3.1 列代数式表示数量关系 （课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

3.1 列代数式表示数量关系 第三章 代数式 知识点 代数式 知1－讲 1 1. 用字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数和数量关系. 在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来. •••• •• •••• 感悟新知 知1－讲 2. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式；单独的一个数或字母也是代数式. 感悟新知 知1－讲 3. 代数式的书写规定 类型 书写规定 示例 乘 法 运 算 字母与字母相乘或数与字母相乘 通常将乘号写作“·”或省略不写 m×n 写成m.n 或mn； 2×n 写成2·n 或2n 数是1 或－1 “1”省略不写 1×a 写成a； －1×a 写成－a 数是带分数 带分数化为假分数 1×t 写成t 感悟新知 类型 书写规定 示例 除法运算 用分数线 3÷y 写成 式子后面有单位且式子是和或差的形式 式子要用括号括起来 (2a＋b)km 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 用字母可以表示任意数或式子.用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义. 2. 这里的运算包括加、减、乘、除、乘方以及以后要学习的开方. 3. 代数式中不含有表示相等或不相等关系的符号，如“：＞(≥)” “＜(≤)”“≠”或“＝”. 感悟新知 知1－练 例 1 下列各式中：－5xy2，a，S=πr2，2πr，0， ，(a ≠ 0)，2x﹥0，a≠ 0，其中是代数式的有_______个. 解题秘方：含有表示相等或不相等关系的符号的式子不是代数式，依此判断. 解：其中是代数式的有－5xy2，a，2πr，0，，， (a ≠ 0)，共6 个. 6 感悟新知 知1－练 1-1.下列式子中，是代数式的有_________ .(填序号) ① a2＋3； ② ab； ③ 3； ④(y ≠1)； ⑤ x＋y=3. ①②③④ 感悟新知 知1－练 [期末·重庆沙坪坝区] 代数式x－y2 表示的意义为( ) A. x 与y 的差的平方 B. x 与y 的平方的差 C. x 的平方与y 的平方的差 D. x 与y 的相反数的平方差 例 2 感悟新知 解题秘方：先分清代数式的运算顺序，然后用规范的语言叙述. 解：代数式x－y2 表示的意义为x 与y 的平方的差. 答案：B 感悟新知 知1－练 2-1.下列用语言叙述代数式－4 表示的意义中，叙述不正确的是( ) A. 比x 的倒数小4 的数 B. 比x 的倒数大4 的数 C. x 的倒数与4 的差 D. 1除以x 的商与4 的差 B 感悟新知 知2－讲 知识点 列代数式 2 1. 定义 把数学问题或实际问题中的数量关系用含有数、字母和 运算符号的式子表示出来，叫作列代数式. 感悟新知 知2－讲 2. 列代数式的注意事项 (1)认真审题，将问题中表示数量关系的常用词语正确地转换为对应运算； (2)注意题目的语言叙述 所表示的运算顺序，一般“先读先算”； (3)在较为复杂问题中，要正确使用各类括号，以使运算顺序符合要求. 和、差、积、商、增加、减少、 扩大、缩小、倍、除以…… 感悟新知 知2－讲 特别提醒 同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示. 感悟新知 知2－讲 知识链接 解决实际问题常用的数量关系： 1.路程= 速度×时间； 2.工作总量=工作效率×工作时间； 3.利润= 实际售价－进价(或成本)； 4.总积分= 胜场积分＋平场积分＋负场积分. 感悟新知 知2－练 用代数式表示： (1)某辆汽车每一百千米消耗汽油t L，这辆汽车平均每千米消耗的汽油为_______L； 例 3 解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来. 解：这辆汽车平均每千米消耗的汽油为L； 感悟新知 知2－练 (2)在一场篮球比赛中，某运动员共投中a 个2 分球，b 个3 分球，还通过罚球得到9 分，在这场比赛中这名运动员的总得分为___________分； 解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来. 解：投中2 分球、3 分球的得分和罚球得分的和为总得分，所以总得分为(2a＋3b＋9)分； (2a＋3b＋9) 感悟新知 知2－练 (3)如图3.1-1，从一张长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为2a m，宽为b m，小正方形的边长为a m，则剩余铁皮的面积为________m2； (2ab－a2) 感悟新知 解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来. 解：剩余铁皮的面积为( 2ab－a2)m2； 感悟新知 知2－练 (4)为落实“双减”政策，某校利用课后延时服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．该校需购买甲、乙两种读本共90本供学生阅读，其中甲种读本的单价为15 元/ 本，乙种读本的单价为12 元/ 本. 若购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为__________元. 12(90－x) 感悟新知 知2－练 解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来. 解：购买乙种读本的费用= 单价× 数量，则购买乙种读本的费用为12(90 －x)元. 感悟新知 知2－练 3-1.为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现: 一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2 倍少4人. 若一小时内使用超市塑料袋的人数有x 人，则一小时内使用自带环保袋的人数有( ) A.(2x＋4)人 B.(2x－4)人 C.(4x＋2)人 D.(4x－2)人 B 感悟新知 知3－讲 知识点 正、反比例关系 3 前提条件 书写规定 示例 正比例关系 两个相关联的量x和y，一个量变化，另一个量也随着变化 两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系 =k 或 y=kx(k 是一个确定的值，且k ≠ 0) 反比例关系 两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系 xy=k(k 是一个确定的值，且k ≠ 0) 感悟新知 知3－讲 注意：对于同一个问题中的三个量，因为定量的不同，所以另两个量的比例关系也不同. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1.不论正比例关系还是反比例关系，若比例系数为0，则左边表示式中，y 的值就为0 ，不再随x的变化而变化. 2.两个量成比例关系的必备特征： (1)一个量变化，另一个量随着变化； (2)两个量的比值(或乘积)是一个非零的定值. 感悟新知 知3－练 判断下面各题中的两个量是否成正比例关 系或反比例关系，并说明理由： (1)长方形的面积一定，长方形的长与宽； (2)长方形的宽一定，长方形的面积与长； (3)小明自驾从北京到上海，他开车的平均速度与所用时间； (4)小丽的妈妈在银行存入1000 元，存期3 年，到期后的本息和与年利率. 例 4 感悟新知 知3－练 解题秘方：根据两个关联量是否联动变化以及比值(或乘积)是否一定进行判断. 解：(1)因为长方形的面积=长×宽，所以当面积一定时，长和宽的乘积一定，因此它们成反比例关系； (2)因为长方形的面积= 长×宽，所以面积÷长= 宽，当宽一定时，面积与长的比值一定，因此它们成正比例关系； 感悟新知 (3)因为路程=平均速度×所用时间，所以当北京到上海的路程一定时，平均速度与所用时间的乘积一定，因此它们成反比例关系； (4)因为本息和=本金＋本金×年利率×时间，即本息和=1000＋1000×年利率×3，虽然本息和随年利率变化而变化，但是它们的比值和乘积都不是定值，所以它们既不成反比例关系也不成正比例关系. 感悟新知 知3－练 4-1.下列选项中，两个量成反比例关系的是( ) A. 苹果的单价一定，购买的数量和总价 B. 看一本书，已看页数和未看页数 C. 三角形的面积一定，它的底和高 D. 长方形的周长一定，它的长和宽 C 感悟新知 列代数式表示数量关系 代数式 数量关系 正、反比例 列代数式 意义 课堂小结 [期中·长春榆树市] 用代数式表示： (1)m 的3 倍与n 的和； (2)x 与y 的倒数的差(y ≠ 0)； (3)a、b 两数和的平方减去它们差的平方． 题型 列代数式表示代数运算 1 例 5 综合应用创新 思路引导： 解：(1)3m＋n (2)x－(y ≠ 0) (3)(a＋b)2－(a－b)2. 综合应用创新 特别提醒 1.要正确辨析体现运算的关键词的意义. 2.代数式的书写要规范. 3. 列完代数式后，一般需要对照描述进行检验. 综合应用创新 [母题 教材P72例4 ]已知A，B 两地相距150 km，李明驾驶汽车以v km/h 的速度从A 地驶往B 地，请你用代数式表示： 题型 列代数式表示实际问题 2 例 6 解题秘方：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间关系为时间= 路程÷ 速度. 综合应用创新 (1)李明驾驶汽车从A 地到B 地需要行驶的时间； 解：李明驾驶汽车从A地到B地需要行驶的时间是 h. 综合应用创新 (2)如果汽车每小时多行驶10 km，那么李明驾驶汽车从A地到B 地需要行驶多长时间？ 解：李明驾驶汽车的速度为(v＋10) km/h，从A 地到B 地需要行驶的时间是h; 综合应用创新 (3)在(2)的情况下，李明驾驶汽车从A 地到B 地需要行驶的时间比原计划少用多少小时？ 思路点拨 少用的时间= 原来需要行驶的时间－加速后需要行驶的时间. 解：李明驾驶汽车从A 地到B 地需要行驶的时间比原计 划少用(－)h. 综合应用创新 (1)若m 为整数，则2 m 为______数，2 m－1 为______数；(填“奇”或“偶”) (2)有三个连续偶数，若中间一个数为2n，则其余两个数分别为_______________. 例 7 题型 列代数式表示特征数 3 解题秘方：(1)根据奇偶性判断；(2)熟练掌握各类数的特征，然后用代数式表示. 偶 奇 2n－2 ，2n＋2 综合应用创新 方法技巧 列代数式表示特征数的关键在于抓住各类数的基本特点：如偶数是2 的倍数，奇数比相邻偶数相差1 ，多位数等于相应数位上的数字与相应计数单位乘积的和. 综合应用创新 如图3.1-2 ，有一块长为18 m，宽为10 m 的长方形土地，现将三面留出宽都是x(0<x<8) m 的小路，余下的部分为菜地，用含x 的代数式表示： 题型 列代数式表示图形面积 4 例 8 解题秘方：根据题中提供的数据以及长方形的面积公式解决问题. 综合应用创新 (1)菜地的长为________m，宽为______ m； 解：菜地的长等于长方形土地的长减去小路宽的2 倍，即为(18－2x) m，菜地的宽等于长方形土地的宽减去小路的宽，即为(10－x) m； (18－2x) (10－x) 综合应用创新 (2)菜地的面积为__________________ m2． 解：菜地的面积等于菜地的长乘菜地的宽，即为(18－2x)·(10－x) m2. (18－2x) (10－x) 综合应用创新 方法点拨 列代数式表示图形面积常见形式： 综合应用创新 例 9 题型 列代数式表示变化规律 5 [新考法 归纳法]如图3.1-3 是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题： 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 (1)第5 个图形中，一共有多少个点？ 解：观察图形的变化可知： 第1 个图形中，一共有(6＋1)个点， 第2 个图形中，一共有(6×2＋1)个点， 第3 个图形中，一共有(6×3＋1)个点， 所以第4 个图形中，一共有(6×4 ＋1)个点， 第5 个图形中，一共有6×5＋1 ＝ 3 1(个)点； 综合应用创新 (2)请用含n 的代数式表示出第n 个图形中点的数量. 解：第n 个图形中，一共有(6n＋1)个点. 综合应用创新 特别提醒 变化规律的寻找体现了由特殊到一般的数学思想，在总结出规律后，通常需要再列举一种情况进行检验. 综合应用创新 易错点 代数式书写不规范 用代数式表示： (1)a 的2倍与b 的一半的和； (2)x 与3 的商的立方. 例10 综合应用创新 错解：(1)2a＋b； (2). 正解：(1) a＋b ； (2)()3. 综合应用创新 诊误区： 1.当带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数. 2.用代数式表示商时，要写成分数的形式，带分数线的底数，要加括号. 综合应用创新 考法 代数式的意义 1 [中考·广安] 代数式－3x 的意义可以是( ) A. －3 与x 的和 B. －3 与x 的差 C. －3 与x 的积 D. －3 与x 的商 试题评析：本题考查用语言表达代数式的意义， 一定要厘清代数式中含有的各种运算及其顺序. 解：代数式－3x 的意义可以是－3 与x 的积. C 例11 中考风向标 考法 用代数式表示数量关系 2 [模拟·无锡] 2024 无锡马拉松于3 月24 日在太湖大道隐秀路路口鸣枪起跑. 某同学参加了7.5 km 健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x km 的速度跑了 10 min，此时他离健康跑终点的路程为__________ km(用含x 的代数式表示). 例12 (7.5－10x ) 中考风向标 试题评析：本题考查用代数式表示数量关系，理解题意并正确书写是解题关键. 解：由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x km 的速度10 min 跑了10x km，此时他离健康跑终点的路程为(7 .5－10x) km. 中考风向标 考法 利用代数式进行规律探究 3 [中考·云南]按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5， …，第n个代数式是( ) A.2xn B.(n－1)xn C.nxn＋1 D.(n＋1)xn 例13 中考风向标 试题评析：本题考查了代数式的规律变化，仔细观察和总结规律是解题的关键. 解：因为按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，所以第n 个代数式是(n＋1)xn. 答案：D 中考风向标 1.[期中·汕头潮南区]下列各式符合代数式书写规则的是( ) A.a×5 B.a7 C.3x D.－x D 综合素养训练 2. 代数式(x2－y2)表示的意义为( ) A.x 的平方与y 的平方的差 B.x 与y 的差的平方 C.x 与y 的平方的差 D.x 的平方与y 的差的平方 A 综合素养训练 3. [新情境题 生活应用 ]“微信”“支付宝”“银行卡”“云闪付”等移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式． 小明妈妈上月支出a 元，本月参加线上购物节活动，比上月支出的3 倍还多20 元，则本月的支出可表示为(　　) A.(3a＋20)元 B.(3a－20)元 C.3(a－20)元 D.3(a＋20)元 A 综合素养训练 4. [新考法 特征数表示法]如图是一张月历表，省去了数字，若① 位置的数表示为a，则② 位置上的数可表示为( ) A.a＋3 B.a＋5 C.a＋7 D.a＋9 D 综合素养训练 5. 如图是一块长为a，宽为b(a>b)的长方形空地，空白处是两个半圆形，要将阴影部分绿化，则绿化面积是_________(结果保留π). 综合素养训练 6. 在100 米赛跑中，时间和平均速度成_______比例关系；分数值一定时，分子和分母成_______比例关系(填“正”或“反”). 反 正 综合素养训练 7. [新考法 归纳法]如图是一组有规律的图案： (1)第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由______个基础图形组成， …，第10个图案由______个基础图形组成； 7 31 综合素养训练 (2)第n 个图案由______ 个基础图形组成.(用含n 的代数式表示) (3n＋1) 综合素养训练 8. [母题 教材P76习题T5 ]某喷泉的喷水量与喷水天数情况如下表： (1)将上表填写完整. 喷水天数/天 0 1 2 3 4 5 喷水量/m3 0 16万 32万 48万 64万 80万 综合素养训练 (2)喷水天数与喷水量成什么比例关系？为什么？ 解：喷水天数与喷水量成正比例关系，因为喷水量与喷水天数的比值是定值16万． 综合素养训练 9. 某超市为尽快清仓决定对某商品调价促销，设该商品原标价为m 元(m>0). (1)若将该商品先提价20 %，再降价20 %，则最终价格相对于原标价是增长了还是降低了？ 解：由题意得，先提价20%，再降价20%的最终价格为(1＋20%)m·(1－20%)＝0.96m(元)，由于m＞0，所以0.96m＜m，所以最终价格相对于原标价是降低了． 综合素养训练 (2)现有如下三种在原标价基础上调价的方案： 方案一：先打九五折，再打九五折； 方案二：先提价50%，再打六折； 方案三：先提价30%，再降价30%； 请通过计算选出调价后售价最低的方案. 综合素养训练 解：在原标价基础上调价后的最终价格如下： 方案一：0.95m×0.95＝0.9025m(元)； 方案二：(1＋50%)m×0.6＝0.9m(元)； 方案三：(1＋30%)m×(1－30%)＝0.91m(元)． 由于m＞0，所以0.9m＜0.9025m＜0.91m，故调价后售价最低的是方案二． 综合素养训练 ab－πb2 $$