精品解析：浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考数学试题

杭十四中高三数学学科检测卷 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷、考生须在答题卷上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知a,b都是实数，那么“”是“a>b”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（ ） （1）这10位自媒体人粉丝数据平均数为2.0； （2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04； （3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8； （4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135． （附：若随机变量服从正态分布，则，） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 300 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 10. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ） A. 异面直线AE与BC所成的角为 B. C. 平面平面CDE D. 直线AE与平面BDE所成的角为 11. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（ ） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 椭圆的离心率 D. 的面积不小于的面积 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则__________. 13. 已知复数z满足，则的取值范围为______． 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且，． （1）求及的面积S； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 16. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）直线交于两点 （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭十四中高三数学学科检测卷 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷、考生须在答题卷上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】根据题意，得， 所以， 故选：A. 2. 已知a,b都是实数，那么“”是“a>b”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】本小题主要考查充要条件相关知识．依题“>b”既不能推出“>b”；反之，由“>b”也不能推出“”．故“”是“>b”的既不充分也不必要条件． 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件，利用数量积的运算律求得，再利用数量积的坐标表示计算即得. 【详解】由，得，则， 因此，所以. 故选：A 4. 已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解. 【详解】∵为偶函数， ∴且的图象关于对称， ∵为奇函数，∴的图象关于对称， ∴为周期函数，， ∵有，∴在上单调性递减， ∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示： ∵，，， ∴， 故选：D. 5. 某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（ ） （1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0； （2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04； （3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8； （4）用样本估计总体，该平台自媒体人粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135． （附：若随机变量服从正态分布，则，） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于（1），利用平均数的公式计算即可；对于（2），先计算出方差，开方得到标准差；对于（3），对数据从小到大排列，利用百分位数的定义进行求解；对于（4），计算出，利用正态分布的对称性得到相应的概率 【详解】对于（1），，正确； 对于（2），方差为， 故标准差为，错误； 对于（3），从小到大排序为， ，故从小到大，选择第3个数作为第25百分位数，即1.9，错误； 对于（4），，又， 故用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为，正确． 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，利用二项式定理得到通项公式，求出，；CD选项，赋值法得到，，，从而求出答案. 【详解】A选项，的通项公式为， 当时，，A正确； B选项，当时，，B正确； C选项，中， 令得， 令得， 故，C错误； D选项，中， 令得， 又， 故，D正确. 故选：ABD 7. 现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 故选：C 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题干条件得到，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案. 【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知， 当时，，当时，， 所以时得， ，当时，，单调递增， 又，所以， 令，则， 由解得，则 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误. 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减， 故在区间上为减函数，B正确； C选项，当时，，故， 所以关于中心对称，C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误. 故选：AB 10. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ） A. 异面直线AE与BC所成的角为 B. C. 平面平面CDE D. 直线AE与平面BDE所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可； 对于B，只需证明平面ACE即可； 对于C，需证平面CDE与平面CDE； 对于D，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可. 【详解】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角， 又，所以， 即异面直线AE与BC所成的角为，A正确； 连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF， 根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面ABCD， 所以，又，，OE，平面ACE， 所以平面ACE，又平面ACE，所以，B正确； 由对称性可知，，所以四边形AFCE为平行四边形， 所以，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE， 同理平面CDE，又，AF，平面ABF， 所以平面平面CDE，C正确； 由，，得，在正方形ABCD中，， 又，所以平面BEDF， 所以即为直线AE与平面BDE所成的角， 设该八面体的棱长为2，则， 所以，所以，D错误. 故选：ABC. 11. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（ ） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 椭圆的离心率 D. 的面积不小于的面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，设出点的坐标，根据得到，故，A错误，B正确；C选项，根据，得到，计算出离心率；D选项，得到，，从而，D正确. 【详解】AB选项，不妨设， 则， 因为，所以， 故，即成等比数列，A错误，B正确； C选项，因为，，所以， 方程两边同除以得，， 解得，负值舍去，C正确； D选项，由于， ， 由于，故，即， 而，故，D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 13. 已知复数z满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______ 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 故答案为：3； 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且，． （1）求及的面积S； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案； （2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案. 【小问1详解】 由余弦定理得，即， 故，解得或（舍去）， ； 【小问2详解】 因，， 所以， 故， 在中，由余弦定理得，， 故. 16. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案； （2）得到随机变量可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则 ， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为. 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10， ， ， ， ， ， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性； （2）变形得到，构造，定义域为，求导，结合零点存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的单调性和最小值，求出最小值. 【小问1详解】 的定义域为， 故， 若时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，若时，，故在上单调递增， 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ， 即， 令，定义域为， ，其在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 即，故， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 其中， 两边取对数得，故， 所以，证毕. 【点睛】关键点点睛：由导函数的单调性和零点存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，证明出不等式. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得； （2）（i）由点差法可得，进而有； （ii）联立可得，故由重心坐标公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分线上，根据其方程，可得，由在上进而可得. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 依题意可设点，且， （i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以， 因为点在上，所以，所以，即， 因为直线的斜率为，直线的斜率为 所以，即为定值； （ii）设弦的中点的坐标为， 点的坐标为的重心的坐标为， 由，得， 所以，且， 因为的重心在轴上，所以， 所以， 所以， 因为在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以点， 又点在上，所以， 即 又因为，所以，所以直线的方程为. 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 【答案】（1）是“H数列”；理由见解析 （2）1，2，3，6； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可. （2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解. （3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”. 【小问1详解】 因为，当时，， 当时，也成立， 所以， 对任意m，且，， 是“H数列”. 【小问2详解】 因 ，，， 所以，所以， 由已知得也为数列中的项， 令，即， 所以，所以d为6的正因数， 故d的所有可能值为1，2，3，6. 【小问3详解】 设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即， 当时，则，故，此时数列为“H数列”； 当时，，取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意m，且，， 显然，所以为数列中的项， 是“H数列”. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$