平面向量与三角形的四心 讲义——2025届高三数学一轮复习

平面向量与三角形的四心 三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助. 如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 1、 三角形的内心 （1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若为△的内心. （注：本文中的边，，分别表示，，.角，，分别表示，，.） 证明： （图1） 点在角的角平分线上，同理点也在角、的角平分线上. 为△的内心. （3）常用性质 性质1：所在的直线与的角平分线重合（经过内心）. 证明：如图所示，表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.设，由平行四边形法则知，四边形为菱形， 故直线为的角平分线. 所在的直线与的角平分线重合（经过内心）. 性质2：（△内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证. 性质3：为△的内心. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析 例1-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足, .则动点的轨迹经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由性质1知，答案为A. 例1-2：已知是△所在平面上的一点，若（其中是△所在平面内任意一点），则是△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由题意知 ，即 ，化简得.根据内心的向量表示知，是△的内心，答案为A. 例1-3：已知是△内的一点，且满足，则所在的直线一定经过三角形的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.故，即,即. 直线与的角平分线重合，故所在的直线一定经过三角形的内心，答案A. 二、三角形的外心 （1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若为△的外心. （3）常用性质： 奔驰定理*：已知为△内的一点（不一定为外心）， 则.（该定理反之也成立） 证明：不妨延长到（如下图），则 （图2） ， 即.且根据，,三点共线知，， 故，即. （反之易证） 性质1*：为△的外心. 证明：如图2所示，为△的外心， ， （为△外接圆半径）. 性质2*：为△的外心. 证明：结合性质1与奔驰定理易证. （4）典例剖析 例2-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足 ，.则动点的轨迹一定经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：设线段的中点为，故， 即,而， 即 即，故点在线段的垂直平分线上. 动点的轨迹一定经过△的外心，答案B. 例2-2：在△中，动点满足，则点一定经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由题知，设为的中点，则 ,故,即， 在的垂直平分线上，故点一定经过△的外心，答案B. 例2-3：已知为△所在平面内的一点，满足， ，则为△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由知,即，即 ,同理可得：， 为△的外心，答案B. 三、三角形的垂心 （1）定义：三角形三条高的交点（如图3）. （2）向量表示：若为△的垂心. 证明：.同理 ,为△的垂心. （3）常用性质 性质1*：为锐角△的垂心 . （图3） 证明：,且在直角△和直角△中有 ，.故. 同理，. ，反之易证. 性质2*：当为锐角△的垂心. 证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析 例3-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由题知,得 ，即. 在边上的高上，过垂心，答案C. 例3-2：已知为△所在平面内的一点，且满足 ,则是△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由题知，即 ，即,即， 故，同理， 是△的垂心，答案C. 例3-3：设是△的外心，点满足,则是△的（ ） A.内心 B.任意一点 C.垂心 D.重心 解析：由题知，由于是△的外心，故 （为线段的中点）且，即， ，同理，，故是△的垂心，答案C. 4、 三角形的重心 （1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）. （2）向量表示：若为△的重心. （3）常用性质 （ 图4 ） 性质1：若为△的重心 性质2：若为△的重心，， 性质3：已知，,.若为△的重心 . （4）典例剖析 例4-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：由题知，其中（表示 边上的高），故（为线段的中点）. 在边上的中线上，故动点的轨迹一定经过△的重心，答案D. 例4-2：在△中，为平面内一个定点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过△的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：设的中点为，故，由于 ，即点，，三点共线. 在边上的中线上，故动点的轨迹一定经过△的重心，答案D. 例4-3：已知在△内，且满足，现在到△内随机取一点，次点取自△，△，△的概率分别记为、、,则（ ） A. B. C. D. 解析：法一：如图，延长，，使得,，, 故，即是△的重心，即△、△、 △的面积相等，不妨令它们的面积都为1. ，，,故，答案C. 法二：由“奔驰定理”知，，，（为比例系数），故，答案C. 法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设是以2k，3k，4k（k为比例系数）为边长的三角形的内心，所以,即，答案C. 5、 等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形 等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形 性质1：若△为等边三角形△四心合一. 性质2：若△为等边三角形△三线合一. 六、欧拉线* 瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△（非等边三角形）的垂心、重心、外心三点共线，即欧拉线. （图5） 特别地，（如图6）当△为直角三角形时（为直角），垂心与重合，外心在的中点上，欧拉线为直角△的外接圆半径（或边上的中线）. （图6） 性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$