图总面积S=______________ . (2)铺1 m2 地砖平均费用100 元，当x=5 m 时，这所住宅铺地砖总费用为多少元？ 5 (x2＋2x＋29)m2 解：当x＝5时，S＝x2＋2x＋29＝52＋2×5＋29＝64(m2)， 100×64＝6400(元)， 答：这所住宅铺地砖总费用为6400元． 感悟新知 代数式的值 代数式 代入数值 计算 括号 顺序 课堂小结 当a=4，b=－时，求下列代数式的值： (1)4ab；(2)a2＋ab－b2． 题型 代入求值 1 例 3 思路引导： 综合应用创新 解：(1)当a=4，b=－时，4ab=4×4×(－)＝－24 ； (2)当a=4，b=－时，a2＋ab－b2=42＋4×(－)－ (－)2=16－6－=． 综合应用创新 解法提醒 1.代入数值后，要将原来省略的乘号还原. 2.负数要用括号括起来. 3.计算时不能改变原来的运算顺序. 综合应用创新 若|a|=2，|b|=3，且ab ＜ 0，a ＞ b，求(a＋b)a的值. 例 4 解题秘方：根据条件求出字母的取值，然后代入求值. 解：因为ab ＜ 0，a ＞ b，所以a ＞ 0，b ＜ 0 . 又因为|a|=2，|b|=3，所以a=2，b=－3， 所以a＋b=－1 ，所以(a＋b)a=(－1)2=1 . 综合应用创新 若x＋y=4，a，b 互为倒数，则(x＋y)＋5ab 的值是______. 例 5 思路引导： 7 解：因为a，b 互为倒数，所以ab=1 . 又因为x＋y=4，所以(x＋y)＋5ab=×4 ＋5×1 =7 . 综合应用创新 解题通法 整体代入法： 在求代数式的值时，若没有直接给出相关字母的值或无法通过已知条件求出字母的值，可将代数式进行适当变形，利用整体代入的方法求值. 综合应用创新 某市出租车的收费标准为起步价12.5 元(不超过 3 km)，超过3 km 的部分每千米加收2.4 元. 某人乘出租车行驶x(x>3) km，试用含x 的代数式表示他应付的费用，并求当x=8 时，他应付的费用. 题型 根据实际问题中的等量关系求值 2 例 6 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：由题意得，他应付的费用为[12.5＋2.4(x－3)] 元. 当x=8 时，12.5 ＋2.4(x－3)= 12.5 ＋2.4 ×(8－3)=24.5 . 答：他应付的费用可表示为[12.5 ＋2.4(x－3)] 元. 当x=8时，他应付的费用为24 .5 元. 元 综合应用创新 方法点拨 运用整式解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题，用含字母的代数式表示问题中的数或数量关系，再将所给的数值代入求解得实际问题的答案. 综合应用创新 例 7 题型 列代数式表示变化规律 3 (1)如图3.2-2，从一张正方形纸上剪去四个完全相同的小长方形，小长方形的长为b，宽为a，则剩下的白色图形纸的周长C为_______，面积S 为_______ ，当a=3，b=6 时，C= _______ ，S= _______ ； 4(b－a) (b－a)2 12 9 综合应用创新 解：根据题意剩下的白色图形仍然为正方形，其边长为b－a，所以剩下的白色图形纸的周长C=4(b－a)，面积S=(b－a)2，当a=3，b=6 时，C=4×(6－3)=12 ，S=(6－3)2=9； 综合应用创新 (2)一个长方体的底面是一个边长为a cm 的正方形，体积为V cm3，则高为______ cm. 当a=3，V=6π 时，高为______cm. 解：由长方体的高= 体积÷ 底面积可得高为，当a=3，V=6π 时， = =. 综合应用创新 知识链接 熟练掌握各种图形的周长、面积、体积公式是解决此类问题的关键： 柱体的体积= 底面积×高. 图形 周长 面积 长方形 2a＋2b ab 正方形 4a a2 三角形 ah 梯形 (a＋b)h 圆 2πr πr2 综合应用创新 [新考法 归纳法]如图3.2-3 是按照一定规律摆放棋子组 成的图案，照这样的规律摆下去，请解答下列问题： 题型 根据变化规律求值 4 例 8 综合应用创新 解题秘方： 综合应用创新 (1)第4 个图案上共有_______枚棋子； 解：第1 个图案上共有(3×1 ＋2)枚棋子， 第2 个图案上共有(3×2＋2)枚棋子， 第3 个图案上共有(3×3＋2)枚棋子， 所以第4 个图案上共有3×4 ＋2=14(枚)棋子. 14 综合应用创新 (2)用代数式表示出第n 个图案上棋子的枚数，求第60 个图案上棋子的枚数. 解：由(1)知，第n 个图案上共有(3n＋2)枚棋子. 当n=60 时，3n＋2=3×60＋2=182 ， 故第60 个图案上共有182 枚棋子. 综合应用创新 方法点拨 利用代数式分析递增的变化规律，关键分析两点：(1)每一个数与基数(第一个数)间的关系；(2)递增的量与个数间的关系. ▲▲▲▲ 综合应用创新 易错点 代入负数或分数时，未加括号而致错 当x=－2，y=－时，求代数式x2＋y2 的值. 例 9 错解：当x=－2，y=－时， 原式=－22＋(－)=－4－=－. 综合应用创新 正解：当x=－2，y=－时，原式=(－2)2＋(－)2= 4＋=. 综合应用创新 诊误区： 在计算与乘方运算有关的代数式值时，代入负数或分数后，若不加括号，会引起底数变化而导致计算结果错误. 综合应用创新 考法 求代数式的值 1 [中考·梧州]若x=1，则3x－2=______. 试题评析：本题考查利用直接代入法求代数式的值，题目简单. 解：把x=1 代入3x－2 ，原式=3×1－2 =1 . 1 例10 中考风向标 考法 与实际问题相结合求值 2 [新趋势跨学科综合]中考·宁夏如图3.2-4 是某种杆秤，在秤杆的点A 处固定提纽，点B 处挂秤盘，点C 为0 刻度点． 例11 中考风向标 当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x g 物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y mm 时，秤杆处于平衡. 测得x 与y 的几组对应数据如下表： x/g 0 2 4 6 10 y/mm 10 14 18 22 30 中考风向标 由表中数据的规律可知，当x=20 时，y=_______.　 　 50 中考风向标 试题评析：本题考查学生根据提供的数据总结规律并用代数式表示，然后求代数式值的能力，综合性较强. 当秤盘放入2 g 物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×2=14(mm)； 中考风向标 当秤盘放入4 g 物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×4 =1 8(mm)； 当秤盘放入6 g 物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×6 =2 2(mm)； 当秤盘放入1 0 g 物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×1 0 =3 0(mm)； …… 中考风向标 所以当秤盘放入x g 物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为(10 ＋2x)mm. 当x=20 时，y=10＋2×20 =50 . 中考风向标 1. 若a=－2，b=3，c=－4，则代数式a－ (b－c)的值为( ) A. －1 B. －5 C. －6 D. －9 D 综合素养训练 2. [新考向 数学文化]历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用f(a)来表示，例如当x=－1 时，多项式f(x)=x2＋ 3x－5 的值记为f(－1)，则f(－1)等于(　　) A. －7 B. －9 C. －3 D. －1 A 综合素养训练 3. [新考法 数值特征法]如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为125 ，则第2025 次输出的结果为( ) A.1 B.5 C.25 D.125 A 综合素养训练 4. 工地上有80 t 水泥，每天用去2 t，请用代数式表示m 天后剩余水泥________t；1 0 天后剩余水泥_____ t. 5. [新视角 结论开放题]写一个只含有字母a的代数式，使得这个代数式中不论a取何值，该代数式的值总是负数，你写的代数式是___________________ . (80－2m) 60 －a2－1(答案不唯一) 综合素养训练 6. [立德树人 红色旅游]赓续红色文化，传承红色基因． 学校组织学生参加红色研学活动，共有m 名教师与n 名学生参加．学校咨询了A，B 两家旅行社，两家旅行社给出了不同的报价如下，A旅行社：教师全价，80元/ 人，学生半价，40元/ 人；B旅行社：全部成员，六折优惠，即48元/ 人．两家旅行社提供的服务项目与服务质量相同． 综合素养训练 (1)用含m，n 的代数式分别表示两家旅行社的收费． 解：A旅行社的收费为(80m＋40n)元， B旅行社的收费为48(m＋n)元； 综合素养训练 (2)当m=20 ，n=500 时，选择哪家旅行社总价更优惠？ 解：当m＝20，n＝500时， A旅行社的收费为80×20＋40×500＝1 600＋20 000＝ 21 600(元)， B旅行社的收费为48×(20＋500)＝48×520＝24960(元)． 因为21 600＜24 960，所以选择A旅行社总价更优惠． 综合素养训练 7.[期中·杭州拱墅区]如图，实验中学新东区计划修建一座花坛，花坛呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺设鹅卵石． 综合素养训练 (1)用含a，b 的代数式表示铺设鹅卵石的面积S； 综合素养训练 (2)若a=4，b=7 ，每铺1 m2 鹅卵石需要180 元，每铺1 m2 草地需要60元，求铺设花坛共需要花费多少元(π 取3)？ 综合素养训练 故铺设草地需要花费60×24＝1 440(元)， 因此铺设花坛共需要花费720＋1 440＝2 160(元)． 答：铺设花坛共需要花费2 160元． 综合素养训练 解：铺设鹅卵石的面积S＝ab－πa2×2＝ab－πa2. 解：当a＝4，b＝7，π取3时， 铺设鹅卵石的面积为ab－πa2＝4×7－×3×42＝28－ 24＝4(m2)，故铺设鹅卵石需要花费180×4＝720(元)； 铺设草地的面积为πa2×2＝×3×42×2＝24(m2)， $$