第2章　一元二次方程　回顾与思考教学设计　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

《一元二次方程》回顾与思考教学设计 1、 教材分析 本节课是北师大版《数学九年级（上）》第二章章末复习课.对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解. 2、 学情分析 学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时具有合作学习的经验，具备一定的合作与交流的能力. 三、教学目标 1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 3.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想. 4.通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 5.通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法. 四、教学过程 （一）课前准备--构建知识结构 在授完本章新课知识后，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.此活动内容在上课前一天布置，让每一个学生都提前准备.上课时，选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他学生对照自己的总结查漏补缺.同时，教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是利用一元二次方程解决实际问题. 【设计意图】学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键. 学生A的作业展示： 1.本章知识结构 ( 问题情 境 — 一 元二次方程 定义 ： 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 ( a ， b ， c 为常数 ， )的形式，这样的方程叫做一元二次方程. （1）直接开平方法 （2）配方法 （3）公式法 的解为： （ 4 ） 因式分解法 解法 应用 ： 其关键是能根据题意找出等量关系. ) 2.本章的重点：一元二次方程的解法和应用. 3.本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法. （二）基础知识重现 以投影形式展示一组基础题目，内容涉及一元二次方程的定义和解法.其中，第1，2小题采取口答形式；第3，4小题对比来做，体会其中的方法；第5小题采取3个同学分别在黑板上演示，其他同学纠错，教师集中规范的方式来解决. 1.当m 时，关于x的方程是一元二次方程. 2.方程，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程. 3.将一元二次方程化成的形式是 ；此方程的根是 . 4.用配方法解方程时，应将方程变形为（ ）. A. B. C. D. 5.解下列一元二次方程： （1）；（用配方法解） （2）；（用分解因式法解） （3）.（选择适当的方法解） 【设计意图】上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解，熟练地解一元二次方程.其中，第1，2小题对比， 加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；第3，4小题均是对一元二次方程配方法掌握程度的检验，同时，这部分内容所涉及的方法也是后续“二次函数”学习的基础，此处，也为二次函数的学习奠定一定的基础；第5小题设置三道小题，分别限定方法让学生来解一元二次方程，让学生熟练方程的解法. （三）情境中合作学习 ( A B C P Q 图 1 )1.某地新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以 20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支. 现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1 350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？ 2.如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6 m，AC=8 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20 cm/s，点Q移动的速度是10 cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的？ ( A B C D 图2 )3.新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃（如图2），墙长25 m，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40 m， （1）花圃的面积能达到180 m2吗？ （2）花圃的面积能达到200 m2吗？ （3）花圃的面积能达到250 m2吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （4）你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？ （5）如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积会是多少，篱笆该怎样围？ 【注意事项】在本环节中，选择具有代表性的三类实际问题：利润问题、简单动点问题、周长一定的面积问题作为例题及小组合作学习的题目，其中第1题作为例题；第2题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成；第3题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可. 对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题. ①成本为多少？ ②“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？ ③“售价每上涨1元就少卖10支”的作用是什么？ ④利润的表达形式有哪几种？ ⑤本题中的等量关系是什么？ 在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其他的思路，进行一题多解. 【设计意图】让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系. （四）巩固提高 ( 图 3 )1.新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（如图3），两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面积的，则甬路宽为多少米？ 设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为 . 2.由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降价，从4 980元降到3 698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x，则根据题意，可列方程为 . 3.王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据题意，可列方程为 . 4．九年级（三）班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1 640张照片，若设全班有x名学生，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【设计意图】通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下册二次函数的学习奠定基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图. （五）课堂小结 师生共同总结本节课的收获，内容主要涉及以下几个方面. 1.整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等. 2.解决问题时所用到的方法. 3.对于某个知识点的困惑. 4.通过本节课的学习，自己的最大收获. （六）作业布置 复习题 第2，3，6，7，10，12，15题. 五、教学反思 作为一个较大的章节复习课，希望一节课完成上面所有的任务，使练习题分解成两个课时. 通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更有利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，从而指导今后的教学. 学生的学习合作小组也应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$